自动控制习题答案.doc

第一章
例1-1 一个水池水位自动控制系统如图1-1所示。试简述系统工作原理，指出主要变量和各环节的构成，画出系统的方框图。

图1-1 水池水位控制系统原理图
解 在这个水位控制系统中，水池的进水量来自由电机控制开度的进水阀门，出水量随意变化的情况下，保持水箱水位在希望的高度上不变。
希望水位高度由电位器触头A设定，浮子测出实际水位高度。由浮子带动的电位计触头B的位置反映实际水位高度。A、B两点的电位差反映希望水位的偏差。当实际低于希望水位时，。通过放大器驱动电动机转动，开大进水阀门，使进水量增加，从而使水位上升。当实际水位上升到希望位置时，A、B两个触头在同一位置，，电动机停止转动，进水阀门开度不变，这时进水量和出水量达到平衡位置。若实际水位高于希望水位，，则电动机使进水阀门关小，使进水量减少，实际水位下降。
这个系统是个典型的镇定系统，在该系统中：
控制量 希望水位的设定值
被控制量 实际水位
扰动量 出水量
被控对象 水池
测量元件 浮子
比较元件 电位器
放大元件 放大器
执行元件 电动机、减速器、进水阀门
系统的方框图如图1-2所示。控制系统中各元件的分类和方框图的绘制不是唯一的，只要能正确反映其功能和运动规律即可。

图1-2 水池水位控制系统方框图
例1-2 图1-3所示为发电机电压调节系统，试分析系统的工作原理，画出方框图并指出系统的结构特点。
解 发电机在电枢转速和激磁电压恒定不变时，负载变化将引起输出电压和电枢回路电流的改变。当负载增大时，将引起电枢电压下降和电枢电流增大，因此，电枢回路的电流在电阻上的电压增大，也增大，由于与的极性一致，因而发电机的激磁电压上升，使输出电压增大。这种由扰动产生附加控制作用的系统是扰动控制系统（本系统是将负载变化作为扰动输入的。图1-3所示的电压调节方式只能克服负载变化对发电机输出电压的影响）。系统方框图如图1-4所示。

图1-3 发电机电压调节系统

图1-4 系统方框图
第二章

图2-1 例2-1图

【例2-1】求图2-1所示矩形脉冲的象函数
【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为

所以，可以看作两个函数的叠加

即可求得其象函数

或直接运用拉氏变换定义式求取

【例2-2】 求的拉氏反变换。
【解】 的部分分式为

求系数、

【例2-3】 求下面象函数的原函数

【解】的部分分式为

由等式相等，所以可知

解得
；；
的部分分式可求得

注：
则的拉氏反变换为

【例2-4】 求下列象函数的拉氏反变换。

【解】运用部分分式展开法，有

求得待定系数

的部分分式为

分别查表可求得的拉氏反变换为

【例2-5】解方程，其中，
【解】将方程两边取拉氏变换，得

将代入，并整理，得

所以

【例2-6】将非线性方程在原点附近线性化。
【解】根据式（2-3），线性化后的方程应为

而

，，
故线性化后的方程为

分析：本题方程中只有是非线性项，只要将在原点线性化就可以了。在原点线性化的结果是

所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。
【例2-7】求图2-2所示系统输入为，输出为时的传递函数

（a） （b）
图2-2 无源电网络
【解】 根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为
（a）
（b）
【提示】基尔霍夫定律的时域表示式为：对任一结点，；对任一回路，。电阻的运算阻抗就是电阻本身，电感的运算阻抗是，电容的运算阻抗是，其中为拉氏变换的复参量。把普通电路中的电阻、电感、电容全换成相应的运算阻抗，把电流和电压全换成相应的拉氏变换式和，因此可得到根据拉氏变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：；对任一回路，。于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单的代数运算，就可求解、及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算法，相应的电路图称为运算电路。
【例2-8】求图2-3所示有源电网络的传递函数，图中、分别是输入和输出电压。

