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2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十三讲 定积分与微积分基本定理学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十三讲 定积分与微积分基本定理学案新人教版

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第十三讲　定积分与微积分基本定理(理)

知识梳理·双基自测

知识点一　定积分的运算
1．定积分的概念、几何意义和性质
(1)定积分的定义及相关概念：
①定义：一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx.
②相关概念：在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a，b]__叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做__积分变量__，__f(x)dx__叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分割__；②__近似代替__；③__取和__；④__取极限__.
(3)定积分的几何意义：
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线__x＝a__，__x＝b__，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)<0
表示由直线__x＝a__，__x＝b__，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
(3)定积分的性质：
①kf(x)dx＝__kf(x)dx__(k为常数)．
②[f1(x)±f2(x)]dx＝__f1(x)dx±f2(x)dx__.
③__f(x)dx__＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．
2．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝__F(b)－F(a)__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿－莱布尼茨公式．
知识点二　定积分的应用
1．定积分与曲边梯形面积的关系：

设阴影部分的面积为S.
(1)S＝f(x)dx.
(2)S＝__－f(x)dx__.
(3)S＝__f(x)dx－f(x)dx__.
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
2．定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系．
(1)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.
(2)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功W＝__F(x)dx__.

两条常用结论
(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
(2)函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
①若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.
②若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝(　√　)
(2)若f(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　×　)
(3)dx＝dt＝b－a(a，b为常数，且a<b)．(　×　)
(4)dx＝dx＝.(　√　)
(5)f(x)dx＝2f(x)dx(a>0)．(　×　)
[解析]　对于(1)，因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，故(1)正确；对于(2)，因为积分小于0，未必图形一定在x轴下方，故(2)错误；对于(3)由于dx＝a－b，dt＝b－a，所以(3)错；对于(4)，由定积分的几何意义知，dx与都表示半径为1的圆的面积的，所以都等于，故(4)正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有f(x)dx＝，所以(5)错误．
题组二　走进教材
2．(选修2－2P55BT2改编)若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝(　B　)
A．2 B．－2
C．0 D．－1
[解析]　∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－1－1＝－2.
故选B．
3．(选修2－2P55BT1改编)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝，则a，b，c的大小关系是(　D　)
A．a<c<b B．a<b<c
C．c<b<a D．c<a<b
[解析]　由微积分基本定理得a＝x2dx＝＝，b＝x3dx＝＝4，c＝sin xdx＝(－cos x)＝1－cos 2<2，则c<a<b.故选D．
4．(选修2－2P60BT1改编)dx＝(　C　)
A．2π B．π
C． D．
[解析]　dx表示以原点为圆心，为半径的位于第一象限的个圆的面积，故dx＝π×()2＝.故选C．
题组三　走向高考
5．(2015·湖南，5分)(x－1)dx＝__0__.
[解析]　(x－1)dx＝＝×4－2＝0.
6．(2015·福建，5分)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____.

[解析]　依题意知点D的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－x2dx＝4－x3＝4－＝，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝＝＝.

考点突破·互动探究
考点一　定积分的运算——自主练透
例1 (1)计算：
①(3x2－2x＋1)dx＝__24__；
②(cosx＋ex)dx＝__1－__；
③若f(x)＝，则f(x)dx为__π__.
(2)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为____.
(3)(2021·河北武邑中学模拟)若f(x)＝x2＋，则f(x)dx＝(　B　)
A．－1 B．－
C． D．1
[分析]　(1)①②分别用求导公式找到相应的原函数；③利用定积分的几何意义求解；
(2)根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解；
(3)注意f(x)dx为常数．
[解析]　(1)①(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)＝24.
②(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x＋ex＝1－.
③由y＝＝，得(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分，所以dx是圆面积的.
所以dx＝·π·22＝π.
(2)因为f(x)＝
所以f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋ln x＝＋ln e＝.
(3)设f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，m＝f(x)dx＝
(x2＋2m)dx＝(＋2mx)＝＋2m，因此m＝－.故选B．

名师点拨
(1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；
③分别用求导公式找到一个相应的原函数；
④利用微积分基本定理求出各个定积分的值；
⑤计算原始定积分的值．
(2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
考点二　定积分的应用——多维探究
角度1　求曲线围成平面图形的面积
例2 (2020·河南洛阳期中)由y＝x，y＝，x＝2及x轴所围成的平面图形的面积是(　D　)
A．1＋ln 2 B．2－ln 2
C．－＋ln 2 D．＋ln 2
[分析]　画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．
[解析]　由得A(1,1)，显然B(2,2)，C(2,0)，D(1,0)．
解法一：所求平面图形的面积为xdx＋dx＝＋ln x＝＋ln 2，故选D．

解法二：所求平面图形的面积为
S△BOC－S1＝2－dx＝2－
＝＋ln 2，故选D．
角度2　已知曲线围成的图形的面积求参数
例3 (2021·广州模拟)曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝__2__.
[解析]　由得或
则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝＝－k3＝，
即k3＝8，所以k＝2.
角度3　定积分在物理中的应用
例4 物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析]　因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5，
整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.

名师点拨
(1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：①画草图；②求曲线的交点定出积分上、下限；③确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；④写出定积分并计算．用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性．
(2)根据平面图形的面积求参数的求解策略：先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解．
(3)做变速运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，也就是s＝v(t)dt.需根据题意写出函数v＝v(t)，确定时间区间，用定积分求解．
物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a(t)在时间区间[a，b]上的定积分a(t)dt.
(4)如果力F(x)使得物体沿力的方向由x＝a运动到x＝b(a<b)，那么力F(x)对物体所作的功W＝F(x)dx.
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2021·宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是(　D　)

A．2 B．－2
C． D．
(2)(角度2)(2020·山东聊城地区联考)若定积分dx＝，则m等于(　A　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(3)(角度3)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为__342__J(x的单位：m；力的单位：N)．
[解析]　(1)由题意得S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
(2)根据定积分的几何意义知，定积分dx的值，就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为个圆，于是得m＝－1.故选A．
(3)变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．

名师讲坛·素养提升
用变换积分变量法求平面图形面积
例5 抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4围成的平面图形的面积是__9__.
[解析]　解法一：(选x为积分变量)由
得或
画出草图如图所示．

选用x为积分变量，所求画积为
[2－(－2)]dx＋(2－2x＋4)dx
＝4×x＋2×x－x2＋4x
＝＋－(16－1)＋(16－4)＝9.
解法二：选用y为积分变量，这时所求的面积为(y＋2－y2)dy＝＝9.

名师点拨
通过本例可知选择合适的积分变量可简化运算．
〔变式训练2〕
(2020·天津市红桥区高三上学期期中)如图所示，由抛物线y2＝x和直线x＝1所围成的图形的面积等于(　B　)

A．1 B．
C． D．
[解析]　选用y作积分变量 ，S＝(1－y2)dy＝＝，故选B．