自动控制原理课后习题答案.pdf

第1章控制系统概述【课后自测】1-1试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统，说明它们的工作原理并比较开 环控制和闭环控制的优缺点。解：开环控制一一半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。工作原理：被控制量为衣服的干净度。洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验,设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。系统输出量（即衣服的干净 度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。闭环控制一一卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供 水量，形成闭环控制。当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比 例），系统处于平衡状态。一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再 次处于平衡状态。开环控制和闭环控制的优缺点如下表控制系统优点缺点开环控制简单、造价低、调节速度快调节精度差、无抗多因素干扰能力闭环控制抗多因素干扰能力强、调节精度高结构较复杂、造价较高1-2自动控制系统通常有哪些环节组成？各个环节分别的作用是什么？解：自动控制系统包括被控对象、给定元件、检测反馈元件、比较元件、放大元件和执 行元件。各个基本单元的功能如下：（1）被控对象一又称受控对象或对象，指在控制过程中受到操纵控制的机器设备或过 程。（2）给定元件一可以设置系统控制指令的装置，可用于给出与期望输出量相对应的系 统输入量。（3）检测反馈元件一测量被控量的实际值并将其转换为与输入信号同类的物理量，再 反馈到系统输入端作比较，一般为各类传感器。（4）比较元件一把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的给定值进行比较，分析计算并产生反应两者差值的偏差信号。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和 电桥等。（5）放大元件一当比较元件产生的偏差信号比较微弱不足以驱动执行元件动作时，可 通过放大元件将微弱信号作线性放大。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。（6）执行元件一用于驱动被控对象，达到改变被控量的目的。用来作为执行元件的有 阀、电动机、液压马达等。（7）校正元件：又称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方 式连接在系统中，以改善控制系统的动态性能和稳态性能。1-3试阐述对自动控制系统的基本要求。解：自动控制系统的基本要求概括来讲，就是要求系统具有稳定性、准确性和快 速性。稳定性是对系统最基本的要求，不稳定的系统是无法正常工作的，不能实现预定控制任 务。系统的稳定性，取决于系统的结构和参数，与外界因素无关。所谓稳定性是指：当受到 外作用后(系统给定值发生变化或受到干扰因素影响)，系统重新恢复平衡的能力以及输出 响应动态过程振荡的振幅和频率。简单来讲，若一个系统稳定，则当其在外部作用下偏离原 来的平衡状态，一旦外部作用消失，经过一定时间，该系统仍能回到原来的平衡状态。反之,系统不稳定。准确性是衡量系统控制精度的指标，用稳态误差来表示。当系统达到稳态后，稳态误差 可由给定值与被控量稳态值之间的偏差来表示，误差越小，表示系统的输出跟随给定输入信 号的精度越高。快速性反应系统输出响应动态过程时间的长短，表明系统输出信号跟踪输入信号的快慢 程度。系统响应越快，说明系统的输出复现输入信号的能力越强，表明性快速性越好。在同一个系统中，上述三方面的性能要求通常是相互制约的。1-4直流发电机电压控制系统如图所示，图1-17(a)为开环控制，图1-17(b)为闭 环控制。发电机电动势与原动机转速成正比，同时与励磁电流成正比。当负载变化时，由于 发电机电枢内阻上电压降的变化，会引起输出电压的波动。(1)试说明开环控制的工作原理，并分析原动机转速的波动和负载的变化对发电机输 出电压的影响。(2)试分析闭环控制的控制过程，并与开环控制进行比较，说明负载的作用。(a)(b)图1-17直流发电机电压控制系统解：(1)这是一个通过调节原动机励磁，控制输出电压的直流发电机系统。控制作用的实现是输入信号电压控制原动机励磁的电压输出，再有原动机励磁的输出电 压控制直流发电机的输出电压，进一步带动负载工作。