球棒系统的建模及反馈控制.docx

球棒系统的建模及反馈控制 作者： 日期：17 本科生课程设计（报告）题 目: 球棒系统的建模及反馈控制设计 姓 名: 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师: 2013年 6月15日南京农业大学教务处制球棒系统的建模及反馈控制设计 由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如下图所示。连杆在驱动力矩 作用下绕轴心点O做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用,表示, 设刚性球的半径为R。当小球转动时, 球的移动和棒的转动构成复合运动。 球棒系统是一个典型的多变量的非线性系统。该系统通过操作驱动力矩的控制使刚性球稳定在连杆的中心位置。利用拉格朗日方程建立球棒系统的数学模型, 并用状态反馈的方法设计球棒系统的控制器, 通过给出具体的数据并进行计算, 再利用这些数据进行模拟仿真。仿真表明利用状态反馈法设计的控制器, 可以实现球棒系统的稳定控制, 即刚性球随动力臂一起转动时不发生滚动。刚性球与机械臂的动态方程由下式描述：。选取刚性球的位移和其速度，以及机械臂的转角 及其角速度作为状态变量，令，可得系统的状态空间表达式：设球棒系统各参数如下：., ,1.将系统在平衡点x =0处线性化,求线性系统模型先求平衡点；令，解得： 由题可知平衡点为处，故即。将球棒系统各参数带入得：开环系统是不稳定的.2利用状态反馈，将线性系统极点配置于求出状态反馈控制增益，并画出小球初始状态为横杆角度为和初始状态,横杆角度为时的仿真图像根据可控性的判别,此可控性矩阵,与向量的数目相等, 该受控对象可控，可进行状态反馈。用给定特征根的方法, 此研究对象是一个四阶系统, 指定两组共轭复数为,特征根的实部都是负值,该系统是稳定的。采用状态反馈法,将比例系数乘以所有的状态变量, 对系统进行反馈,可使系统稳定令，得：，由极点可知：Matlab编程如下：a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j; K=acker(a,b,p)K = -0.4940 -0.0043 0.3600 0.1200a-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0 0 -140.1400 0 0 0 0 1.00000.1784 0.2141 -18.0000 -6.0000即所求的状态反馈增益。则状态反馈后系统的状态空间表达式为：(1) 实现小球初始状态为，横杆角度的仿真图像Matlab编程,接上部分程序.g=ss(ans,b,c,d); x0=0.3,0,pi/6,0; y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x) (2) 实现小球初始状态为，横杆角度的仿真图像Matlab编程为:a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j; K=acker(a,b,p)K = -0.4940 -0.0043 0.3600 0.1200a-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0 0 -140.1400 0 0 0 0 1.00000.1784 0.2141 -18.0000 -6.0000g=ss(ans,b,c,d); x0=-0.3,0,-pi/6,0; y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x)(3) 用simulink进行仿真.小球初始状态为，横杆角度的仿真图像小球初始状态为，横杆角度的仿真图像3设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出小球初始状态为，横杆角度为和初始状态，横杆角度为时的仿真图像，以及观测器输出与系统状态差值图像。(1)状态反馈的重新配置.设定系统的超调量为，调整时间为。得到不等式解得：，取,依据典型二阶系统的传递函数可得：，系统为四阶因此，其他两个极点可以选取为5倍以上的的任意值，此处选取极点则，用Matlab编程求出反馈增益.a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8+8.39j,-8-8.39j,-45+8.39j,-45-8.39j; k=acker(a,b,p)k = -40.6834 -6.5115 73.4030 2.1202(2)求观测器增益.首先判断能观性系统能观.根据观测器取特征值的原则,令，。在Matlab中求得和：Matlab编程为：a=0,1,0,0;0,0,-140.1429,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-24+8.39*j,-24-8.39*j,-135+8.39*j,-135-8.39*j;c=c;a=a;e=place(a,c,p);ans = 1.0e+004 * 0.0158 0.0010 0.4240 0.0033 0.0095 0.0160 1.3452 0.3339 a=a-(e)*(c)a = 1.0e+004 * -0.0158 0.0001 -0.0010 0 -0.4240 0 -0.0173 0 -0.0095 0 -0.0160 0.0001 -1.3477 0 -0.3339 0 (3) 仿真图像初始状态为，横杆角度的仿真图像Matlab编程为：a=0,1,0,0;0,0,-140.1429,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8+8.39*j,-8-8.39*j,-45-8.39*j,-45+8.39*j;k=acker(a,b,p)k = -40.6826 -6.5114 73.4030 2.1202 a1=a-b*k; u=0; g=ss(a1,b,c,d); x0=0.3 0 pi/6 0; y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x)初始状态为，横杆角度的仿真图像Matlab编程为：a=0,1,0,0;0,0,-140.1429,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8+8.39*j,-8-8.39*j,-45-8.39*j,-45+8.39*j;k=acker(a,b,p)k = -40.6826 -6.5114 73.4030 2.1202 a1=a-b*k; u=0; g=ss(a1,b,c,d); x0=-0.3 0 - pi/6 0; y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x)(4) 观测器输出与系统状态差值图像（t-e）当初始状态为，横杆角度时.Matlab编程为:a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-24+8.39*j,-24-8.39*j,-135+8.39*j,-135-8.39*j;c=c;a=a;e=place(a,c,p);a=a-(e)*(c);c=c;b=0;0;0;0;x0=0.3 0 pi/6 0;g=ss(a,b,c,d);y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x)当初始状态为，横杆角度时.Matlab编程为:a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-24+8.39*j,-24-8.39*j,-135+8.39*j,-135-8.39*j;c=c;a=a;e=place(a,c,p);a=a-(e)*(c);c=c;b=0;0;0;0;x0=-0.3 0 -pi/6 0;g=ss(a,b,c,d);y,t,x=initial(g,x0); plot(t,x)(5)用simulink进行仿真.若用simulink仿真图像则加入反馈之后状态空间表达式为:初始状态为，横杆角度的仿真图像初始状态为，横杆角度的仿真图像若用simulink仿真图像 ,则初始状态为，横杆角度的仿真图像初始状态为，横杆角度的仿真图像