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(完整版)《医药数理统计方法》学习指导-标准答案
第一章 数据的描述和整理
一、学习目的和要求
1. 掌握数据的类型及特性；
2. 掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；
3. 掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量;
4. 能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；
5. 了解统计图形和统计表的表示及意义;
6。 了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。

二、 内容提要
（一） 数据的分类
数据类型
定性数据（品质数据)
定量数据
定类数据
（计数数据）
定序数据
（等级数据）
数值数据
（计量数据）
表现形式
类别
（无序）
类别
(有序)
数值
(＋－×÷）
对应变量
定类变量
定序变量
数值变量
（离散变量、连续变量）
主要统计方法
计算各组频数，进行列联表分析、c2检验等非参数方法
计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等参数方法
常用统计图形
条形图，圆形图（饼图）
直方图,折线图，散点图,
茎叶图,箱形图

（二） 常用统计量
1、描述集中趋势的统计量
名 称
公 式（原始数据）
公 式(分组数据）
意 义
均值

反映数据取值的平均水平，是描述数据分布集中趋势的最主要测度值,
中位数
Me

中位数所在组：
累积频数超过n/2的那个最低组
是典型的位置平均数，不受极端值的影响

众数
Mo
数据中出现次数最多的观察值
众数所在组:
频数最大的组
测度定性数据集中趋势，对于定量数据意义不大

2、描述离散程度的统计量
名 称
公 式（原始数据）
公 式（分组数据）
意 义
极差
R
R = 最大值-最小值
R≈最高组上限值－最低组下限值
反映离散程度的最简单测度值,不能反映中间数据的离散性
总体方差
s2

反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度,是离散程度的最重要测度值, 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲

总体标准差s

样本方差
S2

反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度,是离散程度的最重要测度值， 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲

样本标准差S

变异系数
CV
CV=
反映数据偏离其均值的相对偏差，是无量纲的相对变异性测度
样本标准误

反映样本均值偏离总体均值的平均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差

3、描述分布形状的统计量
名 称
公 式（原始数据）
公 式（分组数据）
意 义
偏度
Sk

反映数据分布的非对称性
Sk=0时为对称；
Sk >0时为正偏或右偏；
Sk 〈0时为负偏或左偏
峰度
Ku

（原始数据）
（分组数据）
反映数据分布的平峰或尖峰程度
Ku=0时为标准正态;
Ku＞0时为尖峰分布；
Ku＜0时为扁平分布

＊ 在分组数据公式中,mi， fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。

三、综合例题解析
例1．证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和)最小，即对任意常数C，有

证一：设
由函数极值的求法,对上式求导数，得

令 f ¢（C）=0，得唯一驻点

由于，故当时f (C)y有最小值，其最小值为
。
证二：因为对任意常数C有

故有 。

四、习题一解答
1．在某药合成过程中，测得的转化率(%）如下:
94。3 92。8 92。7 92。6 93.3 92.9 91。8 92.4 93。4 92.6
92.2 93.0 92。9 92.2 92。4 92.2 92。8 92。4 93。9 92。0
93.5 93。6 93.0 93.0 93.4 94。2 92.8 93.2 92.2 91。8
92。5 93.6 93。9 92。4 91.8 93.8 93.6 92.1 92。0 90。8
（1）取组距为0。5，最低组下限为90。5，试作出频数分布表；
（2）作频数直方图和频率折线图；
（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差.
解：(1）所求频数分布表：
转化率的频数分布表
转化率分组
频数
频率
累积频率
90。5~
1
0。025
0.025