由于发电机电动势与原动机转速成正比，同时与励磁电流成正比，所以当原动机转速降 低时，发电机输出电压同时降低。当负载增加时，输出电压同样降低。(2)该闭环控制系统反馈信号从输出电压得到直接送入电源输入端，形成负反馈控制。当发电机输出电压减小时，原动机励磁增加，进而使发电机输出电压回升。1-5图1-18所示为水位控制系统，分析系统工作原理，指出系统被控对象、被控量、控制器、检测反馈元件、执行元件、给定输入量、干扰量、输出量，并画出系统原理方框图。解：被控对象：水池；被控量：水位；控制器：放大器；检测反馈元件：浮子、电位器；执 行元件：电动机，减速器，阀门；给定输入量：给定水位；干扰量：输出流量与输入流量的 变化；输出量：实际水位。系统工作原理：当输入流量与输出流量相等时，水位的实际测量值和给定值相等，系统 处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。当输出流量增加时，系统水位下降，通 过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门 打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零,系统重新达到平衡状态。反之易然。系统原理方框图：1-6图1-19所示为仓库大门控制系统，试说明大门开启和关闭的工作原理。当大门不 能全开或全关时，应该如何调整。U ST图1-19仓库大门控制系统解：当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门 的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。给定电位器 与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位 置，直到门完全打开，其测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置 停止改变，系统处于新的平衡状态。系统方框图如解图所示。元件功能电位器组一一将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。为给定、测量元 件。放大器、伺服电机一一将给定信号和测量信号进行比较、放大。为比较、放大元件。绞盘一一改变门的位置。为执行元件。门 被控对象。系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。当大门不能全开或全关时，应该调整电位器组。第2章自动控制系统的数学模型【课后自测】2-1X=左1卜一0一夕退%2)=TX3+X3=+/c(0=k2x3式中，r是输入量，。）是输出量；%,占，%为中间变量；e,/3,k左2为常数。画出系统的动态结构图，并求传递函数c应。R。）解：对为=左 1(。一12)=Tx3+x3=x1+x2取拉氏变换可得。=k2x3sX(s)=H(s)_C(s)_ 尸 X3G)X2(s)=tsR(s)(仆+1)X3(s)=Xi(s)+X2(s)进一步变换可得sC(s)=左2X3。)X(s)=2A(s)_C(s)_/?X3(s)SX2(s)=tsR(s)L2=G3H2、L3=G4H3其中乙和乙不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为L.L3=G2 G则该系统的特征式为A 1 (Zq+L2+L3)+七3=+G?H、+G3H2+G&H3+G2G&H、H3系统有两条前向通路，其增益及其余子式分别为Pi=GG2G3G4G5,余子式 A1=1P2 GQ5G$，余子式 A2=1用梅逊公式求得系统的传递函数为C(s)1+pA G&G3G4G5+GGG6R(s)A 1 1 2 2 1+G2Hr+G3H2+G4H3+G2G4HxH3(b)系统有五条回路，回路增益分别为=-G3H1 L2=H2、L3=G4H3、L5=G3G4H4、L5=G2G3G4H5则该系统的特征式为A=1 (+Z2+L?+L4+5)=1+G3H、+H 2+G 4H 3+G3G4H 4+G2G3G4H 5系统只有一条前向通路，其增益为片=62636465,余子式A=1用梅逊公式求得系统的传递函数为C(s)R(s)3G&G3G4G5A 1+G3Hl+凡+G4H 3+G3G4H 4+G2 G3 G应(c)系统有三条回路，回路增益分别为、L?1R】c 2s、L31R2c 2s其中乙和4不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为LJ3=-1-RR2cle2s之则该系统的特征式为A=1-(L1+2+L3)+L13=1+-+-RC、s RC 2s R2c 2s R、R2cle 2s系统只有一条前向通路，其增益为4=-1余子式A=lRiG用梅逊公式求得系统的传递函数为1C(5)_/A1 _丽=?7+，+，+RGs RC?s R2c 2s&R2cle2s(RR2cle 2s2+R2c 2s+R2cls+RC、s+s2 9已知系统的信号流图如题2 9图所示，试求系统的传递函数2。