微积分第二章典型例题.doc

补充知识一、数列与其子列之间的关系定义 从数列中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列的一个子数列，简称子列记作：其中表示在原数列中的位置，表示在子列中的位置例如 ：奇数子列 ，其中 显然下面的定理给出了数列与其子列之间的关系定理：对于数列，(1) 的充要条件是对的任何子数列都有.(2) 的充要条件是的偶数子列和奇数子列满足 (3) 若单调，则的充要条件是存在一个子数列满足二、数列极限与函数极限的关系 定理2.18（Heine定理）的充要条件为：对于任意收敛于的数列，都有常用结论：若，则.例如：由，可以推出，等.注（1）对于，等情形，只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论（3）用该定理可以说明某函数极限不存在.例如：证明不存在.证明： 取， ， ，显然 ，,但是，.由Heine定理可知， 不存在三、求极限的一般方法(1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等；(3) 利用等价无穷小量的性质；(4) 利用高阶无穷小量的性质；(5) 利用极限存在准则；(6) 利用重要极限；(7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；(8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；思考题解答1.用定义证明.证：，要使.由于时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑，即，此时，故只需使，即.取，则当时恒成立.由极限定义得 .2、利用三角函数的周期性求极限（1）（2）（3），其中最后一步用了是无穷小量，是有界变量，乘积仍为无穷小量.3、设，证明存在，并求其值.证明：，进而，猜测，用数学归纳法证明.假设时不等式成立，即，那么时，即不等式成立.所以对任意自然数，都有，即单调增加.由，得，解得，所以有界.（或先观察，猜测，再用数学归纳法证明）因此存在.不妨设 ，在两端令得，所以.典型例题例1、 已知存在，求.解：设，则，两边令，得，.例2、（1）若，则_,_（2）若，则_,_（3）若在连续，且，则.（4）已知，则_,_常用结论：（1）若，并且，则.（2）若，并且，则.证明：（1）.（2）.解：（1），所以，（2），所以.，所以.（3），由在连续得.（4）由得，即，所以从而，例3若，讨论的间断点.解：，函数的间断点只能出现在分段点处.在处，所以为跳跃间断点.在处，所以在连续.总之，的间断点为.例4. （1）已知，求.（2）若，求.（3）若，求.解：（1）（方法一）由，得，从而.（方法二）由极限与无穷小的关系得，其中，从而，（2）由，得，所以.类似（1）的方法二留作练习.（3）由，得，故.类似（1）的方法二留作练习.例5 、求极限解： ，所以原极限等于1例6、 讨论函数在定义域内的连续性 解： 因为在，为初等函数，所以在内连续在处， ，所以，从而在处连续，因此函数在内连续例7 设 在处连续，求的值.解： ， ，所以.例8 设 ，求 .解： 因为，所以 ，可以得到 ，又因为 ，所以 ，故 .例9 设在上连续且.证明至少存在一点，使得下式成立,.证明：构造辅助函数，则，若，只需取；若和都不等于零，则二者一定异号, 由零点定理可得在在内至少存在一点， 使得成立.例10 求极限.解：由于；，所以 不存在.例11 求极限 解: .例12 求极限 .解: .例13 设，问数列的极限是否存在，若存在，求其值.解: 由及，知.假设对正整数，有，则有，由归纳法知对一切正整数都有，即为单调递减数列，又因为，即有下界，因此存在.不妨设 ，则有 ，所以.10 / 10