91.0～
0
0。00
0。025
91.5~
3
0.075
0。10

92。0~
11
0。275
0。375
92。5～
9
0。225
0。60

93.0～
7
0。175
0.775
93。5～
7
0.175
0。95
94。0～94.5
2
0。05
1。00

（2)频数直方图：

频率折线图：

（3）由频数分布表可得
转化率分组
组中值mi
频数
90.5～
90。75
1

91.0～
91.25
0
91.5～
91。75
3

92.0～
92。25
11
92.5～
92。75
9

93.0~
93。25
7
93。5~
93.75
7
94.0～94。5
94。25
2

则

=［（90。75－92。825）2×1+(91.25－92.825)2×0+…+（94。25－92。825）2×2］
=0。584
或者

=≈0。7642
2．测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L）如下：
7.1，6。5,7。4,6。35，6。8,7。25,6.6，7.8，6。0，5.95
（1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。
(2）求出该组数据对应的标准化值；
（3）计算其偏度。
解：（1),n=10
462.35
样本均值
方差
标准差=≈0。609

标准误
变异系数CV===8.99%；
（2）对应的标准化值公式为

对应的标准化值为
0.534,—0。452,1。026，-0。698,0。041,0.78，-0。287,1。683,-1.273，-1.355;
（3）=0.204。
3。 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示
按月人均支出分组（元）
家庭户数占总户数的比例（％）
200以下
200～
500～
800~
1000以上
1。5
18。2
46.8
25.3
8。2
合计
100

试计算(1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差;
（2)并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。
解：（1)由原分组数据表可得
支出分组（元）
组中值
比例（%)
200以下
200～
500～
800～
1000以上
100
350
650
900
1100
1.5
18.2
46.8
25。3
8。2

则

；
（2）由原分组数据表可得
支出分组（元)
比例（%）
累积比例（％）
200以下
200～
500～
800~
1000以上
1.5
18.2
46。8
25。3
8。2
1。5
19。7
66.5
91。8
100

中位数所在组,即累积比例超过50的那个最低组，即为500～组。
众数所在组是频数即比例最大的组，也是500~组。
4．设x1, x2, …，xn和y1, y2， …，yn为两组样本观察值，它们有下列关系：
i=1,2，…，n
其中a、b为常数且b≠0，求样本均值与及样本方差和之间的关系。
解：

。

五、思考与练习
(一）填充题
1． 统计数据可以分为 数据、 数据、 数据、
据等三类,其中 数据、 数据属于定性数据。
2． 常用于表示定性数据整理结果的统计图有 、 ;而 、 、 、 等是专用于表示定量数据的特征和规律的统计图。
3。 用于数据整理和统计分析的常用统计软件有 等。
4. 描述数据集中趋势的常用测度值主要有 、 、 和
等，其中最重要的是 ；描述数据离散程度的常用测度值主要有 、 、 、 等，其中最重要的是 、 。
（二）选择题
1。 各样本观察值均加同一常数c后（ )
A．样本均值不变，样本标准差改变 B．样本均值改变，样本标准差不变
C．两者均不变 D. 两者均改变
2．关于样本标准差，以下哪项是错误的（ ）.
A．反映样本观察值的离散程度 B．度量了数据偏离样本均值的大小
C．反映了均值代表性的好坏 D．不会小于样本均值
3．比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（ ）
A．变异系数(CV） B．方差（S2）
C．极差（R） D．标准差（S）

（三）计算题
1. 在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入10只家鸽内，直至动物死亡。将致死量折算至原来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位：mg/kg）
97.3,91。3,102，129，92。8,98。4，96.3，99.0，89.2，90.1
试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。

六、思考与练习参考答案
（一）填充题
1。 定类，定序，数值，定类，定序
2. 条形图、圆形图；直方图、频数折线图、茎叶图、箱形图
3. SAS、SPSS、Excel
4. 均值、众数、中位数,均值,极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差

（二)选择题
1. B； 2。D；3.A

(三）计算题
1．均值98.54、方差132。27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%。

第二章 随机事件与概率
一、学习目的和要求
1. 掌握事件等的基本概念及运算关系；
2. 熟练掌握古典概率及计算；
3. 理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；
4. 熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；
5. 理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算;
6. 掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。

