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第四章 变形体静力学基础
本章介绍变形体力学的基础知识,包括变形体力学的基本假设、分析杆件内力的截面法、应力和应变的初步概念以及单向胡克定律，最后还将讨论材料的力学性能。
4.1 变形体的基本概念
● 变形
组成机械的零件和构成结构的元件,统称构件。制作构件所用的材料多种多样，其共同点是在受力后构件的形状和尺寸会产生改变，这种变化称为变形.在外力作用下会发生变形的固体称为变形体。在理论力学讨论的刚体模型，实际上是变形很小时的理想模型。
在外力撤去后，变形体的变形完全消失，变形体能恢复到未变形状态，则该变形称为弹性变形，变形体是处于弹性状态，或变形体是弹性体；而卸载后在变形体内遗留的或不能恢复的变形称为塑性变形.相对于构件尺寸，变形按大小可分为小变形和大变形。对小变形构件可不考虑变形对构件尺寸的影响，仍按构件的原始尺寸进行分析计算，从而使分析计算得到很大的简化。本书只研究变形体在弹性状态下的小变形问题。
根据工程实践的要求,在对构件进行设计时要考虑以下三方面的要求：
1。构件应具有足够的抵抗破坏的能力，即强度，以保证在规定的使用条件下不发生破坏或产生塑性变形。
2。构件应具备足够的抵抗变形的能力，即刚度，以保证在规定的使用条件下不产生过度的变形.
3。构件应具备足够的保持原有平衡形式的能力,即稳定性，以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象.
● 基本假设
就其具体组成和微观结构来看，变形体是一个非常复杂的研究对象。若只从宏观的角度研究物体内部的受力和变形规律，对材料的性质的属性作出了若干简化假设.实践表明，这些假设能满足工程实际的需要。
1。连续性假设
根据物质结构理论,固体是由不连续的粒子构成的.粒子之间的空隙与构件的尺寸相比极其微小，可以忽略不计，因此,认为构件的整个体积内毫无空隙地充满了物质,即连续性假设.这样，物体内诸如位移、温度、密度等物理量可用坐标的连续函数来表示，并可采用无限小的分析方法。
2。均匀性假设
虽然组成固体的粒子，彼此的物理性质并不完全相同，但因构件的任一部分都包含为数极多的微小粒子，而且无规则地排列着,从统计平均的角度看，同一材料所组成的构件，各处的物理性质完全相同。因此，认为构件内任取一部分，不论其体积大小如何,其力学性能完全相同，即均匀性假设。
3.各向同性假设
材料沿不同方向上的力学性能都相同，称为各向同性；沿不同方向的力学性能不同，称为各向异性.绝大多数材料，如金属、工程塑料、搅拌均匀的混凝土等，都可视作各向同性材料.例如,金属从微观上看是多晶体材料，单个晶体是各向异性的，但由于各晶体是随机排列的，在宏观上表现为各向同性.
● 杆件变形的基本形式
杆 板
图4–1 杆和板

构件的形状是各种各样的，按照其几何特征可大致分为三类。一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件称为杆件。一个方向的尺寸远小于其它两个方向的尺寸的构件称为板件；平分板件厚度的几何面称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件成为壳.如图4–1所示。若构件三个方向的尺寸都相当，则称为块体。
杆件是工程实际中最常见、最基本的构件。在杆件上某处的所有截面中，面积最小的截面称为杆件的横截面。若杆件各处横截面都相同，则称为等截面杆，反之为变截面杆。横截面形心的连线称为杆件的轴线。轴线为直线的杆件为直杆，反之为曲杆。显然,轴线和横截面正交，如图4–2所示
图4–2 杆的横截面与轴线 图4–3 杆的基本变形

作用在杆件上的外力是多种多样的，所以，杆件的变形也是多种多样的。但分析后发现,杆件的基本变形形式有三种：轴向拉伸或轴向压缩、扭转和弯曲。如图4–3所示
在力学中，将以杆件主要研究对象的学科分支称为材料力学。
4.2 内力和截面法
为了研究杆件在外力作用下的变形，首先需要了解杆件内部的受力情况。
● 内力和截面法
图4–4 截面法

