第讲开放探索题解法.doc

个人收集整理 勿做商业用途第 5 讲 开放探索题解法（高中版） (第课时）神经网络准确记忆！开放探索题 重点难点好好把握！重点：创造性思维方法。难点：选择合适的方法和探索的经验技巧，形成解决问题的思路.考纲要求注意紧扣！1勇于探索,自主探索,积极探索；2能解决开放探索问题.命题预测仅供参考！在试卷中开放探索题大约占15分左右.可以涉及各种知识以及各个层面。考点热点一定掌握！开放探索题是指那些题目条件条件多余或不足、结论不明确或不唯一、解题方法多样,能给学生留有较大探索余地的问题。开放探索题主要考察学生的创新意识。开放探索题的特点：形式新，解法活、无固定解题模式.开放探索题的分类：按开放的对象可分为: 条件开放型（条件多余或不足）,结论开放型(结论不明确或不唯一），策略开放型（解题方法多样)，综合开放型（条件、结论、策略的综合)；按解题目标的操作模式可分为: 规律探索型,问题探究型,数学建模型，操作设计型，是否存在型，类比创新型。常见的出题方式有三种：第一种做法是从课本上的一些题目出发,引申出开放题。我们平时所做的题目，大多是具有完备的条件和确定的答案。命题者往往会对原有问题加以改造，形成开放题.第二种做法是为体现某一种数学研究方法而编写开放题.第三种做法是从学生所学的知识结构的交汇点切入编写开放题。所谓交汇点，其实质就是中学数学内容中没有遇到过的新知识，可以是新概念、新定义、新定理、新规则、新情境，并且这些信息有可能不是直接给出的，要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息、新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.开放探索题的解题指导思想：对问题进行全面观察、分析、尝试、判断、归纳，以充分揭示问题的本质特征。组织相应的原材料，选择合适的方法和探索的经验技巧,形成解决问题的思路，然后进行表达、修正、创新。开放探索题的常用解法：（1)直接求解；（2)观察猜测证明；（3）赋值推断；（4)数形结合;（5）联想类比;（6)特殊般特殊。1条件开放型探索题条件开放型探索题实质上是寻找使命题为真的充分条件或充要条件.我们往往采用分析法，即先假设结论成立，从结论和部分已知的条件入手，导出所需的条件。需要注意的是，这一类问题所求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件。例。(高二)在四棱锥中，四条侧棱长都相等，底面是梯形， 。为保证顶点P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需满足条件_（填上你认为正确的一个条件即可）分析： 观察条件,由于四条侧棱长相等,所以，顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等即梯形有外接圆，且外接圆的圆心就是O显然梯形必须为等腰梯形。观察结论,结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可。显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧。不难发现，应该为钝角三角形。故当（且ACBC）时可满足条件。点评：本题为条件探索问题探究型题目，同时考查空间想象能力。本题结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.其余等价的或类似的条件也可以。2结论开放型探索题对于结论开放的探索题,结论往往不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广，或结论需要通过特例归纳。解决这一类问题，要注意使用类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法。是否存在型问题属于结论开放题，相对于其他的开放题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论），所以往往从承认结论、变结论为条件出发,然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性.例。(高一）已知奇函数的定义域为R，且在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f（cos23）+f(4m2mcos) 对所有0,都成立？若存在,求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。解： 是R上的奇函数，且在0,+）上是增函数, 是R上的增函数。于是不等式可等价地转化为f（cos23)f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m20,设t=cos，则问题等价地转化为函数g（t)=t2mt+2m2=（t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正, 当0，即m0m1与m0不符；当01时，即0m2时，g（m)=+2m20 42m4+2， 422时,g（1）=m10m1， m2综上所述，符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m42.点评：本题属于结论开放-是否存在型题目,同时考查函数的单调性和奇偶性,求最值。例.(高三）设等比数列的公比为 ,前项和为，是否存在常数，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数;若不存在，请说明理由。分析：设存在常数， 使数列 成等比数列。 , ，(i) 当 时, 代入上式得 ， 即 =0 ，但 , 于是不存在常数 ，使成等比数列；（ii） 当 时， , 代入上式得 ， 。综上所述 ， 存在常数 ，使成等比数列。点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查数列。等比数列n项求和公式中注意公比 的 情 形。oyxBAP例.（高三)如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为: 。（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值； o（3)如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C,满足求a的取值范围.分析：（1）设动圆P的半径为r，则|PA，PB = r + , PA |PB = 2 , 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支,其方程为 （x 1） ，若 ， 则l的方程为双曲线的右准线， 点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2 。