若&=0,为使R。）上述传递函数器保持不变，应如何修改G（s）?图2-66题29某系统的信号流图解：（1）系统有三条回路，回路增益分别为,0.5K,172.5、L3 S（s+l）S（S+1）（5+1）无两两不想接触回路，则该系统的特征式为A=1 (Zq+Z2+L3)1+0.5K 1 2.5-；-1-1-s(s+1)s(s+l)(s+l)0 5K系统只有一条前向通路，其增益为又=；：；),余子式A=l用梅逊公式求得系统的传递函数为0.5KC(s)_ _Y(s+1)_ _ 0.5K一 0.5K 1 2y-d+3.5Y+s+o.5K/(s+l)s(s+1)(5+1)(2)若K=0,则系统三条回路增益分别为_ 0.5KG(s),_ G(s),_仆。、L?L3 0s sa 1 7 丁、i 0,5KG(s)G(s)A=1-(Lx+L2+L3)=1+-s s系统前向通路增益为片=05吁),余子式A=1 s求得系统的传递函数为0.5KG(s)C(s)_ _ 0.5KG(s)Rs 1 0.5KG(s)G(s)1+。+sG(s)s s题目要求系统传递函数保持不变，则有0.5KG(s)_ 0.5KY+0.5KG(s)+sG(s)-$3+3.5/+0 5K计算可得G(s)=1s+3.52-10已知控制系统结构图如题2 10图所示，试求出它们的传递函数包?。R。）e)(f)（g）图2-67题210控制系统结构图解：（a）系统动态结构图中发生交叉连接，为消除交叉，可将前向通道中两相邻比较点互换 位置，等效动态结构图如图所示A G(S)R（s）计算可得系统传递函数为=(1+3(5)G2G)1+G?($)(S)“2 CO)G2（s）+3（s）G2（s）1+G2（S）i（S）G2（S）52（S）（b）系统动态结构图中未发生交叉连接，利用并联和反馈即可求出系统传递函数为C(s)=GCG)7?(s)-1+(Gi(s)+G2(s)(G3(s)-G4(s)=_G(s)+G2(s)_1+3(s)G3(s)+G2(s)G3(s)&(s)G4(s)-G2(s)G4(s)(c)根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示系统只有一条回路，回路增益为L1=-G1（s）G3（s）则该系统的特征式为A=l Li=1+G(s)G3(s)系统有两条前向通路，其通道增益分别为 L4=G1(s)G2(s)无两两不想接触回路，则该系统的特征式为A=1 (+L+3+4)=1 G(s)+G2(s)+2G(s)G2(s)系统有四条前向通路，其通道增益分别为.=G(s),余子式A1=1舄=G2(S)，余子式42=1A=G(S)G2(S),余子式A2=1A=G(S)G2(S),余子式A2=1用梅逊公式求得系统的传递函数为2=1(g+4+3+3)=G2(g)RG)A 1 1 2 2 3 3 4 4 1-G.(5)+G2(s)+2GX(5)G2(5)(g)根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示C(s)系统有三条回路，回路增益分别为及=G(5)G2(5)Hx(s)、L2=-G2(5)Hx(s)、L3=-G2(s)G3(s)H2(s)无两两不想接触回路，则该系统的特征式为A=1(乙+4+4)=1 一 G(5居2 区(S)+仃之也+G2(5)G3(5)H2(5)系统有两条前向通路，其通道增益分别为 P=G（5）G2（5）G3（5）,余子式1P2=G4G),余子式A2=l-(1+2+L3+4)=l-G1(5)G2(5)Hx(s)+G2(5)HX(s)+G2(s)G3(s)H2(s)用梅逊公式求得系统的传递函数为咨(g+P2与)=_GC-+G4 R(s)A 1 1 2 2 1-G.(5)G2(5)Hx(5)+G2(5)Hx(5)+G2(5)G3(s)H2(5)第3章自动控制系统的是域分析法【课后自测】3-1 一阶系统的结构如图所示，其中Kk为开环放大系数，K”为反馈系数。设 Kk=100,Kh=0.1,试求系统单位阶跃作用下的调节时间(A=0.05)。如果要求调节 时间为0.1秒，设开环放大系数不变试求反馈系数解：由结构图得系统的闭环传递函数为KksKk1+k”s+KkKh s1Kh15+1KrKr A 1系统误差要求为=0.05,则调节时间4=37将Kk=1OO,K“=0.1 带入可得4=37=KkKh 100 x0.13=0.3秒若要求调节时间为0.1秒，计算K”值。