构件内部各质点之间存在着相互作用力,这种相互作用力使构件保持一定的形状。构件在外力作用下产生变形，同时也引起内部各质点间相互作用力的改变。内力是指杆件内部两相邻部分之间的相互作用力.内力是由于外力(或其它外部因素）作用而引起物体内部作用力的改变量。严格地说,它是由外部因素所引起的附加内力。
构件的强度、刚度和稳定性与内力的大小及其在构件内的分布方式密切相关。所以,内力分析是解决构件强度、刚度和稳定性问题的基础.
与理论力学里通过取分离体对物体进行受力分析的方法类似,分析构件的内力需采用截面法。如图4–4（a)，截面–假想地将该构件切开，即解除它们间的相互约束，相应的内力即显示出来。由连续性假设可知,内力是作用在切开面上连续分布力，如图4–4(b).利用任一部分的平衡条件，便可确定其主矢和主矩的大小和方向。
● 内力分量
为研究方便起见，如图4–4(c),以横截面形心为坐标原点，以杆件轴线为轴,横截面即为平面，建立右手系。将内力向点简化，并将得到的主矢和主矩沿坐标轴分解，得到六个内力分量：主矢分量、和；主矩分量、和.
单个内力分量将使杆件产生某一基本变形,如图4–5,分别叙述如下。
轴力沿杆件轴线，使杆件产生轴向伸长或缩短；使杆件受拉的轴力为正，反之为负,如图4–5（a）。
剪力、的在横截面内，使杆件的相邻横截面产生相对错动；当剪力相对于横截面的转向为顺时针时即为正，反之为负，如图4–5（b）。
弯矩、分别沿轴和轴,使杆件轴线变弯曲;使杆件发生上凹下凸的弯曲变形的弯矩即为正，反之为负， 如图4–5（c)。
图4–5 内力分量与基本变形

扭矩沿杆件轴线，使横截面绕轴线作相对旋转的趋势；当扭矩矢量的方向与横截面的外法线方向一致时即为正,反之为负，如图4–5(d)。
例4–1:一等直杆承受轴向载荷如图4–6所示,试求–、–截面上的内力分量.
图4–6 例4–1图

解：将杆沿截面–假想截开，并取截面左边为研究对象。显然,截面上只有轴力分量.设该截面上的轴力为，假设为正，由平衡方程

得

同法，将杆沿截面–假想截开，取截面右边为研究对象，得该截面上的轴力

显然，无论选择切开后的哪一段作为研究对象，计算结果都相同。综上所述，应用截面法计算杆件的内力的步骤可总结如下
1。在需求内力的横截面处，将杆件假想地切断，并任选一段为研究对象；
2.画出所选杆段的受力图，为计算方便,可将所有的内力分量设为正值；
3。建立所选杆段的平衡方程，由已知外载荷计算所切截面上的内力。
● 内力的图示
若横截面的位置以平行于杆件轴线的坐标来表示，则可将内力表示成的函数，称为内力方程；同时,用垂直于杆件轴线的坐标表示相应截面上内力的数值，由此绘出的图线称为内力图,如轴力图、剪力图、弯矩图和扭矩形图。
例4–2:如图4–7（a），一简支梁受集中力的作用，试求梁的剪力方程和弯矩方程,并作出相应的剪力图和弯矩图。
图4–7 例4–2图

解：梁的约束力易由平衡条件求出

以梁的左端为坐标原点建立坐标系。由于梁上存在着集中载荷，因此应分为两段考虑。如图4–7(b)，在段内取位置为的任意截面,可得段的剪力和弯矩方程为

同法可求出段内的剪力和弯矩方程，如图4–7（c）,

根据剪力和弯矩方程绘制出相应的剪力图和弯矩图，如图4–7（d）和（e)所示.例4–3:如图4–8(a）,简支梁受集度为的均布载荷，试列出内力方程并作出内力图。
图4–8 例4–3图

解:由平衡条件易求得梁的约束力

取距梁左端为的任一截面,由截面法，其剪力和弯矩方程分别为

剪力图和弯矩图如图4–9(b)和（c）所示.
从例4–2和例4–3的剪力图中看到。在横向集中载荷作用处，即例4–2中的点和例4–3中的、点，剪力图发生突变,其突变量等于横向集中载荷的数值。容易验证，只要有集中载荷作用在杆件上,相应的内力图上就会有突变点。
4.3 应力、应变及简单胡克定律
应力和应变是变形体力学中最重要的两个基本概念.应力刻画了截面上任一点处内力的强弱程度，应变则描述了构件内一点在不同方向上的变形程度.对于大多数材料，应力和应变之间存在线性关系。
● 应力
图4–9 应力

