2022版高考数学一轮复习-课时规范练33-空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练33 空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练33 空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版

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课时规范练33　空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固组
1.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.空间中三条直线交于一点,则这三条直线共面
B.平行四边形可以确定一个平面
C.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等
D.若A∈α,A∈β,且α∩β=l,则A在l上
2.

如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点,则下列判断正确的是(　　)
A.直线AC与BF是相交直线
B.直线C1E与AC互相平行
C.直线C1E与BF是异面直线
D.直线DB与AC互相垂直
3.(2020甘肃靖远高三模拟)设P1,P2,P3,P4为空间中的四个不同点,则“P1,P2,P3,P4中有三点在同一条直线上”是“P1,P2,P3,P4在同一个平面上”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)(2020江苏响水中学高三月考)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是(　　)
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α
B.l⊄α,A∈l⇒A∉α
C.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A
D.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB
5.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
6.(2020黑龙江哈尔滨三中高三调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱B1C1的中点,则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为(　　)

A.42 B.22 C.4 D.92
7.(2020北京通州高三段考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D中,点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点.给出下面四个命题:

①若直线AF与直线CE共面,则直线AF与直线CE相交;
②若直线AF与直线CE相交,则交点一定在直线DD1上;
③若直线AF与直线CE相交,则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为22;
④直线AF与直线CE所成角的最大值是π3.
其中,所有正确命题的序号是(　　)
A.①④ B.②④
C.①②④ D.②③④
8.在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　. 

9.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为　　　　. 
10.如图,点A在平面α外,△BCD在平面α内,E,F,G,H分别是线段BC,AB,AD,DC的中点.

(1)求证:E,F,G,H四点在同一平面上;
(2)若AC=6,BD=8,异面直线AC与BD所成角为60°,求EG的长.

综合提升组
11.(2020河南新乡第一中学二模)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,E,F分别为AB,BC的中点,异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m,则(　　)

A.直线A1E与直线C1F异面,且m=23
B.直线A1E与直线C1F共面,且m=23
C.直线A1E与直线C1F异面,且m=33
D.直线A1E与直线C1F共面,且m=33

12.(2020吉林桦甸高三月考)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M,N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)
A.2213 B.4213
C.273 D.473
13.(多选)(2020海南琼山海南中学高三月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列说法中正确的是(　　)

A.CM与PN是异面直线
B.CM>PN
C.平面PAN⊥平面BB1D1D
D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

14.(2020贵州贵阳一中高三月考)如图,在多面体ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=2AC=4,DA=DC=3,F是BC的中点,EF⊥平面ABC,EF=22.
(1)证明:A,B,E,D四点共面;
(2)求三棱锥B-CDE的体积.

创新应用组
15.(2020新疆乌鲁木齐一中高三月考)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成,菱形的一个角度是109°28'.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如图,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'(图1)的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM,平面BDO,平面DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面BFM,平面BDO,平面DFN交于点P(图2),就形成了蜂巢的结构.如图,以下四个结论:①△BDF≌△MON;②BF<MN;③B,M,N,D四点共面;④异面直线DO与FP所成角的大小为70°32'.其中正确的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

16.(2020山东潍坊高三期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点K在棱A1B1上运动,过A,C,K三点作正方体的截面,若K为棱A1B1的中点,则截面面积为　　　　,若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分,则A1KKB1=　　　. 

