第讲开放探索题解法.doc

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第 5 讲 开放探索题解法（高中版）
(第课时）
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开放探索题

重点难点
好好把握！

重点：创造性思维方法。
难点：选择合适的方法和探索的经验技巧，形成解决问题的思路.

考纲要求
注意紧扣！

1．勇于探索,自主探索,积极探索；2．能解决开放探索问题.

命题预测
仅供参考！

在试卷中开放探索题大约占15分左右.可以涉及各种知识以及各个层面。

考点热点
一定掌握！

开放探索题是指那些题目条件条件多余或不足、结论不明确或不唯一、解题方法多样,能给学生留有较大探索余地的问题。开放探索题主要考察学生的创新意识。
开放探索题的特点：形式新，解法活、无固定解题模式.
开放探索题的分类：按开放的对象可分为: 条件开放型（条件多余或不足）,结论开放型(结论不明确或不唯一），策略开放型（解题方法多样)，综合开放型（条件、结论、策略的综合)；按解题目标的操作模式可分为: 规律探索型,问题探究型,数学建模型，操作设计型，是否存在型，类比创新型。
常见的出题方式有三种：第一种做法是从课本上的一些题目出发,引申出开放题。我们平时所做的题目，大多是具有完备的条件和确定的答案。命题者往往会对原有问题加以改造，形成开放题.第二种做法是为体现某一种数学研究方法而编写开放题.第三种做法是从学生所学的知识结构的交汇点切入编写开放题。所谓交汇点，其实质就是中学数学内容中没有遇到过的新知识，可以是新概念、新定义、新定理、新规则、新情境，并且这些信息有可能不是直接给出的，要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息、新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.
开放探索题的解题指导思想：对问题进行全面观察、分析、尝试、判断、归纳，以充分揭示问题的本质特征。组织相应的原材料，选择合适的方法和探索的经验技巧,形成解决问题的思路，然后进行表达、修正、创新。
开放探索题的常用解法：（1)直接求解；（2)观察→猜测→证明；（3）赋值推断；（4)数形结合;（5）联想类比;（6)特殊→般→特殊。

1．条件开放型探索题
条件开放型探索题实质上是寻找使命题为真的充分条件或充要条件.我们往往采用分析法，即先假设结论成立，从结论和部分已知的条件入手，导出所需的条件。需要注意的是，这一类问题所求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件。
例。(高二)在四棱锥中，四条侧棱长都相等，底面是梯形，， 。为保证顶点P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．
分析： 观察条件,由于四条侧棱长相等,所以，顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等．即梯形有外接圆，且外接圆的圆心就是O．显然梯形必须为等腰梯形。
观察结论,结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可。
显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧。不难发现，应该为钝角三角形。
故当（且AC>BC）时可满足条件。
点评：①本题为条件探索—问题探究型题目，同时考查空间想象能力。本题结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.②其余等价的或类似的条件也可以。

2．结论开放型探索题
对于结论开放的探索题,结论往往不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广，或结论需要通过特例归纳。解决这一类问题，要注意使用类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法。
是否存在型问题属于结论开放题，相对于其他的开放题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论），所以往往从承认结论、变结论为条件出发,然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性.

例。(高一）已知奇函数的定义域为R，且在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f（cos2θ－3）+f(4m－2mcosθ)〉 对所有θ∈［0,］都成立？若存在,求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。
解：∵ 是R上的奇函数，且在［0,+∞）上是增函数,∴ 是R上的增函数。于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3)〉f（2mcosθ－4m），
即cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ+2m－2>0,
设t=cosθ，则问题等价地转化为函数g（t)=t2－mt+2m－2=（t－)2－+2m－2在［0，1]上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正,
∴ 当<0，即m<0时，g（0)=2m－2>0m〉1与m<0不符；
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m)=－+2m－2〉0 4－2<m<4+2，
∴ 4－2<m≤2，
当〉1，即m>2时,g（1）=m－1〉0m>1，∴ m>2
综上所述，符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m〉4－2.
点评：本题属于结论开放-是否存在型题目,同时考查函数的单调性和奇偶性,求最值。
例.(高三）设等比数列的公比为 ,前项和为，是否存在常数，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数;若不存在，请说明理由。
分析：设存在常数， 使数列 成等比数列。
∵ ,∴ ，
(i) 当 时, 代入上式得
，
即 =0 ，但 , 于是不存在常数 ，使成等比数列；
（ii） 当 时， , 代入上式得 ，
∴ 。
综上所述 ， 存在常数 ，使成等比数列。
点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查数列。等比数列n项求和公式中注意公比 的 情 形。
o
y
x
B
A
P
例.（高三)如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为: 。
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；
o
（3)如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C,满足求a的取值范围.
分析：（1）设动圆P的半径为r，则|PA｜＝ｒ＋，｜PB｜ = r + ,∴ ｜PA｜ －|PB｜ = 2 ,
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支,其方程为 （x ≥1） ，
若 ， 则l的方程为双曲线的右准线， ∴ 点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2 。
（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k,则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得 ，
由　 ，　解得 ＞３ ，
∴ ｜PQ｜＝ ,
当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６ ，
∴　|PQ｜的最小值为６.
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△,
∴ R到直线l的距离｜RC｜＝ ①
又∵ 点P、Q都在双曲线 上，∴　 ，
∴　 ，即　 ，
∴　　②　
将②代入①得　 ，|PQ|＝２－４a≥6 ，
故有 ａ≤－１ 。
点评:本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查轨迹方程.
例。（高三)已知数列在直线x—y+1=0上，
⑴ 求数列{an}的通项公式；
⑵ 若函数求函数f(n）的最小值；
⑶ 设表示数列｛bn｝的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g（n）， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。
解:（1）∵ ,