如图4–9(a）所示，在截面–上任一点的周围取微小面积，设作用在上的内力为。根据连续性假设，当趋近零时，与的比值应存在一极限，该极限值称为截面–上点处的应力或总应力，即
（4–1）
截面上一点处的应力是一个矢量，为分析方便，将应力沿截面的法向和切向分解成两个分量和,如图4–9(b）所示。沿截面法向的分量称为正应力,沿截面切向的应力分量称为切应力。
图4–10 切应力互等定理

切应力互等定理指出：作用在相互垂直平面上的切应力大小相等，且都指向或背离两相互垂直平面的交线。如图4–10，在物体内某点处截取一微小正六面体，其中垂直于轴的平面上作用有正应力和切应力,垂直于轴的平面上有正应力和。根据切应力互等定理

在国际单位中,应力的基本单位是（牛顿/米2），其代号为（帕斯卡，帕），应力的常用单位为(兆牛顿/米2,兆帕)和(牛顿/毫米2)，这些单位之间的关系为

构件内的任意点沿不同的截面具有不同的应力，一般随着截面的方位不同而变化。一点处各个截面上应力的集合,统称为该点的应力状态.
● 应变
图4–11 应变

物体在受到外力作用而产生变形时，通常内部各点的变形程度并不相同.为了研究物体内某点处的变形，如图4–11(a),设想围绕该点截取一微小的正方体，受力变形后，微体各棱边的长度将发生改变.例如，平行于轴的棱边原长为，变形之后长度为，如图4–11。为上的总变形量，为精确描述点处的变形程度，定义极限值
（4–2)
为点处沿方向的线应变或正应变，它表示在点处每单位长的伸长或缩短。线应变是无量纲的量。
另一方面,微体变形之后，原来相互垂直的各棱边之间的直角也要发生改变，如图4–11。直角的改变量称为切应变，用表示。例如,、方向直角的改变量，即剪应变，用来表示。切应变用弧度表示,也是无量纲的量。
一般来说，构件内任一点处沿不同方向线应变的大小、任意两正交线段的剪应变的大小都是不相同的.构件内任一点所有线应变和剪应变的集合，统称为该点的应变状态。
● 胡克定律
图4–12 胡克定律

对于由特定材料制成的构件受力变形后，应力和应变之间呈现出确定的函数关系，这是由材料本身性质所确定的,称为材料的本构关系.对于工程中常用的材料，材料的力学性能实验表明，当应力不超过某一限度时，应力与应变之间存在正比关系，这一关系也称为胡克定律。
图4–12（a)表示单向（单轴）应力状态,单向拉伸(压缩）情况下的胡克定律为
（4–3)
其中正比系数称为弹性模量或杨氏模量.
图4–12(b)表示纯剪切应力状态,这种应力状态下的胡克定律为
（4–4)
其中正比系数称为剪切模量。和的量纲与应力的量纲相同，单位是或(),其具体数值可通过材料力学性能实验测定。
满足胡克定律的材料称为线弹性材料。线弹性材料的力学性能由和完全确定.对于和存在如下关系
（4–5)
其中，称为材料的横向收缩系数或泊松比，也是线弹性材料的物性参数。在实际应用中，通常使用和来描述材料性质。
4。4 材料的力学性能
材料在外力作用下表现出的与变形和破坏有关的特性，称为材料力学性能。材料力学性能由试验测定。此处讨论低碳钢在轴向静载荷作用下的力学性能。
● 拉伸试验和应力–应变曲线
图4–13 标准拉伸试件

拉伸实验是研究材料力学性能最常用、最基本的试验。常用的标准拉伸试件如图4–13所示.根据GB228–87《金属拉力试验法》，对于试验段直径为的圆截面试件，标距或；对于试验段横截面面积为的矩形截面试件，则规定或。
图4–14 低碳钢的应力–应变曲线 图4–16 颈缩
图4–15 滑移线