此时，ts=3TKkKh 1OOKh3-=0解得433Kh=0.3 LT43-2已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为G%(s)=而百，求系统在单位阶跃 信号作用下的响应。解：系统闭环传递函数为4C(s)=G(s)R(s)1+Gk(s)Y+s+4对照二阶系统的标准形式，得访2=4,2g 厂1因而可求得。广2,=-0=c-L 列写劳斯表为53 1 5c+552 1 5s1 5ts 5根据劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为5了+5 O=c-lr 0综合得r03-7已知系统结构如图所示，欲使系统具有以上的稳定裕度，试确定K的取值范 围。火m r匚工。(斗Y5(0.15+1)(0.45+1)图3-38题3-7图解：根据题意可得，系统闭环特征方程为且 GG)=KR(s)1+Gk(s)s(0.Is+1)(045+1)+K闭环特征方程为s(0.Is+l)(0.4s+1)+K=0整理形式可得0.04?+0.5?+7=0欲使系统具有以上的稳定裕度，将5=年-1代入原闭环特征方程，得0.04(5 1)3+0.5(S _ 1)2+(S _ 1)+K=0整理上可得0.04/+0.38/+0.+K-0.54=0根据劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为K 0.5400.38x0.12 0.04(7-0.54)所以K的取值范围是0.54 K 0根据题意可得，系统闭环特征方程为二,=0-K(0.5s+l)R(s)1+Gk(s)s(s+1)(0.5/+5+1)+K(0.5s+1)闭环特征方程为 S(S+1)(0.552+5+1)+K(0.5s+1)=0整理形式可得0.5s4+1.5?+Is1+(1+0.5K)s+K=0d 0.5 2 K/1.5 1+0.5K2 2.5-0.25K 0s-K1.5i(1+0.502.5-0.25K)1 于 Ks-2.5-0.25Ks K根据劳斯稳定判据，计算可得系统稳定的充要条件为1JK roots(p)ans=-3.45570.2279+3.3946i0.2279-3.3946i（2）列出劳斯表/Ill?3 3s1 0 1i 3g 3s-8S 1由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根（右根），相应的 系统为不稳定。MATLAB软件求其特征根为：p=l 3 13 1;roots（p）ans=-2.96560.1514+0.9885i0.1514-0.9885i-0.3372（3）列出劳斯表55 1 3 154 6 2 1-%1s。1由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根（右根），相应的 系统为不稳定。MATLAB软件求其特征根为：p=l 6 3 2 1 1;roots（p）ans=-5.5171-0.5007+0.4636i-0.5007-0.4636i0.2593+0.5675i0.2593-0.5675i（4）列出劳斯表/1 6 10 4/2 8 4d 2 8 4s3 0 0由于d这一行的元素全为零，使得劳斯表无法往下排列。可由上一行的元素作为系数 组成辅助多项式p(s)=2s4+81+4p(s)对s求导,得处=8d+16s ds用系数8和16代替全零行中的零元素，并将劳斯表排完。/1 6 10 4/2 8 4/2 8 4/8 16s2 4 4s1 1S。4由上表可知,第一列元素的符号没有变化，表明该特征方程在s右半平面上没有特征根。但d这一行的元素全为零，表明有大小相等、符号相反的实根和(或)共班根。MATLAB软件求其特征根为：p=l 2 6 8 10 4 4;roots(p)ans=0.0000+1.8478i0.0000-1.8478i-1.0000+l.OOOOi-1.0000-l.OOOOi0.0000+0.7654i0.0000-0.7654i3-10已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试求系统的稳态位置误差系数、稳态速度误差系数K,和稳态速度误差系数并确定当输入信号为e),5人产和1+5%+/时系统的稳态误差SS(i)10(0.1s+l)(0.5s+l)(2)G%(s)=s(s+l)(0.5s+l)&2(3)GZ)=8(s+D 八?(O.h+l)(4)、5(3s+l)d(2s+i)(s+2)解：(1)劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数1 0G(s)(0.1s+l)(0.5s+l)分别求出系统小。