（2） ，
,
.

（3），

。

故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。
点评：本题属于结论开放—规律探索是否存在型题目，同时考查数列。事实上， 数列{an}是等差数列.

3．策略开放型探索题
一般的题目，题型与方法是相对固定的，所以解题者可以根据题目的条件和结论的特点，确定解题策略。但有些题目,并不是按照“题型加方法"的思维定势编拟的。这些题目的背景比较新颖，解题的方法比较开放,有时甚至需要实际操作和巧妙设计。这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策。

例.(高二）若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值)。

分析：本题为策略开放题，由于四面体的棱长未一一给出，故首先需要学生自己构造符合题意的几何图形,再按图索骥，得出结论。由于本题只要求写出一个可能的值，所以，我们应该尽量构造相对简单、易求值的图形，例如底面为边长为1的正三角形,侧棱长均为2。不难算得，此时体积为.
点评：本题属于策略开放-数学建模型题目，同时考查体积的计算。作为本题的延伸,我们可以考虑所有符合题意的图形。
由于三角形的两边之长大于第三边，所以,组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1。
如果这些三角形中,有一个边长为1的正三角形,则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2。通过简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的。
如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1,其余棱长全为2;只有一条棱长为1，其余棱长全为2.
综上所述，共有3种情况，如下图所示:

其体积分别为:。

4．综合开放型探索题
有些题目条件、结论与解题策略都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自已寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.

例。（高一)设f（x) 是定义域为R的一个函数,给出下列五个论断：
① f（x)的值域为R；
② f(x)是R上的单调递减函数；
③ f(x)是奇函数；
④ f（x）在任意区间［a, b］ （a〈b）上的最大值为f（a），最小值为f(b)，且f（a)> f(b)；
⑤ f（x）有反函数。
以其中某一论断为条件,另一论断为结论（例如:⑤①)，至少写出你认为正确的三个命题： 。
分析：根据函数单调性的定义，不难知道:②⑤等价,又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题:②⑤；④⑤;②④(或④②）．
进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题.
点评：本题属于综合开放—问题探究型题目，同时考查对于函数性质的理解。
例。（高二）已知是实数,给出下列四个论断：
（1); （2）；
（3); （4） 。
以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题。
__________________________________．
分析：显然，（1)、（2）等价，它们的含义均为：同号。在此前提之下，由（3)必可推出（4），所以，正确的命题为:（1)（3）（4）；（2）（3）（4）.
点评：本题属于综合开放-情景研究型题目，同时考查不等式的性质。对于这一类只给出了一个特定的情景，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想。在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果。
例（2003年高考文科题）．在平面几何里,有勾股定理：“设。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则______________________________________________.”