（a） （b）
图2-3 有源电网络
【解】（a）由图（1）求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有

这也是PID控制器。
（b）设电压如图所示。
由

得

得

由此可得

最后联立上述方程，解得

这是PID控制器。
提示：上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的，对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。
【例2-9】 如图2-4所示电枢控制式直流电动机，试以为输入量，为输出量的建立微分方程。

图2-4 电枢控制式直流电动机
其中：是电动机电枢输入电压，是电动机输出转角，是电枢绕组的电阻，是电枢绕组的电感，是流过电枢绕组的电流，是电动机感应电势，是电动机转矩，是电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量，是电动机及负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
【解】 根据基尔霍夫定律，有

根据磁场对载流线圈的作用定律，有

其中，是电动机转矩常数。
根据电磁感应定律，有

其中，是反电势常数。
根据牛顿第二定律，有

得

得

电枢电感通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为

当电枢电感，电阻均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为

【例2-10】试求图2-5所示机械平动系统输入为，输出为时的传递函数

（a） （b）
图2-5 机械平动系统
【解】（a）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程

即

进行拉氏变换并整理

得

（b）设B点位移为，根据B、C点力平衡关系列写方程
对于B点

对于C点

上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为0），有

解上述方程组，得

【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。牛顿第二定律：一物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。达朗伯原理：作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。达朗伯原理用公式可表示为：，其中，是作用在物体上的合外力；是物体的加速度；是物体的质量；是物体的惯性力。
对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根据牛顿第二定律建立该点处的力平衡方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中间参考点，联立方程后即可消去。
【例2-11】 齿轮传动的动力学分析。
设有如图2-6a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为，L为输出端负载，TL为负载扭矩。图中所示的为各齿轮齿数，J1、J2、J3及q1、q2、q3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。

(a)原始轮系 (b)等效轮系
图2-6 齿轮传动链
【解】假设各轴均为绝对刚性，即，可得如下动力学方程

式中 、、传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；
——齿轮对的反转矩；
——对的反转矩；
——对的反转矩；
——对的反转矩；
——输出端负载对的反转矩，即负载转矩。
由齿轮传动的基本关系可知

于是可得

称为等效转动惯量；
称为等效阻尼系数；
称为等效输出转矩。
将上式改为

则图2-6a所示的传动装置可简化为图2-6b所示的等效齿轮传动。
【例2-12】画出下列RC电路的方框图。

图2-7 一阶RC网络
【解】 利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得
，
对其进行拉氏变换得

因此图2-7即可转换为图2-8运算电路形式。

图2-8 一阶RC网络运算电路
由此分别得到图2-9a和2-9b，将图2-9a和2-9b组合起来即得到图2-9c，图2-9c为该一阶RC网络的方框图。

（a） （b） （c）
图2-9 一阶RC网络的方框图
【例2-13】 画出下列RC网络的方框图，并求传递函数。

图2-10 两级RC滤波器电路
【解】 （1）首先根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接将上图转化成运算电路图的形式，如下图

图2-11 两级RC滤波器电路
（2）根据列出的4个式子作出对应的框图。

（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。根据上述公式，画出方框图

所以传递函数为

由图清楚地看到，后一级网络作为前级网络的负载，对前级-网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。如果在这两极RC网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-11所示。

