微积分第二章典型例题.doc

补充知识
一、数列与其子列之间的关系
定义 从数列中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列的一个子数列，简称子列．记作
：．
其中表示在原数列中的位置，表示在子列中的位置．
例如 ：奇数子列 ，
其中
显然．
下面的定理给出了数列与其子列之间的关系．
定理：对于数列，
(1) 的充要条件是对的任何子数列都有.
(2) 的充要条件是的偶数子列和奇数子列满足 ．
(3) 若单调，则的充要条件是存在一个子数列满足．
二、数列极限与函数极限的关系
定理2.18（Heine定理）的充要条件为：
对于任意收敛于的数列，都有．
常用结论：若，则.
例如：由，可以推出，等.
注（1）对于，，，，等情形，只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立．
（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论．
（3）用该定理可以说明某函数极限不存在.
例如：证明不存在.
证明： 取， ， ，显然
，,
但是，.
由Heine定理可知， 不存在．
三、求极限的一般方法
(1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；
(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等；
(3) 利用等价无穷小量的性质；
(4) 利用高阶无穷小量的性质；
(5) 利用极限存在准则；
(6) 利用重要极限；
(7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；
(8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；
思考题解答
1.用定义证明.
证：，要使.
由于时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑，即，此时，
故只需使，即.
取，则当时恒成立.
由极限定义得 .
2、利用三角函数的周期性求极限
（1）

（2）

（3）
，
其中最后一步用了是无穷小量，是有界变量，乘积仍为无穷小量.
3、设，证明存在，并求其值.
证明：，进而，猜测，
用数学归纳法证明.假设时不等式成立，即，那么时，
，即不等式成立.
所以对任意自然数，都有，即单调增加.
由，得，解得，所以有界.
（或先观察，猜测，再用数学归纳法证明）
因此存在.
不妨设 ，在两端令得，，所以.
典型例题
例1、 已知存在，，求.
解：设，则，两边令，得，
，.
例2、（1）若，则_______,_______．
（2）若，则_______,_______．
（3）若在连续，且，则.
（4）已知，则_______,_______．
常用结论：（1）若，并且，则.
（2）若，，并且，则.
证明：（1）.
（2）.
解：（1），所以，

（2），所以.
，所以.
（3），由在连续得.
（4）由得，，即，所以
从而，．
例3．若，讨论的间断点.
解：，
函数的间断点只能出现在分段点处.
在处，所以为跳跃间断点.
在处，，所以在连续.
总之，的间断点为.
例4. （1）已知，求.
（2）若，求.
（3）若，求.
解：（1）（方法一）由
，得
，从而.
（方法二）由极限与无穷小的关系得，，其中，从而，
（2）由，得
，所以
.
类似（1）的方法二留作练习.
（3）由，得，故.
类似（1）的方法二留作练习.
例5 、求极限．
解：
，
所以原极限等于1．
例6、 讨论函数在定义域内的连续性．
解： 因为在，为初等函数，所以在内连续．
在处，
，，
所以，从而在处连续，
因此函数在内连续．
例7 设 在处连续，求的值.
解： ， ，
所以.
例8 设 ，求 .
解： 因为，
所以 ，
可以得到 ，
又因为 ，
所以 ，故 .
例9 设在上连续且.证明至少存在一点，使得下式成立,
.
证明：构造辅助函数，则
，
，
若，只需取；
若和都不等于零，则二者一定异号, 由零点定理可得在在内至少存在一点， 使得成立.
例10 求极限.
解：由于；
，
所以 不存在.
例11 求极限
解:
.
例12 求极限 .
解: .
例13 设，，，问数列的极限是否存在，若存在，求其值.
解: 由及，知.
假设对正整数，有，则有
，
由归纳法知对一切正整数都有，即为单调递减数列，
又因为，即有下界，因此存在.
不妨设 ，则有 ，，所以.
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