答案： 。
点评：本题属于综合开放-类比创新型题目，同时考查立几知识。
点评:类比创新型题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题,要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化,找出类似的命题,深入的命题，或者根据一些特殊的数据,特殊的情况去归纳出一般的规律。

能力测试
认真完成！

参考答案
仔细核对！

开放探索题解法
规律探索
问题探究
数学建模
操作设计
类比创新
是否存在
条件开放型

1函数、2数列、3解几、

结论开放型
9数列、10数列、
4立几、5二项式、6解几、16概率、

7函数+数列、8解几、
17立几
策略开放型

14统计、

12算法

综合开放型

13立几、

11平几→立几、15三角、

1．（高一）老师给出一个函数,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于，都有；
乙：在上函数递减;
丙:在上函数递增;
丁:不是函数的最小值.
如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________。
分析：首先看甲说的话，所谓“对于，都有”,其含义即为：函数的图像关于直线对称.数形结合，不难发现，甲与丙的话相矛盾（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）.
因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可。
如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到，所谓函数在上单调递减,并不是说函数的单调递减区间只有。考虑到关于直线 的对称性,我们不妨构造函数,使之在上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质，例如 即可。
如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数,则分段函数是必然的选择,例如 .
点评：本题属于条件开放-问题探究型题目,同时考查学生对于函数性质的理解和掌握。注意分段函数的使用.
2*。（高三）对任意函数，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下:
① 输入数据，经数列发生器输出；
② 若，则数列发生器结束工作；若,则将反馈回输入端，再输出,并依此规律继续下去。
现定义 .
（Ⅰ)若输入，则由数列发生器产生数列,请写出数列的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
(Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n，均有 ，求的取值范围；
（Ⅳ）是否存在，当输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列。
分析:(Ⅰ）对于函数， ,
若，代入计算可得: ,
故产生的数列只有三项。
（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数,都应该有 ，又 ，所以，只需令 ，
解之得 。
由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列"的一个充分条件，所以,令 （或2）即可，此时必有 ＝1（或2） .
事实上，相对于本题来讲，（或2)是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数是一一对应）。如果把函数换成 ,请你思考：有多少个满足条件的初值?
（Ⅲ）要使得对任意正整数n,均有 ,我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件,即 ，
事实上，不等式 的解为 或 （＊），
∴ 或 .
下面我们来研究这个条件是否充分。
当 时， ，所以，虽然有，但此时,显然不符合题意.
当 时,由上可知 ,且不难求得 ，以此类推，可知必有：对任意正整数n，均有 成立。
综上所述, .由 及（＊） 不难得知的取值范围为。
（Ⅳ）要求使得 成立的初值 ，实质上是执果索因，令 ，则由 不难解得 ，
又由 ，可解得 ，
由此我们知道，如果，则必有 ，即与不可能同时小于0。
故在本题的规则下,不可能产生各项均为负数的数列。
点评:本题属于条件开放—问题探究型题目，同时考查数列与流程图知识。
3＊。（高三)如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段。
（1）建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E;
（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）。
解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系。
设△AMN的外心为C(x,y），则有A（0,p）、M（x–p,0),N(x+p，0），
由题意,有｜CA|=|CM｜
∴，化简,得
x2=2py
它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.
（2)由(1）得,直线C恰为轨迹E的准线.
由抛物线的定义知d=|CF|,其中F（0，)是抛物线的焦点。
∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜
由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为联立方程组
得。
即C点坐标为（)。
此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=。
点评：本题属于条件开放-问题探究型题目，同时考查建立坐标系的能力与二次曲线的性质.建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键。本题考察能否运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论。

4．如右图，在正方体中,写出过顶点A的一个平面,使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)
_____________________________ 。
分析:正方体的12条棱共分为3组,每组有4条平行线,所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可。
正方体是我们较为熟悉的基本图形,不难知道，面ADB1即符合条件（与BA、BD、BB1所成角相等）。
点评：本题属于结论开放-问题探究型题目，同时考查空间想象能力.
5。（高三)规定 ，其中,是正整数,且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广。
(Ⅰ）求的值；
(Ⅱ）组合数的两个性质:①；② 是否都能推广到（,是正整数)的情形？若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由;
（Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于，，是正整数，是否也有同样的结论?你能举出一些成立的例子吗?
分析：（Ⅰ） 。
（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义。从这个角度很快可以看出：性质①不能推广，例如当时,有定义，但无意义；
性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：,其中，是正整数。
类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的,那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论。事实上，
当时, ，当 时，

由此，可以知道，性质②能够推广。
(Ⅲ)从的定义不难知道,当且时,不成立，下面,我们将着眼点放在的情形。
先从熟悉的问题入手，当 时,就是组合数，故 ，
当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？
一方面再一次考察定义:;另一方面，可以从具体的问题入手.
由（Ⅰ）的计算过程不难知道 ，另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论，因此，将转化为可能是问题解决的途径。
事实上，当时，
，
①若,即,则为组合数，故;
②若，即时,无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：＝0……，可以猜想，此时 ,
这个结论不难验证，事实上,当时,在这m个连续的整数中，必存在某个数为0，所以， 。
综上所述，对于且为正整数，均有 。
点评：本题属于结论开放—问题探究型题目，同时考查二项式定理.类比是创造性的“模仿”,联想是“由此及彼"的思维跳跃。在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知,由旧知探索新知。
6.（高三)已知直线y=－x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B,点P为x轴上可移动的点,且点P在点A的左侧，过P作x轴的垂线交y=－x+6于M，有一动圆O′，它与x轴,直线PM和y=－x+6都相切且在x轴上方，且⊙O′与y轴也相切时,求满足上述条件的点P的坐标。
分析:从点P的位置移动中找出符合题设条件的三种情况是解决本题的关键。