图2-11 带隔离放大器的两级RC网络
则图2-11电路的方框图为

【例2-14】 试化简如图2-12所示系统的方框图，并求系统传递函数。

图2-12 例2-14图
【解】 用方框图等效变换法求解，A点后移，得

所以，传递函数为

【提示】：等效变换时，应将分支点（相加点）向另外的分支点（相加点）移动，一般不宜向另外的相加点（分支点）移动。
【例2-15】化简下面方框图，求系统传递函数。

图2-13 方框图
【解】
方法一：设变量如上图所示。由此可列写出下列方程组

上述方程组中，一共有4个方程，5个未知量，消去中间变量即可得出与之间的关系

方法二：采样梅逊公式，有4条前向通道和5个回环。
4条前向通道
，，，
对应的余因子

5个回环

特征式

由此可得系统的传递函数为

可见，结果与方法一相同。
方法三：用方框图等效变换方法化简如下：

可得系统的传递函数为

结果与方法一、二均相同。梅逊公式的作用，可以校验方框图化简的结果是否正确。
【例2-16】某复合控制系统的动态方框图如图2-14所示，求系统的传递函数。

图2-14 方框图
【解】用梅逊公式求解。本题有6条前向通路，其中第6条前向通路很容易被漏掉，需特别注意。有3个回环，回环间均有接触。求解过程如下：

故
【例2-17】用梅逊公式求图2-15所示控制系统的传递函数。

图2-15 例2-17控制系统信号流图
【解】 此系统有7个单独回环，即，，，，，和因此

两个互不接触的回环有3种组合，即，及，所以

三个互不接触的回环只有1种组合，即

由此可求特征式

从源节点到汇节点有5条前向通道，由于5条前向通道与所有的回环均有接触，因此

将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数

【例2-18】用梅逊公式求图2-16所示系统信号流图的传递函数及。

图2-16 例2-18系统信号流图
【解】 现用梅逊公式求取对应于同一个源节点A和不同阱节点的两路传递函数。值得指出，对于给定的系统信号流图，梅逊公式中的特征式是确定不变的，只是对于不同的源节点和阱节点，其前向通路和余因子式是不同的。
此系统有3个单独回环，即

两个互不接触的回环有1种组合，即

由此可求特征式

从源节点到汇节点B有1条前向通道，因此

将以上结果代入公式，可得系统的传递函数

从源节点到汇节点D有2条前向通道，因此

将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数

【例2-19】 已知下列方程组：

图2-17 信号流图
试求传递函数
【解】 可先根据方程组画出信号流图如图2-17所示，然后由梅逊公式就可求解。
此系统有8个单独回环，即

两个互不接触的回环有6种组合，即

三个互不接触的回环只有1种组合，即

由此可求特征式

有5条前向通道，因此

将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数

【例2-20】 控制系统方框图如图2-18所示，求：
（1）由方框图设置状态变量，直接确定状态空间表达式；
（2）求出系统的传递函数，建立规范型状态空间表达式。

图2-18 控制系统方框图
【解】 （1）由方框图设置状态变量直接确定状态空间表达式，需要将方框图进行适当变换，从而得到系统的状态图，进而得到状态空间表达式。为此，须对系统中的各组成环节进行适当处理，如图2-19、图2-20和图2-21所示。