二、内容提要
（一）基本概念
概 念
符 号
概率论的定义
集合论的含义
随机试验
（试验）
E
具有以下特征的观测或试验：
1．试验在相同的条件下可重复地进行
2．试验的所有结果事先已知，且不止一个
3．每次试验恰好出现其中之一，但试验前无法预知到底出现哪一个结果。

样本空间
W
试验所有可能结果组成的集合,即所有基本事件的全体
全集
基本事件
（样本点）
w
试验的每个不可再分的可能结果,即样本空间的元素
元素
随机事件
（事件）
A
试验中可能发生也可能不发生的结果,是由基本事件组成的样本空间的子集
子集
必然事件
W
在试验中一定发生的事件
全集
不可能事件
Æ
在试验中一定不发生的事件，不含任何基本事件
空集

（二）事件间的关系
关 系
符 号
概率论的定义
集合论的含义
包含
AB
事件A的发生必然导致事件B的发生
A是B的子集
相等
A=B
AB而且BA
A与B相等
和(并）
A+B（A∪B)
事件A与B中至少有一个事件发生
A与B的并
积（交）
AB(A∩B)
事件A与B同时发生
A与B的交
差
A－B
事件A发生同时B不发生
A与B的差
互不相容
AB=Æ
事件A与B不可能同时发生
A与B不相交
对立

事件A不发生
A的补集（余集)

（三）事件的运算规律
运算律
公 式
交换律
A+B=B+A,AB=BA
结合律
（A+B）+C=A+（B+C)，（AB）C=A（BC)
分配律
（A+B）C=AC+BC，A+(BC）=（A+B)(A+C）
差积转换律

对立律
A=Æ，A+=Ω
德·摩根对偶律
,

（四）概率的定义
类 型
定 义 公 式
古典概率
P(A)=
统计概率
P（A） = p （≈)
公理化定义
(基本性质）
对样本空间中任意事件A对应的一个实数P（A），满足
公理1（非负性):0≤P(A)≤1
公理2（规范性）：P（W）＝1， P(Æ)＝0
公理3（可加性）：若A1,A2, …,An，…， 两两互不相容,
P(A1+A2+…+An+…)= P（A1)+ P（A2)+ … + P（An）+ …
则称P（A）为随机事件A的概率。

（五)概率的计算公式
名 称
计算公式
加法公式
P(A+B）=P(A）+P（B)－P（AB)
若A、B互不相容（AB=Æ）：P（A+B)=P(A）+P（B)
对立事件公式
P(A)=1－P(）；P（) =1－P（A）
事件之差公式
P(A－B）= P(A）－P（AB)
若BÌA, P(A－B）= P（A）－P(B)
条件概率公式
, （P(A)>0）
乘法公式
若P（A）>0， P（AB)=P（A）P（B|A）
若P(B）〉0， P（AB）=P（B）P（A｜B)
当P（A1A2…An—1）〉0时，有
P（A1A2…An）=P（A1）P（A2｜A1)P(A3｜A1A2) …P(An|A1A2…An-1）
独立事件公式
A、B相互独立：P（AB）=P（A)P(B）
A1， A2, …, An相互独立：P(A1A2…An)= P（A1)P(A2)…P（An)
全概率公式
若A1, A2， …, An为完备事件组*，对事件B

逆概率公式
（贝叶斯公式）
若A1， A2， …, An为完备事件组*,P(B)>0

*完备事件组
{A1， A2, …, An｝
1. A1, A2， …， An互不相容且P(Ai）〉0（i=1， 2, …, n）；
2。 A1+A2+…+An= W

三、综合例题解析
例1 从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号,问池内大约有多少条鱼？
解：设池内大约有n条鱼，令
A={从池中捉到有记号鱼}
则从池中捉到有记号鱼的概率
P(A)=
由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率fn (A) =，即