解:直线y=－x+6与x轴交点A（6,0)，与y轴交点B（0,6）满足题设条件有以下三种情况：
（1)若直线PM与y轴重合，则⊙O′为△AOB的内切圆，P点坐标为（0,0）；
（2） ⊙O′在y轴右侧，PM在⊙O′右侧（见图5－7)，设r为⊙O′的半径,AB=6 ,
点P坐标为 ；
（3）⊙O′在y轴左侧，PM在⊙O′左侧（见图5－8）,设r为⊙O′的半径，⊙O′切x轴于C，切PM于D，切AM于E 。
AP＝MP＝6＋2r,MA＝(6＋2r） ，MA=ME+EA=6+r+6+r=12+2r ，
∴12+2r=（6+2r)· ，r=3 ，即点P坐标为（-6,0) 。
点评：本题属于结论开放—问题探究型题目，同时考查解析几何知识。
7。（高三)已知函数f（x）= (x〈-2） ，
（1） 求f(x）的反函数f—1（x）；
(2）设a1=1,=-f—1(）（n∈N)，求 ；
(3）设Sn=a12+a22+…+an2，bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m，使得对任意n∈N，有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由。
解：（1） y= ，∵ x<-2 ，∴ x= - ,即y=f—1（x）= - (x〉0)。
（2) ∵ , ∴ =4 ,∴{}是公差为4的等差数列,
∵ a1=1 , ∴ =+4（n-1）=4n-3 ,
∵ an〉0 ， ∴ an= 。
（3） bn=Sn+1-Sn=an+12= ， 由 bn< ,得 m〉 对于n∈N 成立,
∵ ≤5 ,∴ m>5 ，存在最小正数m=6,使得对任意n∈N 有bn< 成立。
点评：本题属于结论开放-是否存在型题目,同时考查函数与数列综合应用。关键是为了求an ,先求，这是因为{｝是等差数列。
8.（高三）已知动圆过定点P(1，0），且与定直线相切，点C在l上。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标;若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
解：（1)由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为。
（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是, A点和B点的坐标分别为A，B(3，)，
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则｜BC|=|AB|且|AC|=｜AB|,

(3，)

即有
①

②

由①－②得

因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解。
故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
(ii）设C(－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
即当点C的坐标是（－1，）时，三点A,B,C共线，故。
，
，
。
(i） 当，即，
即为钝角.
(ii） 当，即，
即为钝角。
(iii）当，即，
即. 该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角。
故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。
点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系。需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个，需要我们进行一一探讨。
9。（高三）是否存在常数、、，使得 满足 ，对一切自然数都成立？请说明理由。
分析：可视、、为未知数，设法建立关于、、的三个方程。
在 中,分别令，可得
再由
故猜想
再用数学归纳法证明，这里从略。
点评：本题属于结论开放-规律探索型题目，同时考查求数列通项.
10．(高三)已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 。
（1）求f（0）,f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论;
（3）若,求数列{un｝的前n项的和 。
解：（1）在 中，令 得
，
在 中,令 得
，有 。
（2)是奇函数，这需要我们进一步探索，

故为奇函数。
（3）从规律中进行探究，进而提出猜想.
由
，
………………………………
猜测 。
于是我们很易想到用数学归纳法证明。
1° 当n=1时，,公式成立;
2°假设当n=k时，成立,那么当n=k+1时,
，公式仍然成立.
综上可知,对任意成立.
从而 。

，.
故
点评:本题属于结论开放-规律探索型题目，同时考查函数和数列的知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
11（2000年高考上海理科题)．在等差数列中,若,则有等式 成立,类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
答案: 。
点评：本题属于综合开放—类比创新型题目,同时考查数列知识.
12（2000年高考北京理科题）．在研究并行计算的基本算法时,有以下简单模型问题：
用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和,计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中,每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内,每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.
为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都到这n个数的和,需要设计一种读和加的方法，比如n＝2时,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示：
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结果
被读机号
结果
被读机号
结果
1
v 1
2
v1＋v 2