图2-19 惯性环节的状态图

图2-20 超前滞后环节的状态图

图2-21 二阶环节的状态图
进而可以得到图2-18对应的系统状态图，如图2-22。

图2-22 控制系统状态图
按图2-22所示的状态变量，可以得到系统的状态空间表达式为

（2）根据系统结构图或由系统状态图利用梅逊公式，或由系统状态空间表达式利用，均可以求出系统的传递函数。

由此可以得到该系统的能控规范型状态空间表达式

和能观规范型状态空间表达式

【例2-21】 设描述系统输入输出关系的微分方程为

（1）若选状态变量为，，试建立系统状态方程；
（2）若重选一组状态变量和，使得，，试建立系统在坐标系中的状态方程。
【解】 （1）由系统微分方程可知

矩形形式为

系统矩阵A为友矩阵。
（2）两组状态变量之间的关系为

因此非奇异变换矩阵
，
，
此时状态方程为对角线标准型。
提示：该例说明了状态变量和动态方程的非唯一性。
【例2-22】设控制系统的微分方程为

试写出系统的状态空间表达式。
【解】其中。则有

因此，可得到系统的状态空间表达式

【例2-23】已知控制系统的状态空间表达式为

其中
，，，
试求系统的传递函数矩阵。
【解】根据式（2-27）即可求出系统的传递函数矩阵。
（1）求

（2）求系统的传递函数矩阵

第三章
【例3.1】 温度计的传递函数为。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1分钟后才能指示出实际水温的96%，问：
（1）该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？
（2）如果给该容器加热，使容器内水温以0.1的速度均匀上升，当定义时，温度计的稳态指示误差有多大？
解：（1）温度计是一个一阶环节，指示实际水温的10%变化到90%所需的时间就是温度计指示值的上升时间。为此，必须首先计算温度计的时间常数。
温度计的测温指示过程为单位阶跃响应，已知，故。所以。
（2）水温以0.1的速度均匀上升，表示输入信号为斜坡信号，该一阶系统是稳定的，故可以用拉式变换的终值定理计算稳态误差。由

可得

所以

【例3.2】 某控制系统的微分方程为

其中，，。设初始条件为0，试求：
（1）系统单位脉冲响应以及时的；
（2）与时间对应的系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的值。
解：（1）由于初始条件为0，对微分方程取拉氏变换可得系统的传递函数

当输入为单位脉冲函数时，，，所以

由，可得

（2）系统的单位阶跃响应为，所以

系统的单位斜坡响应为，所以

例【3.3】三个二阶系统的闭环传递函数的形式都是

它们的单位阶跃响应曲线如图3-7中的1、2、3。其中是系统1、2的调整时间，是峰值时间。在同一平面上画出三个系统的闭环极点的相对位置，并说明理由。
解 设3个系统对应的闭环极点分别是、、、、、。
由图知，故，且
(3-15)
、在同一阻尼比线上。因，故有
(3-16)
可见离虚轴比远。由式(3-15)和式(3-16)可给出、、、的相对位置，如例图3-8所示。

图3-7 二阶系统的响应曲线图 图3-8 闭环极点相对位置
因，故有
(3-17)
与的虚部相同。因，故，且
(3-18)
根据式(3-17)和式(3-18)可绘出、，如例图3-8所示。

图3-9 系统单位阶跃响应
注：本题主要是加深对二阶系统性能指标的理解。
例【3.4】典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图3-9所示。试确定系统的闭环传递函数。
解 依题意，系统闭环传递函数形式为

由图3-9可见，系统单位阶跃响应稳态值为2，所以

系统峰值时间，超调量
所以

解得

所以
注：需要特别注意的是最大超调量的求取，另外二阶系统最大超调量只与阻尼比有关，利用最大超调量求出，根据可求得，从而求得最终结果

图3-10 系统方框图
例【3.5】系统方框图如图3-10所示，要求超调量，峰值时间，求与。
解 由，，
可求得，
系统的开环传递函数为

系统的闭环传递函数为

故

可以求得
,
例【3.6】设某控制系统方框图如图3-11所示，欲保证阻尼比和响应单位斜坡函数的稳态误差，试确定系统参数、

图3-11 系统结构图
解 由图3-11求得系统的开环传递函数为
(3-19)
根据图3-11及式(3-19)，计算作用下系统的稳态误差为
(3-20)
按题意，由式(3-20)得
(3-21)
根据图3-11及式(3-19)求得给定系统的闭环传递函数为
(3-22)
由式(3-22)求得
(3-23)
(3-24)
按题意，由式(3-24)求得
(3-25)
最终由式(3-21)及式(3-25)解出待确定参数

【例3.7】 某控制系统如图3-12所示。

图3-12 控制系统结构图
（1）当时，求系统的脉冲响应函数；
（2）为使系统具有阻尼比，试确定的值，并计算单位阶跃输入时的超调量、上升时间、调整时间和稳态误差[定义误差]。
解：（1）当时，控制系统的闭环传递函数为