（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k,则直线PQ的方程为y = k ( x2 )代入双曲线方程, 得 ，由 ，解得 ， PQ ,当直线的斜率存在时，得，PQ| ，|PQ的最小值为.（3）当PQQC时，P、C、Q构成Rt, R到直线l的距离RC 又 点P、Q都在双曲线 上， ， ，即 ，将代入得 ，|PQ|a6 ，故有 。点评:本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查轨迹方程.例。（高三)已知数列在直线xy+1=0上， 求数列an的通项公式； 若函数求函数f(n）的最小值； 设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g（n）， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。解:（1） , （2） ，,.（3）， 。 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。点评：本题属于结论开放规律探索是否存在型题目，同时考查数列。事实上， 数列an是等差数列.3策略开放型探索题一般的题目，题型与方法是相对固定的，所以解题者可以根据题目的条件和结论的特点，确定解题策略。但有些题目,并不是按照“题型加方法的思维定势编拟的。这些题目的背景比较新颖，解题的方法比较开放,有时甚至需要实际操作和巧妙设计。这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策。例.(高二）若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能的值)。分析：本题为策略开放题，由于四面体的棱长未一一给出，故首先需要学生自己构造符合题意的几何图形,再按图索骥，得出结论。由于本题只要求写出一个可能的值，所以，我们应该尽量构造相对简单、易求值的图形，例如底面为边长为1的正三角形,侧棱长均为2。不难算得，此时体积为.点评：本题属于策略开放-数学建模型题目，同时考查体积的计算。作为本题的延伸,我们可以考虑所有符合题意的图形。由于三角形的两边之长大于第三边，所以,组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1。如果这些三角形中,有一个边长为1的正三角形,则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2。通过简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1,其余棱长全为2;只有一条棱长为1，其余棱长全为2.综上所述，共有3种情况，如下图所示:其体积分别为:。4综合开放型探索题有些题目条件、结论与解题策略都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自已寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.例。（高一)设f（x) 是定义域为R的一个函数,给出下列五个论断： f（x)的值域为R； f(x)是R上的单调递减函数； f(x)是奇函数； f（x）在任意区间a, b （ab）上的最大值为f（a），最小值为f(b)，且f（a) f(b)； f（x）有反函数。以其中某一论断为条件,另一论断为结论（例如:)，至少写出你认为正确的三个命题： 。 分析：根据函数单调性的定义，不难知道:等价,又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题:；;(或）进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系所以，可以知道，只有上述三个正确命题.点评：本题属于综合开放问题探究型题目，同时考查对于函数性质的理解。例。（高二）已知是实数,给出下列四个论断：（1); （2）；（3); （4） 。以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题。_分析：显然，（1)、（2）等价，它们的含义均为：同号。在此前提之下，由（3)必可推出（4），所以，正确的命题为:（1)（3）（4）；（2）（3）（4）.点评：本题属于综合开放-情景研究型题目，同时考查不等式的性质。对于这一类只给出了一个特定的情景，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想。在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果。例（2003年高考文科题）在平面几何里,有勾股定理：“设。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则_.”答案： 。点评：本题属于综合开放-类比创新型题目，同时考查立几知识。点评:类比创新型题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题,要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化,找出类似的命题,深入的命题，或者根据一些特殊的数据,特殊的情况去归纳出一般的规律。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！开放探索题解法规律探索问题探究数学建模操作设计类比创新是否存在条件开放型1函数、2数列、3解几、结论开放型9数列、10数列、4立几、5二项式、6解几、16概率、7函数+数列、8解几、17立几策略开放型14统计、12算法综合开放型13立几、11平几立几、15三角、1（高一）老师给出一个函数,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于，都有；乙：在上函数递减;丙:在上函数递增;丁:不是函数的最小值.如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：_。分析：首先看甲说的话，所谓“对于，都有”,其含义即为：函数的图像关于直线对称.数形结合，不难发现，甲与丙的话相矛盾（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）.因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可。