参考答案

课时规范练33　空间点、直线、
平面之间的位置关系
1.BD　对于A,两两相交的三条直线,若相交于同一点,则不一定共面,故A不正确;
对于B,平行四边形两组对边分别平行,则平行四边形是平面图形,故B正确;
对于C,若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补,故C不正确;
对于D,由基本事实3可得,若A∈α,A∈β,α∩β=l,则A∈l,故D正确.故选BD.
2.D　由题知,AC⊂平面ABCD,BF与平面ABCD交于点B,B∉AC,所以直线AC与BF是异面直线,故A错误;
AC⊂平面ACC1A1,EC1与平面ACC1A1交于点C1,C1∉AC,所以直线C1E与AC是异面直线,故B错误;
根据正方体性质EF∥AD1∥BC1,所以E,F,B,C1四点共面,所以直线C1E与BF不是异面直线,故C错误;
正方体各个表面均为正方形,所以直线DB与AC互相垂直,故D正确.故选D.
3.A　由推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面,可得P1,P2,P3,P4在同一平面,故充分条件成立;由推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2时,P1,P2,P3,P4在同一个平面上,但P1,P2,P3,P4中无三点共线,故必要条件不成立.故选A.
4.ACD　由点A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,
对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,可得l⊂α,所以A正确;对于B,由l⊄α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A∉α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l⊄α,根据直线与平面的位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,可得α∩β=AB,所以D正确.故选ACD.
5.B　对于A,通过常见的正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,故A错误;对于B,因为l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因为l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,故B正确;对于C,如三棱柱中的三条侧棱平行,但不共面,故C错误;对于D,如三棱锥的三条侧棱共点,但不共面,故D错误.故选B.
6.

D　由题意可得,如图所示,因为E,F分别是B1C1,BB1的中点,所以BC1∥EF,在正方体中,AD1∥BC1,所以AD1∥EF,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以EF=2,AD1=22,等腰梯形的高为32,所以四边形AD1EF的面积S=(2+22)×322=92,故选D.
7.D　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点.
①如果点E在C1处,F在A1处时,直线AF与直线CE平行,可得直线AF与直线CE共面,但直线AF与直线CE不相交,①不正确;
②因为空间3个平面两两相交有3条交线,要么互相平行,要么相交于一点,因为直线AF与直线CE相交,所以交点一定在直线DD1上,所以②正确;
③若直线AF与直线CE相交,则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大时,应该是E,F与D1重合,此时直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为12BDDD1=22,所以③正确;
④直线AF与直线CE所成角的最大值就是E,F与D1重合时取得,此时夹角是π3,所以④正确.故选D.

8.12或32　如图,取BC的中点O,连接OE,OF.
因为OE∥AC,OF∥BD,所以OE与OF所成的角即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=12.当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2×34=32.
9.0,π2　根据题意,初始状态,直线AD与直线BC成的角为0,当BD=2时,AD⊥DB,AD⊥DC,且DB∩DC=D,所以AD⊥平面DBC.又BC⊂平面DBC,故AD⊥BC,直线AD与BC成的角为π2,所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为0,π2.
10.(1)证明因为E,F,G,H分别是线段BC,AB,AD,DC的中点.故FG∥BD,且FG=12BD,同理EH∥BD,且EH=12BD,故FG∥EH,且FG=EH.故四边形EFGH为平行四边形.故E,F,G,H四点在同一平面上.
(2)解由(1)知四边形EFGH为平行四边形,且FG=12BD=4,FE=12AC=3.又异面直线AC与BD所成角为60°,故∠GFE=60°或120°.
当∠GFE=60°时,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos60°=25-12=13.
此时EG=13;当∠GFE=120°时,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos120°=25+12=37.
此时EG=37,所以EG的长为13或37.

11.B　如图所示,
连接EF,A1C1,C1D,DF,由正方体的特征得EF∥A1C1,所以直线A1E与直线C1F共面.由正四棱柱的特征得AB1∥C1D,所以异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F(或其补角).
设AA1=2,则AB=2AA1=2,则DF=5,C1F=3,C1D=6,
由余弦定理,得m=cos∠DC1F=3+6-52×3×6=23.故选B.
12.