其脉冲响应函数为

（2）当时，控制系统的闭环传递函数为

其特征方程为

由得。因为，所以由得。
在单位阶跃输入下，系统输出响应的超调量为

上升时间为

取误差带为稳态值的时，调整时间为

系统的单位阶跃响应为

稳态误差为

例【3.8】单位反馈系统的开环传递函数为

若系统单位阶跃响应以的频率振荡，试确定振荡时的和值。
解 依题意，系统处于临界稳定状态()，闭环系统必有一对纯虚根

对应在劳斯表中必然出现某一行的第一列元素或该行全部元素为零的情况。系统闭环特征方程为

列劳斯表

令第3行第1列元素为0，有
(3-26)
由第2行元素构成辅助方程

解出
(3-27)
联立方程式(3-26)和式(3-27)，解出
,

图3-13 系统框图
例【3.9】系统方框图如图3-13所示。希望所有特征根均位于平面上的左侧，且。用阴影线表示出特征根在平面上的分布范围，并求出相对应的、的取值范围。
解 令，则
特征根的分布范围见例图3-14所示

令，得

由特征方程知，系统稳定的条件是

特征根的实部是，令，得

由此可绘出所要求得参数范围，如图3-15所示。

图3-14特征根分布范围 图3-15 参数取值范围
例【3.10】单位负反馈系统得开环传递函数为

要求系统闭环稳定时稳定，试确定和的范围，并在的直角坐标图上标出稳定区域。
解 系统闭环特征方程为

列劳斯表

图3-16 参数取值范围图

闭环稳定时，应有

故有

从而
、的取值范围见图3-16的阴影所示。
【例3.11】 某单位反馈随动系统的开环传递函数为

试计算闭环系统的动态性能指标和值。
解：这是一个高阶系统，我们注意到极点-500离虚轴的距离较极点，离虚轴远得多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点，而使系统近似为二阶系统。近似原则如下：（1）保持系统的稳态值不变；（2）瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为

近似后的闭环传递函数为

所以

则

提示：该例为高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。
例【3.12】 讨论特征方程

问其中有多少根的实部落在开区间内？
解 分析 系统特征根有3个。首先用劳斯判据判断有几个根不在左半平面，然后再作代换，判断有几个根不在之左面，便可得出结论。
列劳斯表

可见在右半平面不存在不稳定根。令代入特征方程整理后有

列劳斯表

可见第一列元素变号3次，3个根全部位于的右面。因此得出结论：3个根得实部全部位于开区间之内。
例【3.13】 已知图3-17所示系统，定义误差。
（1）问当时，系统对是几型的？
（2）若使系统对为I型，试选择的值。
解 系统是非单位反馈的，在结构图上误差不能直接得到。因此需要构造一个与原系统等价的单位反馈系统，如图3-18所示。
系统闭环传递函数为

设等价的单位反馈系统的开环传递函数为，则

要使系统成为I型，应有

所以
另外，为使系统稳定，应有，，

图3-17 系统结构图 图3-18 系统结构图
【例3.14】 设单位反馈系统的开环传递函数为

（1）闭环系统稳定时值的范围；
（2）若要闭环特征方程的根的实部均小于－1，问的取值范围。
解：闭环特征方程为

即

（1）列劳斯阵如下

欲使系统稳定，只需

解得
（2）若要求特征根实部均小于，可令，将平面映射为平面，只要特征根全部位于平面的左半平面即可。

整理得

列劳斯表

欲使的根全处于的左半平面，则要求

解得

即值处于这个范围，可使的根实部全小于－1。此时可以认为系统具有1的稳定裕度。
提示：该例显示了利用劳斯判据确定系统相对稳定性的方法。
【例3.15】 设系统结构图如图3-19所示，试确定闭环系统的稳定性。

图3-19 系统结构图
解：闭环系统的传递函数为

可见：闭环系统有一个极点在右半平面，系统是不稳定的。
注意：本题若用下式求特征多项式

那么特征多项式只有一个左半平面的根（）可判得闭环系统是稳定的。但这是错误的因为这时出现了和零点、极点抵消的情况，抵消的结果使闭环系统丢失了一个极点（）。因此在判断闭环稳定性时，碰到有零点、极点抵消的情况，不要抵消，否则，就会出现错误的结果。
【例3.16】 闭环控制系统的结构图如图3-20所示。试求满足下列条件的三阶开环传递函数，应满足的条件：（1），为开环放大系数；（2）由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；（3）闭环系统的特征方程为。