=),&(S)=4时，静态位置误差系数为 SK产物G二吧110(0.1s+l)(0.5s+l)10,止匕时Gs打R1+勺1+勺1112)=%，=51,%=5时，静态速度误差系数Kl 崛 sG(s)=吗 s10(0.1s+l)(0.5s+l)此时与“2Kv 0=0,4)=2。0产=产,4=2时，静态加速度误差系数K=lims2Gk(s)=lims2 sfO sf010(0.15+1)(0.55+1)0,此时，,32二000_ Qpr=1+51+产时，essressri+essrl+essr3=(2)劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数G%(s)=s(s+l)(0.5s+l)分别求出系统q=，&(S)=4时，静态位置误差系数为20=1叫6后(5)二1叫2s(s+l)(0.5s+l)=8,止匕时GmR。11+陌 1+Kp 1=0p2(力=%=5，,%=5时，静态速度误差系数Kv=lim sGAs)=lim s-=2,v Sf。k 20 s(s+l)(0.5s+l)此时2旦=2=2.5Kv 24)=2/产=产,4=2时，静态加速度误差系数2K=lims2G左(s)=lims2S-0 5-0s(s+l)(0.5s+l)0,此时 essr3回=2=00Ka 0)=l+5l+产时，essressri+essr2+essr3=cQ(3)劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数Gk(s)=8(s+D 分别?(0.15+1)求出系统5)=),&(5)=1时，静态位置误差系数为 SKn=limG“(s)=limP SfO 5-08(5+1)?(0.15+1)=8,止匕时&二4二2)=%，=5，,%=5时，静态速度误差系数K=limsGk(s)=lims D=8,止匕时 eV 一。八 a。?(0.15+1)的2Kv s4)=2。0/=产,4=2时，静态加速度误差系数K=lim s2G(s)=lim s1 J(s+D_“2。八 一。?(0.15+1)=2=2=0.25Ka 88,此时9厂3r)=1+5%+/时,/丫=essrX+j+f=025(4)劳斯判据判断可得该系统不稳定3-11 一单位负反馈控制系统，若要求(1)跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2(2)设该系统为三阶系统，其中一对复数闭环极点为-1川求满足上述要求的开环传递函数。解：根据已知条件，可知系统是I型三阶系统，因而令其开环传递函数Gk(s)=-s(s2+加+c)1R因为先=2n(=0.5,K=0.5c按照定义 K lim sGk(s)=sfO C相应闭环传递函数为：4、K K K(s)=-=-=-53+加之+cs+K($2+2s+s)(s+p)s3+(2+2)/+(2q+2)s+2qp+2=b可得 v 2+2=。=2p=K=0.5cP=1 c=4K=2b=3所求开环传递函数为Gk（s）=2 s(s2+35+4)3-12已知系统结构如图所示，其中r（/）=&=4=试求(1)在。）作用下系统的稳态误差(2)在4。）和&）同时作用下系统的稳态误差（1）当系统输入信号为，）=）时，系统结构图等效为解:根据系统等效结构图可以得出，此时系统开环传递函数Gk（s）=：（s+D,闭环特 K$2（0 25+1）征方程为0.2Y+/+10s+10=0,劳斯稳定判据可得系统稳定。静态位置误差系数为K=limG/s）=limJ2（lL=oo,止匕时/=0P Sf。八 20/（0.25+1）皿 1+K 1+K（2）当系统输入信号为4=）时，系统结构图等效为10由动态结构图可得1（S）=s(0.2s+l)li 10(s+l)一(0.2S+1)_10_ 0.2/+?+10?+10ssdl 二lim s 更d(s)=Hm sedl(s)gE(s)sf 0 sf 01/10、=lim 5-(-)=oosf 0 0.2/+$3+10/+0s由动态结构图可得+1）?（0.25+1）0.2/+/0.2?+52+10+10W2=li吗 S均2（S）=li吗 S 触 ed2（S）g02（S）=limJ(-5 s-峥-00.2?+?+10+10Gsd=Gsdl+q鼠2=83-13已知系统结构如图所示，其中厂）=）=）（1）当K=10和K=20,求系统的稳态误差，并进行比较。（2）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节对结果有什么影响，在扰动作用点 之后引入积分环节对结果又有什么影响。