如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到，所谓函数在上单调递减,并不是说函数的单调递减区间只有。考虑到关于直线 的对称性,我们不妨构造函数,使之在上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质，例如 即可。如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数,则分段函数是必然的选择,例如 .点评：本题属于条件开放-问题探究型题目,同时考查学生对于函数性质的理解和掌握。注意分段函数的使用.2*。（高三）对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下: 输入数据，经数列发生器输出； 若，则数列发生器结束工作；若,则将反馈回输入端，再输出,并依此规律继续下去。现定义 .（)若输入，则由数列发生器产生数列,请写出数列的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；(）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n，均有 ，求的取值范围；（）是否存在，当输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列。分析:(）对于函数， ,若，代入计算可得: ,故产生的数列只有三项。（）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数,都应该有 ，又 ，所以，只需令 ，解之得 。由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列的一个充分条件，所以,令 （或2）即可，此时必有 1（或2） .事实上，相对于本题来讲，（或2)是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数是一一对应）。如果把函数换成 ,请你思考：有多少个满足条件的初值?（）要使得对任意正整数n,均有 ,我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件,即 ，事实上，不等式 的解为 或 （）， 或 .下面我们来研究这个条件是否充分。当 时， ，所以，虽然有，但此时,显然不符合题意.当 时,由上可知 ,且不难求得 ，以此类推，可知必有：对任意正整数n，均有 成立。综上所述, .由 及（） 不难得知的取值范围为。（）要求使得 成立的初值 ，实质上是执果索因，令 ，则由 不难解得 ，又由 ，可解得 ，由此我们知道，如果，则必有 ，即与不可能同时小于0。故在本题的规则下,不可能产生各项均为负数的数列。点评:本题属于条件开放问题探究型题目，同时考查数列与流程图知识。3。（高三)如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段。（1）建立适当的平面直角坐标系,求AMN的外心C的轨迹E;（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）。解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系。设AMN的外心为C(x,y），则有A（0,p）、M（xp,0),N(x+p，0），由题意,有CA|=|CM，化简,得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2)由(1）得,直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=|CF|,其中F（0，)是抛物线的焦点。d+BC=CF+BC由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得。即C点坐标为（)。此时d+BC的最小值为BF=。点评：本题属于条件开放-问题探究型题目，同时考查建立坐标系的能力与二次曲线的性质.建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键。本题考察能否运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论。4如右图，在正方体中,写出过顶点A的一个平面,使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)_ 。分析:正方体的12条棱共分为3组,每组有4条平行线,所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可。正方体是我们较为熟悉的基本图形,不难知道，面ADB1即符合条件（与BA、BD、BB1所成角相等）。点评：本题属于结论开放-问题探究型题目，同时考查空间想象能力.5。（高三)规定 ，其中,是正整数,且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广。(）求的值；(）组合数的两个性质:； 是否都能推广到（,是正整数)的情形？若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由;（）我们知道，组合数是正整数那么，对于，是正整数，是否也有同样的结论?你能举出一些成立的例子吗?分析：（） 。（）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义。从这个角度很快可以看出：性质不能推广，例如当时,有定义，但无意义；性质如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：,其中，是正整数。类比于性质的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的,那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论。事实上，当时, ，当 时，由此，可以知道，性质能够推广。()从的定义不难知道,当且时,不成立，下面,我们将着眼点放在的情形。先从熟悉的问题入手，当 时,就是组合数，故 ，当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？一方面再一次考察定义:;另一方面，可以从具体的问题入手.由（）的计算过程不难知道 ，另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论，因此，将转化为可能是问题解决的途径。事实上，当时， ，若,即,则为组合数，故;若，即时,无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：0，可以猜想，此时 ,这个结论不难验证，事实上,当时,在这m个连续的整数中，必存在某个数为0，所以， 。