图3-20 系统结构图
解：由单位阶跃引起的误差为

由题意知稳态误差为

所以
则分母的常数项应为零。
设
则闭环系统传递函数为

特征方程式为

比较系数得
，，，
即

【例3.17】 有一位置随动系统，结构图如图3-21所示。，。（1）求系统的开环和闭环极点；（2）当输入量为单位阶跃函数时，求系统的自然振荡角频率，阻尼比和系统的动态性能指标，，。

图3-21 系统结构图
解：系统的开环和闭环传递函数分别为和
（1）开环极点为
，
令

解得闭环极点为

（2）将闭环传递函数写成标准形式

有，
解得 ，
系统的动态指标为

提示：该例显示了典型二阶系统极点、系统参数和动态性能指标的计算方法。
【例3.18】 某单位反馈控制系统的开环传递函数为

确定使系统闭环输出响应为持续振荡时的值及响应的振荡频率。
解：（1）求值。系统闭环特征方程为

列出劳斯表

欲使系统保持闭环持续振荡，行的元素应全为0，即

从而解得。
（2）求振荡频率。振荡角频率可由辅助方程

求得。
【例3.19】 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。试求其静态位置、速度和加速度误差系数，并求当输入信号为（a）；（b）；（c）；（d）时系统的稳态误差。
（1）
（2）
解：首先判断系统的稳定性。系统的闭环特征方程为

由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为1型，开环放大系数为。可以求得静态误差系数为

所以给定输入信号下的稳态误差计算如下：
（a）；
（b）；
（c）；
（d）。
（2）判断系统的稳定性。系统的闭环特征方程为

由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈不上求稳态误差。
说明：可以利用终值定理计算（1）中的稳态误差。在第一个系统中，误差信号可以表示为

以斜坡输入为例，，所以

第四章
例4-1 设负反馈系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹图。
解 渐近线与实轴的交点
渐近线与实轴正方向的夹角为
分离点与会合点
由
得

可以验证这两个点均为根轨迹上的点。
从而根轨迹图如图4-1所示。注意该题的根轨迹不要画成图4-2的形式

图4-1 图4-2
例4-2 已知反馈控制系统的开环传递函数为

试分别画出时系统的根轨迹。
解：（1）根轨迹基本情况分析。开环传递函数有3个极点为0，0和，1个零点为。所以实轴上的根轨迹在区间之内。一般情况下，根轨迹应有3支，其中2支趋向于无穷远。因此在区间可能有分离点、会合点。
（2）求分离点、会合点的存在条件。特征方程可以改写为

由，得，即，经整理得

解得

所以分离点、会合点存在的条件是，即或
（3）的情形。此时的分离点、会合点为。根轨迹如图4-3(a)所示
（4）的情形。此时的分离点、会合点为。根轨迹如图4-3(b)所示
（5）的情形。此时没有分离点和会合点。根轨迹如图4-3©所示。
（6）的情形。此时极点和零点相消，开环传递函数化简为。如图4-3(d)所示，根轨迹是与虚轴重合的直线。不过需要注意的是，尽管位于的极点和零点相消，但并不意味着系统已经失去这些极点和零点。开环系统中可以相消的极点和零点永远是闭环系统的极点和零点。所以根轨迹的第3条分支退化成位于的一个点。

(a) (b)

(c) (d)
图4-3 系统根轨迹图
说明：
（1）在可变参数的某些变化区间，参数微小的变化可能导致根轨迹很大的变化。本例参数在附近变化时，根轨迹就有根本的不同。所以在徒手画根轨迹而又无十分把握时，不要想当然，最好代入几个试验点核实一下。
（2）分离点、会合点意味着重极点。在的根轨迹图中，处有3支根轨迹进入该点，有3支根轨迹离开该点，进入和离开该点的根轨迹分支间隔排列，切线方向的夹角为。这样的分离点和会合点代表3重极点。进入和离开该点的根轨迹切线方向的夹角为。
例4-3 已知一单位负反馈控制系统的开环传递函数为