图3-40题3-13图解：（1）当系统输入信号为，）=）时，系统结构图等效为根据系统等效结构图可以得出，此时系统开环传递函数Gk（s）=2K(0.05s+l)(s+5)，闭环特征方程为 0.05Y+1,25s+5+2K=0。当K=10和K=20时，可分别判断系统均能达到稳定。静态位置误差系数为=H 中 Gk(s)=l叫2K(0.05s+l)(s+5)=0.4K,止匕时R。-11+勺 1+0.4K当K=10和K=20时，系统给定信号作用下的稳态误差分别为0.2和-9当系统输入信号为d=）时，系统结构图等效为由动态结构图可得2s+5 K(5)=1+(0.05s+l)(s+5)2(0.05s+1)(0.05s2+1.25s+5+2K)=li”sgEd(s)=li”sgI)ed(s)gD(s)sf 0 sf 01 2 1 2=lims-=-Sf。s L(0.055+1)(0.0552+1.25s+5+2K)5+2K2当K=10和K=20时，系统扰动信号作用下的稳态误差分别为0.08和45综上可得当K=10,系统稳态误差为9=+.鼠=0.2+0.08=0.281 2当K=20,系统稳态误差为9=，+/=+出0.15SS SSr SSu 9 45(2)扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节之和决定系统响应 扰动作用的型别，与扰动作用点之后的前向通道积分环节数无关。如果在扰动作用点之前的 前向通道或主反馈通道中设置/个积分环节，必可消除系统在扰动信号作用下的稳态误差。第4章线性系统的根轨迹分析法【课后自测】4-1已知系统开环传递函数的零极点分布如图所示，试绘制系统概略根轨迹图0 j 0“3V_c_，4 _C、/_4U A U/aaaajXXOO，4 _C_y.4 X/C_a八 八 八 k 八，aCTaOoXX图4-17题4-1图试用相角条件证明该系统的根轨迹通过点(T)石)(2)求在闭环极点(-1,-)、回)时系统的根轨迹增益K*解：(1)若点si在根轨迹上，则点si应满足相角条件NG(s)H(s)=(2k+i)巴如图所示,对于Si=-l+jf,由相角条件/G(S)H(s,=0-2(一 1+10+1)+2)-乂-1+j 平+4)71 71 71满足相角条件，因此S1=T+人产=-1在根轨迹上。将si代入幅值条件：，、K*|g(sD”(si)|=-n-.n-r=1I T+jyF+1 I I-1+j#+2|-1+jyP+4|解出K*=124-3已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹(1)G%(s)=(s+l)(s+3)(s+5)解:(1)n=3,m=0,总共3条根轨迹，其中极点分别为匕=-1出=-3岛=-5确定实轴上轨迹(-8,-5,-3,-1渐近线(2k+1)7T(2k+1)7T(pa=-=-=n-mnT7Tk=-13k=07，k=1ri m(-P/)-(-zjj=l i=l 9(ya-=-o=-3n-m 3确定根轨迹分离点D(s)=(s+l)(s+3)(s+5)+即=0 今生=0d=-1.85确定根轨迹与虚轴交点，令S=j3代入特征方程,I 233-32=0 向=4.8Uo-9a)2+15=OUo=192画出根轨迹图如下(2)n=3,m=l,总共3条根轨迹，一条趋于零点，两条趋于无穷远，其中零极点分别为P=。/2=-5/3 1。，Z 8确定实轴上轨迹-1,-8,-5,0渐近线7T(2k+1)71(2k+1)7T(2fk=0-=-3.5确定根轨迹分离点111 1=+-+d+8 d d+5 d+10得出d=-2.66画出根轨迹图如下Root Locus4-4已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹(1)G%(s)=K*(d+2s+4)(Y+2s+2)(/+8s+25)(2)G9)=K*(s+8)s(s+2)(s+5)解(1)n=4,m=2,总共4条根轨迹，两条趋于零点，两条趋于无穷远，其中零极点分别为匕=_ 1+j/2=_ 1 7*3=_4+j3,P4=-4-j3,Z=_ 1+八何Z=_ 1-jy实轴上无轨迹渐近线71-#=-1(2土+1)7T(2%+1)7T 1 71(po=-=-=k,k=0n-m 4 23tt,fc=1出射角和入射角(PP3=一 P1P3-Bp2P3-9p4P3+Z1P3+Z1P4=71(180-arctanj-(180-arctanj-90+(180 arctan-+(180 arctan3=22o3(Pp4=-223(Ppi=7T-Op3Pl-Ap4Pl-9p2Pl+JziPl+Z1P1=冗一180-arctan-(180-arctan-90+90+90=-3.2(Pp2=3.2年zi=71 0z2Zl JpiZl+8p2Zl+0p3Zl+8p4Zl=90+90+90+(180 OX CtCLTl+(180 arctan3=189.5Wz2=189.5画出根轨迹图如下:0864202468 O S(5+3)(l)试用MATLAB绘制该系统的根轨迹图，并确定系统稳定的K*值范围(2)若增加一个开环零点z=-2,则根轨迹有什么变化？