综上所述，对于且为正整数，均有 。点评：本题属于结论开放问题探究型题目，同时考查二项式定理.类比是创造性的“模仿”,联想是“由此及彼的思维跳跃。在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知,由旧知探索新知。6.（高三)已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B,点P为x轴上可移动的点,且点P在点A的左侧，过P作x轴的垂线交y=x+6于M，有一动圆O，它与x轴,直线PM和y=x+6都相切且在x轴上方，且O与y轴也相切时,求满足上述条件的点P的坐标。分析:从点P的位置移动中找出符合题设条件的三种情况是解决本题的关键。解:直线y=x+6与x轴交点A（6,0)，与y轴交点B（0,6）满足题设条件有以下三种情况：（1)若直线PM与y轴重合，则O为AOB的内切圆，P点坐标为（0,0）；（2） O在y轴右侧，PM在O右侧（见图57)，设r为O的半径,AB=6 ,点P坐标为 ；（3）O在y轴左侧，PM在O左侧（见图58）,设r为O的半径，O切x轴于C，切PM于D，切AM于E 。APMP62r,MA(62r） ，MA=ME+EA=6+r+6+r=12+2r ，12+2r=（6+2r) ，r=3 ，即点P坐标为（-6,0) 。点评：本题属于结论开放问题探究型题目，同时考查解析几何知识。7。（高三)已知函数f（x）= (x-2） ，（1） 求f(x）的反函数f1（x）；(2）设a1=1,=-f1(）（nN)，求 ；(3）设Sn=a12+a22+an2，bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m，使得对任意nN，有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由。 解：（1） y= ， x-2 ， x= - ,即y=f1（x）= - (x0)。（2) , =4 ,是公差为4的等差数列, a1=1 , =+4（n-1）=4n-3 , an0 ， an= 。（3） bn=Sn+1-Sn=an+12= ， 由 bn5 ，存在最小正数m=6,使得对任意nN 有bn 成立。点评：本题属于结论开放-是否存在型题目,同时考查函数与数列综合应用。关键是为了求an ,先求，这是因为是等差数列。8.（高三）已知动圆过定点P(1，0），且与定直线相切，点C在l上。（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点。（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标;若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.解：（1)由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为。（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得于是, A点和B点的坐标分别为A，B(3，)，假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则BC|=|AB|且|AC|=AB|,(3，)即有 由得因为不符合，所以由，组成的方程组无解。故知直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.(ii）设C(1，y）使ABC成钝角三角形，由即当点C的坐标是（1，）时，三点A,B,C共线，故。 ， ， 。 (i） 当，即， 即为钝角. (ii） 当，即， 即为钝角。(iii）当，即， 即. 该不等式无解,所以ACB不可能为钝角。故当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系。需要提及的是, 当ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个，需要我们进行一一探讨。9。（高三）是否存在常数、，使得 满足 ，对一切自然数都成立？请说明理由。分析：可视、为未知数，设法建立关于、的三个方程。在 中,分别令，可得 再由故猜想再用数学归纳法证明，这里从略。点评：本题属于结论开放-规律探索型题目，同时考查求数列通项.10(高三)已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足关系式 。 （1）求f（0）,f（1）的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论; （3）若,求数列un的前n项的和 。解：（1）在 中，令 得 ， 在 中,令 得 ，有 。 （2)是奇函数，这需要我们进一步探索， 故为奇函数。（3）从规律中进行探究，进而提出猜想. 由 ， 猜测 。 于是我们很易想到用数学归纳法证明。 1 当n=1时，,公式成立; 2假设当n=k时，成立,那么当n=k+1时,，公式仍然成立. 综上可知,对任意成立. 从而 。 ，. 故 点评:本题属于结论开放-规律探索型题目，同时考查函数和数列的知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.11（2000年高考上海理科题)在等差数列中,若,则有等式 成立,类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.答案: 。点评：本题属于综合开放类比创新型题目,同时考查数列知识.12（2000年高考北京理科题）在研究并行计算的基本算法时,有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v1，v2，vn的和,计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中,每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内,每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都到这n个数的和,需要设计一种读和加的方法，比如n2时,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v 12v1v 22v 21v2v1（)当n4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v23v34v4（）当n128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算?