试以为变量证明部分根轨迹为圆，并求分离点和会合点。
解 分析：该题主要是考察根轨迹的幅值条件和相角条件，只有满足以上条件的点才是根轨迹上的点。

按相角条件

即

等式两边取得

图4-4 系统根轨迹图

化简上式，得

整理后得

此式表明，部分根轨迹为圆心在，半径为的圆。
由以上圆的方程得分离点为

会合点为

根轨迹图如图4-4所示。
此题也可按式

求根轨迹方程
将代入得

由，得

化简上式得

即

与按相角条件求得的结果相同。
例4-4某系统开环传递函数为

试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定得开环增益范围。
解 分析 该系统为非最小相位系统，就是在右侧具有开环零、极点的系统。反之如果系统的所有开环零、极点都位于平面的左侧，则称为最小相位系统。
绘制非最小相位系统根轨迹的法则不变
（1）开环零、极点，，（）
（2）实轴上的根轨迹，
（3）渐近线

（4）分离点

可见分离点方程为高次，求解困难，可用估算法进行分析。方程中第3项和第4项（即和）较小，可以忽略，则分离点方程经整理可得

解得，
而准确值为和，误差为在工程上是允许的。
（5）起始角

由对称性得
（6）与虚轴交点 用劳斯判据求解，
系统特征方程为

列劳斯表

图4-5 系统根轨迹图

1)令第1列中项系数为零，可以得到系统临界稳定时的值，即

解得，
2)由劳斯表中一行的系数组成辅助方程，可以求得根轨迹与虚轴的交点值。辅助方程为

解得 （对应时）
（对应时）
则绘制系统的根轨迹如图4-5所示。又

所以使系统稳定的开环增益范围是

即
评注 （1）若要正确绘制根轨迹图，只要按照基本法则计算即可。再上图中，出发的两条根轨迹，其形状可由起始角和分离点决定；由出发的两条根轨迹，其形状可由与虚轴的交点和渐近线决定
（2）凡开环增益或在某一范围稳定的系统称为条件稳定系统。
例4-5 已知系统的开环传递函数为

（1）绘制系统的根轨迹图；
（2）为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定值范围。
解 分析绘制系统根轨迹图不难，可以利用绘制规则进行绘制，本题中需要注意的是，绘制根轨迹图的开环传递函数是利用写成零极点形式的开环传递函数，所以本题首先需要进行变换，然后利用绘制规则进行绘制；系统的阶跃响应出现衰减振荡的形式也就是说，系统的根轨迹处于复平面时对应的值范围。
(1) 绘制系统的根轨迹
系统的开环传递函数为

其中，
1）开环极点（）：，，；无开环零点；因此3条根轨迹分支将趋于无穷远点。
2）实轴上根轨迹为区间段。
3）渐近线与实轴夹角为
渐近线与实轴交点为
4）分离点，根据，可得，解得
，可以验证不满足相角条件，所以为系统分离点，对应的
5）根轨迹与虚轴交点，
利用劳斯判据
系统特征方程式为

列劳斯表

图4-6 系统根轨迹图
第一列出现零时，即时系统处于临界稳定，其对应的临界开环增益为
相应的辅助方程为
对应的
求交点也可用如下方法
令，代入特征方程得，解得

根据以上条件，可以绘制出系统根轨迹图如图4-6所示。
(2)系统具有衰减振荡时的值即为根轨迹在复平面内时对应的范围
系统根轨迹处于分离点时（与虚轴相交时，所以，系统具有衰减振荡时值范围为
例4-6 应用根轨迹法确定如图4-7所示系统无超调响应的值范围。
解 从图 求得系统的开环传递函数为