解之得n=2500，故池内大约有2500条鱼。
例2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率.
解一：令A=｛总值超过一角},现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件,显然本例属于古典概型问题,可利用组合数来解决.所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。则
=0.5.
解二：本例也可以先计算其对立事件
={总值不超过一角}
考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则
=0。5
或 =0.5
例3 将n个人等可能地分配到N（n≤N）间房中去,试求下列事件的概率：
（1)A={某指定的n间房中各有一人｝；
(2）B={恰有n间房,其中各有一人｝；
（3）C={某指定的房中恰有m（m≤n）个人}。
解:把n个人等可能地分配到N间房中去,由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有Nn种.
（1）对事件A，对指定的n间房，第一个人可分配到该n间房的任一间，有n种分法;第二个人可分配到余下的n－1间房中的任一间,有n－1种分法，以此类推,得到A共含有n！个基本事件，故

(2）对事件B，因为n间房没有指定，所以可先在N间房中任意选出n间房（共有种选法），然后对于选出的某n间房，按照上面的分析，可知B共含有·n！个基本事件，从而

（3）对于事件C，由于m个人可从n个人中任意选出，故有种选法，而其余n－m个人可任意地分配到其余的N－1间房中,共有（N－1）n-m种分配法，故C中共含有·(N－1)n—m个基本事件,因此

注意：可归入上述“分房问题"来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：
（1）生日问题：n个人的生日的可能情形，这时N=365天（n≤365)；
（2）乘客下车问题：一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种可能情形；
(3）印刷错误问题：n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布（n不超过每一页的字符数）；
(4）放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情形。
值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”,什么是“房”,一般不能颠倒.
例4(1994年考研题）设A，B为两事件，且P（A）=p,P(AB）=，求P（B)。
解:由于

现因为P（AB)=，则

又P（A）=p，故
。
注意：事件运算的德·摩根律及对立事件公式的恰当应用。
例5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时,该地区即被淹没。已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0。2和0。3，又当河流甲泛滥时，“引起"河流乙泛滥的概率为0.4,求
(1）当河流乙泛滥时，“引起"河流甲泛滥的概率；
（2）该时期内该地区被淹没的概率。
解：令A=｛河流甲泛滥},B={河流乙泛滥}
由题意知
P(A)=0.2，P（B)=0。3，P（B｜A)=0.4
再由乘法公式
P（AB）=P（A）P(B|A）=0.2×0.4=0.08，
则（1）所求概率为

(2）所求概率为
P（A+B）=P(A）+P（B)－P（AB） =0。2+0.3－0。08=0.42.
例6 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A).
解：由题设可知因为A和B相互独立，则
P(AB) = P(A)P(B)，
再由题设可知
，

又因为
，
即 P（A－B） = P（B－A)，
由事件之差公式得

则有P(A) = P(B）,从而有

故有

即 。
例7（1988年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1,2只残次品的概率相应为0，0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱,而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求
（1)顾客买下该箱的概率α；
(2）在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率β。
解:由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0，1，2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的,这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。
首先令 A={顾客买下所查看一箱｝;
B={售货员取的箱中恰好有i件残次品},i=0，1,2.
显然,B0,B1，B2构成一组完备事件组。且

（1)由全概率公式，有

（2）由逆概率公式，得

注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。
例8．（小概率事件原理）设随机试验中某事件A发生的概率为ε，试证明，不论ε〉0如何小,只要不断独立重复地做此试验，事件A迟早会发生的概率为1。
证：令 Ai=｛第i次试验中事件A发生}， i=1,2，3,…
由题意知，事件A1, A2, …, An， …相互独立且
P（Ai）=e，i=1,2,3,…，
则在n次试验中事件A发生的概率
P（）=1－P()
=1－
当n→+∞， 即为事件A迟早会发生的概率
P（）==1。