系统的稳定性有什么变化?(1)num=l;den=l,3,0/0；rlocus(num,den);108Root LocusReal Axis系统不稳定(2)num=l,2;den=l,3,0,0;rlocus(num,den);已。|Q|W及要/，|目|口 明|回8 6 42 0 2T)；根轨迹全部在左半平面，变为完全稳定系统4-7已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为Gk(s)=s(s+3)(1)试用MATLAB绘制该系统的根轨迹图，并确定系统稳定的K*值范围(2)若增加一个开环极点=-1,则根轨迹有什么变化？系统的稳定性有什么变化？num=l;den=l,3,0;rlocus(num,den);Root Locus2s-xv AJeuaeul-5 d-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5Real Axis1 1 11 11 11 1 1Jl1 11t.1系统稳定，k范围(0-8)num=l;den=l,4,3,0;rlocus(num,den);Root Locuso 8 6 4 2 0-2 dEuaeul-Real Axis稳定性变差，是系统稳定的K值范围缩小，（0-11.8）4-8设系统闭环特征方程为/+4/+4s+=0,试画出以a为参量的系统根轨迹，并判 断系统的稳定性。-=0s3+4s2+4s等效开环传递函数GiG)=n=3,m=0,总共3条根轨迹，其中极点分别为0=2=P=-2确定实轴上轨迹(-8,-2,-2,0渐近线(2fc+1)tt(2k+1)7Tk=-1k=07i,k=1E(一 Pj)_(一 zdj=l i=l 4(ya=-=-on-m 3确定根轨迹分离点D(s)=s(s+27+a=0,令誓=0,d=-0.67确定根轨迹与虚轴交点，令 二双代入特征方程,4a)-o)3=0=2la-4/=o=la=16画出根轨迹图如下Root Locus62 os.xv a e u一bee-4-2Real Axisa从。连续变到16时，系统是稳定的，之后系统不稳定。第5章线性系统的频域分析法【课后自测】5-1频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。5-2采用半对数坐标纸有哪些优点？解:可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算,并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。5-3从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有 可能相抵消。若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节(串联)可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。若 系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节(串联)可以完全消除 这种影响，两个环节的时间常数相同即可。5-5为什么要求在附近L(co)的斜率为-20dB/dec?解：目的是保证系统稳定性，若为-40dB/dec,则所占频率区间不能过宽，否则系统平 稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec。5-6已知放大器的传递函数为、KG(s)=-Tv+1并测得rad/s、幅频A=12/亚、相频0二-”4。试问放大系数K及时间常数T各为 多少？解：频率特性为：GM=J+1幅频和相频分别为：K2(A)=-有=12/避、W(l)=一 circtanT=-7r/4得到：K=12,T=15-7当频率g=2 rad/s、如2=20 rad/s时，试确定下列传递函数的幅值和相角:S(2)G2-2 s(0.1s+l)、10.10解：(1)Gi(73)=万=一)/10|301(90。31=2 rad/s 时,|GiOa)|=z=5,(Pi(o)=-9031=20 rad/s 时，|G103)|=而=0.5,(Pi(o)=-90(2)。