2
v 2
1
v2＋v1

（Ⅰ)当n＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？
把你设计的方法填入下表
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结果
被读机号
结果
被读机号
结果
1
v1

2
v2

3
v3

4
v4

（Ⅱ）当n＝128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算?（结论不要求证明)
解：（Ⅰ）当n＝4时，只用2个单位时间即可完成计算。
方法之一如下：
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结果
被读机号
结果
被读机号
结果
1
v1
2
v1＋v2
3
v1＋v 2＋v3＋v4

2
v2
1
v2＋v1
4
v2＋v1＋v4＋v3

3
v3
4
v3＋v4
1
v3＋v4＋v1＋v2

4
v4
3
v4＋v3
2
v4＋v3＋v2＋v1

(Ⅱ） 当n＝128＝27时，至少需要7个单位时间才能完成计算。
点评：本题属于策略开放-操作设计型题目，同时考查算法知识。
13（1999高考理科题）． a、b是两个不同的平面,m、n是平面a及b之外的两条不同直线。给出四个论断：①m⊥n； ②a⊥b; ③n⊥b； ④m⊥a；以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
答案：12。
点评：本题属于综合开放—-问题探究型题目，同时考查立几知识。
14（1994年高考试理科题) .在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差使得几次测量 分别得到,,… ,共n个数据。我们规定所测量的“最佳近似值”是这样的一个量，与其他近似值比较,与各数据的差的平方和最小，依此规定，从,，…推出a= 　　。
分析：首先搜索信息，然后将问题数学化，再找出本解题方法.
策略1：建立数学模型 ，再配方求解出 。
策略2:利用统计学性质：平均数到已知n个点距离平方和最小，立即得出 .
点评：本题属于策略开放-问题探究型题目,同时考查统计知识。
15。（高一）观察
sin220°+cos250°+sin20°cos50°= ，
sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=，
写出一个与以上两式规律相同的一个等式 。

分析：由50°–20°=(45°–15°)=30° 可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= .
答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos（α+30°）=
点评：本题属于结论开放-类比创新型题目，同时考查三角知识。
16。（高三）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0。7、0.8、0.9,将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3,电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0。7，P（A2)=0。8，P（A3）=0.9。
(1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2与A3相互独立，则P(A）=P(A1+A2）·P（A3）
又P（A1+A2)=1–P(）=1–P（·）由A1与A2相互独立知与相互独立,得：P（·)=P（)·P（）=［1–P（A1）］·［1–P(A2)］=（1–0。7）×(1–0。8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(·)=1–0。06=0.94，
∴P(A)=0.94×0。9=0。846。
（2）按图乙的接法求P（A）：A=(A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立,则P（A）=P（A1+A3）·
P（A2)，用另一种算法求P(A1+A3)。∵A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P(A1+A3）=
P（A1)+P（A3）–P（A1A3），∵A1与A3相互独立，则P(A1·A3）=P(A1）·P（A3）=0。7×0.9=0.63,P（A1+A3)=0。7+0.9–0。63=0.97.∴P（A）=P(A1+A3）·P（A2)=0。97×0.8=0.776.
（3)按图丙的接法求P（A）,用第三种算法.
A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1，∵A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理,则P（A)=P(A1A2)+P（A1A3）–P（A1A2A3)，又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1·A2）=P（A1)P（A2）=0.8×0。7=0.56，
P(A3A1)=P（A3)·P（A1）=0。9×0.7=0.63，
P(A1A2A3）=P(A1)·P（A2)·P(A3）=0。7×0。8×0。9=0.504,
∴P（A）=0。56+0.63–0。504=0.686。
综合(1)、（2)、（3)得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846，0。776，0.686。
故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.
点评：本题属于结论开放—问题探究型题目，同时考查概率知识.
D
P
B
A
C
E
17（2004年高考理科湖南题）．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中,∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE：ED=2：1。
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小;
(Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。
（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a, 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB。
同理，PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD。
知EG⊥平面ABCD。作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的平面角.
又PE ： ED=2 : 1,所以
从而
(Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

令 得

解得 即 时,
亦即，F是PC的中点时，、、共面.
又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC,证明如下，

证法一 取PE的中点M，连结FM,则FM//CE。 ①
由 知E是MD的中点.
连结BM、BD，设BDAC=O,则O为BD的中点。
所以 BM//OE。 ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
证法二
因为

所以 、、共面。
又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.
点评：本题属于结论开放—是否存在型题目，同时考查立几知识。