四、习题二解答
1．考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”.如果设
i={掷一枚骰子所出现的点数为i ｝， i=1,2,…，6
试用i来表示该试验的基本事件、样本空间Ω和事件A =｛出现奇数点}和事件B={点数至少是4}。
解：基本事件:｛0｝，{1｝，{2}，{3｝，｛4}，{5｝，{6｝。
样本空间Ω=｛ 0，1，2，3，4,5,6｝.
事件A=｛1，3，5｝；B=｛4，5，6}。
2．用事件A、B、C表示下列各事件：
(1）A出现，但B、C不出现;
（2）A、B出现,但C不出现；
（3）三个都出现；
(4)三个中至少有一个出现；
（5)三个中至少有两个出现；
（6）三个都不出现；
（7)只有一个出现;
（8）不多于一个出现;
(9）不多于两个出现。
解：（1） （2） （3）
(4)
或A+B+C或
(5)
（6）或W－（A+B+C)或
（7)
（8）
（9）
或W－ABC或
3．从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同的概率.
解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题.
。
4．在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词,现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率.
解:现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。
。
5．某产品共20件，其中有4件次品。从中任取3件，求下列事件的概率。（1）3件中恰有2件次品；(2）3件中至少有1件次品；(3）3件全是次品；(4）3件全是正品。
解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关,故可用组合数来解决该古典概型问题.
（1）；
（2）
或;
（3）；
(4）。
6．房间里有10个人，分别佩戴着1～10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率.
解：设A={任选三人中最小号码为5}，B={任选三人中最大号码为5}
（1)对事件A,所选的三人只能从5～10中选取，而且5号必定被选中.
;
（2）对事件B,所选的三人只能从1～5中选取，而且5号必定被选中。
.
7．某大学学生中近视眼学生占22％，色盲学生占2%,其中既是近视眼又是色盲的学生占1%.现从该校学生中随机抽查一人,试求：（1)被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率.
解：设 A=｛被抽查者是近视眼},B=｛被抽查者是色盲}；
由题意知，P（A)=0。22，P(B）= 0。02，P(AB）= 0。01，则
（1）利用加法公式，所求概率为
P（A+B)=P(A）+P(B）－P(AB）=0.22+0.02－0.01=0。23；
（2）所求概率为
P（)=P（)=1－P(A+B）=1－0.23 =0.77。
注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和（1)的结果。
8．设P(A)=0。5，P(B）=0。3且P(AB）=0.l。求：(1）P（A+B)；（2）P（+B)。
解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B)－P（AB）=0.5+0.3－0.1=0。7;
（2）P（+B）= P（）+P(B)－P(B)=［1－P(A)]+P(B）－P(B－A）
=1－P（A） +P（B)－[P(B) －P（AB）]= 1－P(A) + P（AB)
=1－0.5+0。1=0。6。
注意:上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。
9．假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过2%，则接收,否则拒收。假设该批药品共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率.
解:设 A={50件抽检药品中不合格品不超过1件｝,
据题意，仅当事件A发生时，该批药品才被接收,故所求概率为
。
10．设A，B为任意两个事件,且P（A）＞0，P(B）＞0.证明：
（1）若A与B互不相容，则A和B不独立；
（2)若 P（B｜A）=P(B|)，则A和B相互独立.
证明：（1）用反证法.假定A和B独立，因为已知A与B互不相容,则
AB=Æ，P(AB)= P（Æ)=0
故 P(A） P(B）= P(AB）=0
但由已知条件P(A)＞0，P(B)＞0得P（A) P（B)〉0,由此导出矛盾，所以若A与B互不相容，则A和B不独立。
（2）由已知P（B|A)=P（B｜），又
，
则
即 P(AB）［1－P(A) ］= P(A）［P(B)－P(AB)］