2 0&)ja)(QAja)+1)jo)-o.lco21|G 2 C/a)I=一3他+0.01/102(3)=arctan叫=2 Qd/s 时,1/0&)|=;=0.492*+0.01 X 221092(3)=Cretan=78.731=2 Qd/s 时,|G 2(73)=-,r=201+0.01 X 20210夕 2(3)=arctan 26.65-8设单位反馈系统的传递函数为G(s)105+1当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。(1)r(t)=sin(t+30)(2)r(t)=2 cos(2t-45)(3)r(t)=sin(t+30)-2 cos(2f-45)【解】：求系统闭环传递函数Gk(s)=105+11010(J+11)&2+121-i 加n根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下:(1)。=1,Ar=1,01=30。10/e 11Vl+121=0.910q=Ac sin(r+g)=ArA(l)sin +R+0(1)=0.9sin(r+20)(2)g=2,4=2,q=45。Gb(加必:品=。-89叱。q=1.98cos(2-55。)(3)cs(t)=0.9sin。+20)-1.98cos(2l 55)5-9若某系统在输入信号r(t)=l的作用下，其输出量c为。=1 1.84+0.81%后0试求系统的传递函数G(s)和频率特性G(jw)的表达式。解：单位阶跃输入信号的拉氏变换为R(s)=-s系统单位阶跃响应的拉氏变换为、1 1.8 0.8 36C(s);-+-二-s s+4 5+9 s(s+4)(s+9)系统的闭环传递函数为G(s)=器=36(5+4)(5+9)将5=代入传递函数G(s)可得G(j)36(7+4)(+9)5-10试求下列各系统的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。G(s)2(2)G(s)(s+l)(2s+l)2 G(s)s(s+l)(2s+l)2?(5+1)(2+1)解:2-26(1)G(jo)=P(o)+jQ(o)=丁-、/.-=-=-+j=-L 03+1)(2/3+1)W+1 9苏+12vs卬侬心(p(o)=arctan3=71.62-6 2(2)G(jo)=P(3)+jQ(a)=,=-5-+j-5-/+l)(2/3+1)(9/+1)3(932+1)3G(j=-。(96)2+1)3(p(3)=arctan-j=-18(3)2G(j3)=P(o)+jQ(o)=_ j(i)z(ja)+l)(2/3+1)2#|(7(7,6)|=-二7(9a)2+1)6)2(p(o)=arctan3=71.65-11已知各系统的开环传递函数为小、100(2+1)(l)G(s)=-z-s(5s+1)(Y+s+1)小、200(2)G(s)=-$2(5+1)(105+1)W)=_0&10S+1)_1+5+1)(?+45+25)(+0.2)2 6(9苏+1)32+,(932+1)32试绘制各系统的开环对数幅相特性曲线。解：把各典型环节对应的交接频率标在川轴上，交接频率分别为0.2,0.5,1；画出低频段直线。斜率为-20dB/dec,其延长线过点（1,40）；由低频段向高频段延续，每经过一个交接频率，根据不同环节特点，斜率作适当改 变，这样画出对数幅频特性曲线；根据典型环节特性，得相频范围为（-90。-270。），对数相频特性曲线如图所示。根据以上分析，画出的对数福相特性曲线如下：Frequency(rad/sec)(2)把各典型环节对应的交接频率标在3轴上，交接频率分别为0.1,1;画出低频段直线。斜率为-40dB/dec,其延长线过点(1,46)；由低频段向高频段延续，每经过一个交接频率，根据不同环节特点，斜率作适当改变,这样画出对数幅频特性曲线；根据典型环节特性，得相频范围为(-180。-360。)，对数相频特性曲线如图所示。根据以上分析，画出的对数福相特性曲线如下：1()7 10*2 10-1 10 101 102Frequency(rad/sec)(3)把各典型环节对应的交接频率标在3轴上，交接频率分别为0.1,0.2,1,5；画出低频段直线。斜率为-40dB/dec,其延长线过点(1,-16)；由低频段向高频段延续，每经过一个交接频率，根据不同环节特点，斜率作适当改变,这样画出对数幅频特性曲线；根据典型环节特性，得相频范围为(-180。-540。)，对数相频特性曲线如图所示。根据以上分析，画出的对数福相特性曲线如下：5-12已知系统对数幅频特性曲线如图5-58所示，试写出它们的传递函数。解:(a)(d)(f)G=；(b)0.15+1、50G(s)=-5(0.015+1)(e)G(s)G(s)=l+0.1s；G(s)=100G(s)=k0.1s0.025+15(105+1)(0