将试样安装在材料试验机上，缓慢加载,同时测定并记录试样的受力和标距内的变形。试验一直进行到试件断裂为止。为消除试件尺寸对试验数据的影响，试件载荷和变形分别除以试样的初始横截面和标距，便得到材料拉伸时的应力–应变曲线，即曲线，如图4–14所示。
● 低碳钢在拉伸时的力学性能
低碳钢是工程中应用最广泛的金属材料，同时，它在拉伸时所体现的力学性能也比较典型。因此首先研究低碳钢在拉伸时的力学性能为主，讨论其力学性能.
图4–14即为低碳钢的应力–应变曲线,从图中可看出，整个拉伸过程大致可分为以下四个阶段。
1 弹性阶段
在应力–应变曲线的段,材料只产生弹性变形，即当试件上载荷卸除后，变形可完全恢复.只引起弹性变形的最高应力值称为弹性极限，用表示。低碳钢在弹性阶段的段内，应力和应变呈正比关系，即符合式(4–3）所表达的胡克定律。而弹性模量即为直线的斜率.而点所对应的应力称为比例极限。实际上低碳钢的弹性极限和比例极限十分接近,可以认为，对低碳钢来说,
2 屈服阶段
在超过弹性极限到达点以后,应力只在很小的范围内波动或几乎不变,但变形却急剧增长，这种现象称为屈服或流动。如果试件表面比较光滑，则当材料屈服时，试件表面将出现与轴线约成的条纹，称为滑移线，它是金属材料屈服时晶格发生错动的结果，如图4–15所示。屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服点和下屈服点。下屈服点比较稳定，通常以下屈服点作为材料的屈服应力,用表示。
材料在屈服阶段，会引起显著的塑性变形，将会影响到构件的正常使用。所以屈服应力是衡量材料强度的重要指标。
3 强化阶段
经过屈服阶段以后，材料又增强了抵抗变形的能力。要使材料继续变形需增大载荷，这种现象称为材料的强化。强化阶段的最高点所以对应的应力，称为材料的强度极限或抗拉强度,用表示。强度极限是材料所能承受的最大正应力,是衡量材料强度的另一重要指标。
4 局部变形阶段
从点开始，在试件的某一局部范围内，横截面显著缩小,产生所谓颈缩现象。颈缩现象出现后,变形主要集中在细颈附近的局部进行，同时试件所能承受的载荷迅速减小，最后导致试件断裂。
试件拉断后,试验段的残余变形相对于标距的百分比，称为材料的延伸率.延伸率是衡量材料塑性的重要指标。低碳钢的延伸率.通常将延伸率的材料称为塑性材料，如结构钢、硬铝等;反之为脆性材料，如高碳工具钢、铸铁等.衡量材料塑性的另一重要指标是断面收缩率，它是试件断裂后减少的横截面积相对于试件原始横截面积的百分比。低碳钢的断面收缩率
● 其它材料在拉伸时的力学性能
图4–17 常用材料拉伸曲线 图4–18 名义屈服应力 图4–19 铸铁拉伸曲线

图4–17是一些常用塑性材料在拉伸时的应力–应变曲线。它们断裂时都具有较大的残余变形。不同的是，有些塑性材料,如、和等，没有明显的屈服阶段。对于此类塑性材料,工程中常以卸在载后产生塑性应变的应力值作为屈服应力，此应力称为条件屈服应力或名义屈服应力,以表示，如图4–18.
图4–19是铸铁在拉伸时的应力–应变曲线。铸铁是一种典型的脆性材料，它在拉伸时，变形始终很小，既没有屈服阶段，也不会出现颈缩现象。因此，衡量脆性材料拉伸强度的唯一指标是拉伸强度极限,用表示.此外，脆性材料的另一个特性是其拉伸应力–应变曲线没有明显的直线段。通常在应力较小时，应力–应变曲线的曲率很小，因此，实际计算时常以直线代替曲线。
● 材料在压缩时的力学性能
图4–20 低碳钢的压缩应力–应变曲线 图4–21 铸铁的压缩应力–应变曲线

在金属的压缩试验中，通常使用高度为直径倍的短粗圆柱形试件.
低碳钢压缩时的应力–应变曲线如图4–21所示。可以看出,压缩曲线与拉伸曲线在屈服阶段以前基本重合。即低碳钢压缩与拉伸时的弹性模量以及屈服应力均大致相同。与拉伸试验不同的是，随着压力继续增加，试件将愈压愈扁，所以无法测定受压时的强度极限。一般塑性材料也具有如上所述之特点。
图4–22是铸铁压缩时的应力–应变曲线。比较拉伸与压缩两条曲线可看出，脆性材料的抗压强度要比抗拉强度大得多(约倍），而且压缩破坏时的变形比拉伸破坏时的变形要大得多.因此，工程上常用脆性材料作受压构件。此外，脆性材料在受拉和受压时的破坏形式也是不同的。脆性材料在拉伸时沿横截面发生断裂，而压缩时破坏断面与横截面大致成的倾角。
表4–1 常用金属材料的力学性能

表4–1是几种常用金属材料的力学性能。
应该指出，材料的力学性能不是固定不变的，它还受温度和加载方式的影响.表4–1所列数据是在常温和静载荷（即缓慢加载）的条件下测得的。