P（AB)－P(AB)P（A) = P(A)P（B）－P（A)P（AB)
故 P(AB） = P（A)P（B）
这即A和B相互独立.
(2)又证：由已知
P(B｜A)=P（B｜)
即 P（B｜A）［1－P（A） ］= P(B）－P(AB）
P（B|A)－P（B|A)P（A) = P(B）－P(AB)
P(B｜A)－P（AB） = P(B）－P(AB)
P(B|A) = P（B）
这即A和B相互独立。
11．已知P(A)=0。1，P(B)=0.3，P(A ｜ B）=0。2，求：（1）P(AB）；(2）P（A＋B）；(3)P(B｜A)；（4）P（）；（5）P（）。
解：（1）P（AB)= P（B） P（A ｜ B）=0.3×0。2=0.06；
（2)P（A+B）=P(A)+P（B）－P（AB)=0.1+0。3－0。06=0.34；
（3）;
（4）P（）=P(A－B)=P（A)－P（AB）=0。1－0。06=0。04；
（5).
12．某种动物活到12岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0。4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？
解：设A=｛该动物活到12岁},B=｛该动物活到20岁｝；由题意知
P(A)=0.8，P（B)=0.4
显然该动物“活到20岁"一定要先“活到12岁”，即有
BÌA，且AB=B,
则所求概率是条件概率
.
13．甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5,2/3，1/4，求该密码被破译的概率。
解：设 A=｛甲译出该密码},B=｛乙译出该密码｝，C={丙译出该密码}.
由题意知，A，B,C相互独立，而且
P(A）=1/5,P（B）=2/3，P（C)=1/4
则密码被破译的概率为
P(A+B+C）=1－=1－==0.8
或 P(A+B+C)=P（A)+P（B)+ P(C）－P（AB)－P（AC）－P（BC）+P(ABC)
=P（A)+P（B)+ P(C）－P(A） P(B)－P(A) P（C）－P(B） P（C） + P(A) P(B) P（C）
=。
14．有甲乙两批种籽，发芽率分别为0。8和0.7，在两批种籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：（1）两粒种籽都能发芽；（2）至少有一粒种籽能发芽；（3）恰好有一粒种籽能发芽。
解:设 A={甲种籽能发芽｝， B={乙种籽能发芽}
则由题意知，A与B相互独立，且有
P（A）=0。8，P(B)=0.7,
则所求概率为
（1)P(AB）=P（A）P（B)=0。8×0.7=0。56;
(2)P（A+B） =1－P()=1－P（）=1－=1－0。2×0.3=0。96；
（3）P()==0。8×0。3+0。2×0.7=0.38。
15．设甲、乙两城的通讯线路间有n个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为p,试求:（1)甲、乙两城间通讯中断的概率;(2)若已知p=0。005，问在甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0。95?
解：设Ak=｛第k个中继站通讯中断｝, k=1，2,…，n，则A1， A2, …， An相互独立，而且有P(Ak）=p， k=1,2,…，n。
(1）所求概率为
P(A1+ A2+…+ An)=1－P()=1－P(）
=1－=1－1－（1－p)n;
（2)设甲、乙两城间至多只能设n个中继站，由题意,应满足
P()=（1－p）n≥0.95，
即 （1－0.005)n≥0.95
0。995n≥0。95
n≤log0。9950。95=ln0。95/ln0。995=10.233
故n=10，即甲、乙两城间至多只能设10个中继站。
16．在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是0。6，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹,问欲以99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？
解：设至少需要配置n门炮。再设
Ak={第k门炮击中飞机｝， k=1，2，…,n，
则A1, A2， …， An相互独立，而且有
P(Ak）=0.6, k=1,2，…，n.
由题意，应有
P（A1+ A2+…+ An)= 1－P(）=1－
=1－1－0.4 n≥0.99
即 0。4 n≤0。01，
则有
n≥log0.40.01=ln0。01/ln0。4=5。026
故n=6，因此至少需要配置6门炮。
17．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
解：设以A1、A2、A3分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；