A　延长AN,与CC1的延长线交于点P,则P∈平面BB1C1C.连接PM,与B1C1交于点E,连接NE,得到的四边形AMEN就是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形.由已知可求得AM=AN=22+1=5,B1C1=22.
因为N是A1C1的中点,所以PC1PC=C1NAC=12,即PC1=CC1,则PC1=BB1.
又M=BB1的中点,
所以B1M=12PC1.
由△PC1E∽△MB1E,得B1EEC1=12,可得B1E=13B1C1=223,C1E=423,
ME=(223) 2+1　=173,
NE=(423) 2+1-2×423×1×cos45°　=173,
MN=A1N2+A1M2
=(5)2+1　=6.
四边形AMEN的面积S=12×6×(5)2-(62)2+12×6×1732-(62)2=2213.即截面图形的面积为S=2213.故选A.
13.BCD　由题知,点C,N,A共线,即CN,PM交于点A,所以A,N,C,P,M共面,因此CM,PN共面,故A错误;
记∠PAC=θ,则PN2=AP2+AN2-2AP·ANcosθ=AP2+14AC2-AP·ACcosθ,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcosθ=AC2+14AP2-AP·ACcosθ,又AP<AC,
CM2-PN2=34(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故B正确;
在正方体中,AN⊥BD,BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AN,BB1∩BD=B,可得AN⊥平面BB1D1D,AN⊂平面PAN,从而可得平面PAN⊥平面BB1D1D,故C正确;
过P,A,C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q,则AC∥PQ,且PQ<AC,因此一定是等腰梯形,故D正确,故选BCD.

14.(1)证明如图,取AC的中点M,连接DM,MF,因为DA=DC=3,AC=2,M为AC的中点,所以DM⊥AC,且DM=22,
因为平面ACD⊥平面ABC,交线为AC,DM⊂平面ACD,
所以DM⊥平面ABC,又EF⊥平面ABC,所以DM∥EF,且DM=EF=22,
所以四边形DEFM是平行四边形,从而DE∥MF.
在△ABC中,M,F分别是AC,BC的中点,所以MF∥AB,
所以DE∥AB,从而A,B,E,D四点共面.
(2)由(1)DM∥EF,DM⊄平面BCE,EF⊂平面BCE,所以DM∥平面BCE,
所以点D到平面BCE的距离等于点M到平面BCE的距离,
则三棱锥D-BCE与三棱锥M-BCE的体积相等.因为AC⊥BC,BC=2AC=4,M为AC的中点,所以△BCM的面积为S△BCM=12CM·BC=2,
又EF⊥平面ABC,且EF=22,所以VB-CDE=VD-BCE=VM-BCE=VE-BCM=13S△BCM·EF=423.
15.C　由题意,不妨设正六边形的底面边长为1,
①由△BDF与△MON都是边长为3的等边三角形,所以△BDF≌△MON,故①正确;
②由①可知BF=MN,故②不正确;
③由已知可得四边形BMND是平行四边形,因此B,M,N,D四点共面,故③正确;
④因为DO∥PB,所以PB与FB所成的角就是DO与FP所成的角,因为∠FPB=109°28',所以PB与FP所成的角为70°32',即异面直线DO与FP所成角为70°32',故④正确.故选C.
16.98　5-12　(1)取B1C1的中点M,连接KM,MC,

∵KM∥A1C1,而A1C1∥AC,
∴KM∥AC,
∴A,C,M,K四点共面,且AK=MC.∴四边形ACMK是等腰梯形,如图,

KM=22,AC=2,AK=12+(12) 2=52,AH=2-222=24,
∴KH=AK2-AH2=522-242=324,
∴S四边形ACMK=12×22+2×324=98.
(2)设B1K=x,取B1C1上的点M,使B1K=B1M=x,连接KM,MC,
∵KM∥A1C1,A1C1∥AC,∴KM∥AC,∴A,C,M,K四点共面,∵VB1MK-BCA=13VA1B1CD1-ABCD=13,
∴VB1MK-BCA=13×12+12x2+12×12x2×1=13,
即x2+x-1=0,∵x>0,∴解得x=-1+52.
即B1K=-1+52,则A1K=1--1+52=3-52,
故A1KKB1=3-52-1+52=5-12.