（结论不要求证明)解：（）当n4时，只用2个单位时间即可完成计算。方法之一如下：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v1v23v1v 2v3v42v21v2v14v2v1v4v33v34v3v41v3v4v1v24v43v4v32v4v3v2v1(） 当n12827时，至少需要7个单位时间才能完成计算。点评：本题属于策略开放-操作设计型题目，同时考查算法知识。13（1999高考理科题） a、b是两个不同的平面,m、n是平面a及b之外的两条不同直线。给出四个论断：mn； ab; nb； ma；以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。 答案：12。点评：本题属于综合开放-问题探究型题目，同时考查立几知识。14（1994年高考试理科题) .在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差使得几次测量 分别得到, ,共n个数据。我们规定所测量的“最佳近似值”是这样的一个量，与其他近似值比较,与各数据的差的平方和最小，依此规定，从,，推出a= 。分析：首先搜索信息，然后将问题数学化，再找出本解题方法.策略1：建立数学模型 ，再配方求解出 。策略2:利用统计学性质：平均数到已知n个点距离平方和最小，立即得出 .点评：本题属于策略开放-问题探究型题目,同时考查统计知识。15。（高一）观察sin220+cos250+sin20cos50= ，sin215+cos245+sin15cos45=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 。分析：由5020=(4515)=30 可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)= .答案：sin2+cos2(+30)+sincos（+30）=点评：本题属于结论开放-类比创新型题目，同时考查三角知识。16。（高三）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0。7、0.8、0.9,将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3,电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0。7，P（A2)=0。8，P（A3）=0.9。(1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）A3，由A1+A2与A3相互独立，则P(A）=P(A1+A2）P（A3）又P（A1+A2)=1P(）=1P（）由A1与A2相互独立知与相互独立,得：P（)=P（)P（）=1P（A1）1P(A2)=（10。7）(10。8)=0.06，P(A1+A2)=0.1P()=10。06=0.94，P(A)=0.940。9=0。846。（2）按图乙的接法求P（A）：A=(A1+A3）A2且A1+A3与A2相互独立,则P（A）=P（A1+A3）P（A2)，用另一种算法求P(A1+A3)。A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P(A1+A3）=P（A1)+P（A3）P（A1A3），A1与A3相互独立，则P(A1A3）=P(A1）P（A3）=0。70.9=0.63,P（A1+A3)=0。7+0.90。63=0.97.P（A）=P(A1+A3）P（A2)=0。970.8=0.776.（3)按图丙的接法求P（A）,用第三种算法.A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1，A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理,则P（A)=P(A1A2)+P（A1A3）P（A1A2A3)，又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1A2）=P（A1)P（A2）=0.80。7=0.56，P(A3A1)=P（A3)P（A1）=0。90.7=0.63，P(A1A2A3）=P(A1)P（A2)P(A3）=0。70。80。9=0.504,P（A）=0。56+0.630。504=0.686。综合(1)、（2)、（3)得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846，0。776，0.686。故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.点评：本题属于结论开放问题探究型题目，同时考查概率知识.DPBACE17（2004年高考理科湖南题）如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中,ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE：ED=2：1。（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小;(）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论。（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a, 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB。同理，PAAD,所以PA平面ABCD.(）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD。知EG平面ABCD。作GHAC于H，连结EH，则EHAC,EHG即为二面角的平面角.又PE ： ED=2 : 1,所以从而 (）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时,亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC,证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM,则FM/CE。 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O,则O为BD的中点。所以 BM/OE。 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面。又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.点评：本题属于结论开放是否存在型题目，同时考查立几知识。