以B1、B2、B3分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。
则所求两球颜色相同的概率为
P(A1B1+ A2B2+ A3 B3）= P(A1）P(B1)+ P( A2)P（B2）+ P（A3）P( B3)
。
18．在某地供应的某药品中,甲、乙两厂的药品各占65％、35%，且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90％、80％，现用A1、A2分别表示甲、乙两厂的药品，B表示合格品，试求:P（A1)、P（A2)、P（B｜A1)、P(B｜A2)、P（A1B）和P(B)。
解：由题中已知条件可得
P（A1）=0。65，P（A2）=0.35，P（B|A1）=0.9，P(B｜A2）=0.8，
P(A1B)= P(A1)P(B|A1)= 0。65×0.9=0.585,
P(B)= P(A1）P(B｜A1）+ P（A2）P(B|A2) =0。65×0.9+0。35×0.8=0.865。
19．某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A1，A2，A3的人口比例为9∶7∶4，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求该地甲种疾病的发病率。
解:设以A1、A2、A3表示病人分别来自小区A1、A2、A3,以B表示患甲种疾病。则由题意知
P（A1）=,P（A2)=,P(A3）=,
P（B｜A1）=0。004，P（B|A2）=0。002，P（B|A3)=0.005，
则该地甲种疾病的发病概率为
P(B）= P(A1）P(B｜A1）+ P（A2）P（B|A2）+ P(A3）P(B｜A3）
==3。5‰。
20．若某地成年人中肥胖者(A1）占有10％，中等者（A2）占82％,瘦小者（A3）占8%,又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为20％，10％，5%。（1）求该地成年人患高血压的概率；（2）若知某人患高血压病,他最可能属于哪种体型？
解：设B={该地成年人患高血压｝，则由题意知
P（A1）=0。10，P（A2）=0。82，P(A3）=0。08，
P（B｜A1）=0.20，P（B|A2）=0。10，P（B｜A3)=0.05，
(1）该地成年人患高血压的概率为
P（B）= P（A1)P（B|A1）+ P(A2)P(B｜A2)+ P(A3）P（B|A3）
==0.106；
（2)若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（A1）、中等者（A2)、瘦小者（A3）体型的概率分别为
P(A1｜B）=
P（A2|B)=
P(A3｜B）=
因为 P（A2|B)〉 P(A1|B） 〉P(A3｜B)
故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。
21．三个射手向一敌机射击，射中概率分别为0。4，0.6和0.7。若一人射中，敌机被击落的概率为0.2；若两人射中,敌机被击落的概率为0。6；若三人射中，则敌机必被击落。（1)求敌机被击落的概率;（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
解:设A1、A2、A3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机;B0、B1、B2、B3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C表示敌机被击落。则A1、A2、A3相互独立，且由题意可得
P(A1)=0.4，P(A2）=0.6,P（A3）=0。7
P(B0)= P(）=P（） P（) P()= 0.6×0.4×0.3=0.072
P(B1)= P（）=
=
=0。4×0。4×0.3+0。6×0.6×0.3+0.6×0。4×0.7=0.324
P（B2）= P（)=
=
=0.4×0.6×0.3+0.6×0.6×0.7+0.4×0.4×0.7=0。436
P(B3)= P（)=P(A1） P（A2） P（A3)= 0.4×0。6×0。7=0。168
P（C｜B0)=0,P(C|B1）=0。2，P（C|B2)=0.6,P（C|B3)=1
(1）敌机被击落的概率为
P(C)=P（C|B0)P(B0)+P(C｜B1)P(B1）+P(C|B2)P（B2)+P(C|B3)P(B3)
=0×0。072+0.2×0。324+0。6×0。436+1×0.168=0。4944；
(2）所求概率为
P（B3|C）=。

五、思考与练习
（一）填充题
1．若P（A）=0。3，P(B）=0.6，则
（1）若A和B独立，则P（A+B）= ， P（B－A)= ；
(2）若A和B互不相容，则P（A+B）= ，P(B－A） = ;
(3）若A Ì B,则 P(A+B)= ，P（B－A)= 。
2. 如果A与B相互独立,且P（A)= P(B）= 0。7,则P(）= .
3．在4次独立重复试验中，事件A至少出现1次的概率为，则在每次试验中事件A出现的概率是 。