图4-7 系统结构图

化成标准形式，得

式中
从而可以利用根轨迹绘制规则，绘制根轨迹
（1）系统有两个开环极点；以及一个开环零点。因为，系统具有两条根轨迹其中一条趋于无穷远处。
（2）渐近线与实轴正方向的夹角

（3）计算根轨迹在实轴上的分离点和会合点坐标。
由计算根轨迹在实轴上的分离点与会合点坐标的关系式

求得

图4-8 系统根轨迹图
式中为分离点或会合点坐标。因为分离点与会合点均位于实轴，所以为实数。
将、及代入上式，经整理得

解得分离点坐标及会合点坐标。
给定系统的根轨迹图如图4-8所示，它的一部分是一个以零点为圆心、以零点到分离点（或会合点）的距离为半径的圆。
（4）确定给定系统无超调响应的值范围。
系统无超调响应意味着系统的特征根全部为实数。为此，首先写出系统特征方程式

从图4-8可见，在根轨迹图上的0至段及至段。两个区段对应的值分别为0至及至，其中为分离点对应的值，而为会合点对应的值。显然，及为会合点对应的值。显然，及是使系统无超调响应时取值范围的两个边界值。
由特征方程式解出

分别将及代入上式，求得边界值

由此求得系统无超调响应的值范围是

例4-7 已知某负反馈控制系统的开环传递函数为

试求：（1） 绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆；
（2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围；
（3） 系统最小阻尼比时的闭环极点。
解 （1）绘制根轨迹
1） 开环零极点，，，（）
2）实轴上根轨迹
3） 分离点会合点
由，根据得可以求得，
令为根轨迹上任意一点，代入特征方程

则有

整理得

做出的根轨迹如图4-9所示。
由图可见复平面根轨迹为圆，圆心坐标为，半径为。
（2）求系统欠阻尼时的范围。先由特征方程求出分离点处的

图4-9系统根轨迹图

解得
，
因为
所以对应的开环增益分别为
，
即欠阻尼状态时的开环增益范围为

（3）求最小阻尼比时的闭环极点。在根轨迹图上作圆的切线于A点（A点即为所求极点位置），由相似三角形关系

得

又

所以

故对应最小阻尼状态时得闭环极点为

例4-8 已知单位反馈系统的开环传递函数为，要求系统的闭环极点有一对共轭复极点，其阻尼比为。试确定开环增益，并近似分析系统的时域性能。
解 ，；根轨迹分离点为，对应的与虚轴的交点为，对应的，其根轨迹图见图4-10所示
设复极点为
根据阻尼比要求

图4-10 系统根轨迹图
先试凑性地取，得；此时
不满足相角条件，因为，所以要使加大，使与开环极点形成的角度加大。
取，则，此时；继续加大，取，则，此时。因此共轭复数极点为，此时
根据根轨迹的根之和规则可得另一极点为，由此可以认为是系统的主导极点。
系统的闭环传递函数可近似的表示为
可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标
超调量

调节时间

例4-9 一具有单位反馈的电液伺服系统，其开环传递函数为

（1）试绘制从0变化到时的根轨迹
（2）求阻尼比时，系统的主导极点及其对应的开环增益为何值
解（1）绘制根轨迹
根轨迹对称实轴：，有四条根轨迹分支，分别起始于；终止于无穷远，因为没有有限的零点。
实轴上的根轨迹：在0，3之间存在根轨迹。
渐近线：有四条渐近线
与实轴夹角为
与实轴交点为
分离点：系统特征方程可改写为
由，得，即，解得
和
因为位于实轴起始于0，的根轨迹上，故必为分离点。而不满足幅角条件，故不是分离点
分离点对应的值为

离开复数极点的起始角：离开复数极点的起始角为

故的起始角
根轨迹与虚轴交点：利用劳斯判据校验始于的两条轨迹是否与虚轴相交。已知系统特征方程为

列劳斯表

可见，根轨迹分支在值为
的情况下，与虚轴相交。由此得

图4-11 系统根轨迹图
时，由行得系数构成