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圆锥曲线离心率专题训练1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C（0，D（0，2二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）ABCD3椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，OPA=90，则该椭圆的离心率e的范围是（）A，1）B（，1）C，）D（0，）4双曲线的离心率e（1，2），则k的取值范围是（）A（，0）B（3，0）C（12，0）D（60，12）5设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD6已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）ABCD7已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）ABCD8已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（，1）9椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2，4b2，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD10如图，等腰梯形ABCD中，ABCD且AB=2，AD=1，DC=2x（x（0，1）以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （）A2，+）B（，+）C，+）D（，+）11已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）ABCD12已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得F1PF2=60，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD13已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，cR）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）ABCD14已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，b），则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD15已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABC（1，2）D16已知双曲线=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，B（1，）C（2，D（，217椭圆+=1（ab0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=a，且a，则该椭圆离心率的取值范围为（）A，1B，C，1）D，18已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，）B（）C（0，）D（，1）19已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD20双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABCD21点A是抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：（a0，b0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）ABCD22在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）ABCD23椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，B，1）C（0，D，1）24椭圆（ab0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，CD25椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD26设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD27已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，1+）B（1，）C（1，1+）D（1，2）28如图，已知A（2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点若，则双曲线离心率e的取值范围为（）ABCD29已知椭圆（ab0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）ABCD30已知P为椭圆（ab0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，+）参考答案与试题解析1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A，1）B，1）C（0，D（0，解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得|OP|2=+=b2，当且仅当x0=0时取等号椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则cb，c2b2=a2c2，化为，解得又e1，故选B2二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）ABCD解：m2，1，该曲线为双曲线，a=2，b2=m，c=离心率e=m2，1，e故选C3椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，OPA=90，则该椭圆的离心率e的范围是（）A，1）B（，1）C，）D（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（ab0）设P（x，y），OPA=90，点P在以OA为直径的圆上该圆为：，化为x2ax+y2=0联立化为（b2a2）x2+a3xa2b2=0，则，解得，0xa，化为c2b2=a2c2，又1e0解得该椭圆的离心率e的范围是故选：C4双曲线的离心率e（1，2），则k的取值范围是（）A（，0）B（3，0）C（12，0）D（60，12）解：双曲线的离心率e（1，2），双曲线标准方程为：=1k0，1e24，14，12k0，故答案选 C5设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD解：F1（c，0），F2（c，0），c0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1在PF1F2中，由余弦定理得cos120=，解得x12=x12（0，a2，0a2，即4c23a20且e21e=故椭圆离心率的取范围是 e故选A6已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）ABCD解：不防设椭圆方程：（ab0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，由，得：，解得：，而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则把b2=a2c2代入上式整理得：即又因为椭圆离心率e（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是故选B7已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）ABCD解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为若1，即m1，若，即0m1，实数m的取值范围是故选C8已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（，1）解：设椭圆的方程为+=1（ab0），其离心率为e1，双曲线的方程为=1（m0，n0），|F1F2|=2c，有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|=2a2c；同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；由可得a=m+2ce2=（1，2），=1，又e1=，=+2（，3），e1故选C9椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2，4b2，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD解：在第一象限内取点（x，y），设x=acos，y=bsin，（0）则椭圆的内接矩形长为2acos，宽为2bsin，内接矩形面积为2acos2bsin=2absin22ab，由已知得：3b22ab4b2，3b2a4b，平方得：9b24a216b2，9（a2c2）4a216（a2c2），5a29c2且12a216c2，即e故选B10如图，等腰梯形ABCD中，ABCD且AB=2，AD=1，DC=2x（x（0，1）以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （）A2，+）B（，+）C，+）D（，+）解：BD=，a1=，c1=1，a2=，c2=x，e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，e1+e2=+=+，令t=1（0，1），则e1+e2=（t+），t（0，1），e1+e2（，+）e1+e2的取值范围为（，+）故选B11已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）ABCD解：直线l的方程为 ，即bxayab=0由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，0）到直线l的距离 d1=，同理得到点（1，0）到直线l的距离d2=，s=d1+d2=由S，即得a2c2于是得4e425e2+250解不等式，得 由于e10，所以e的取值范围是 e故选A12已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得F1PF2=60，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角F1PF2达到最大值由此可得：存在点P为椭圆上一点，使得F1PF2=60，P0F1F2中，F1P0F260，可得RtP0OF2中，OP0F230，所以P0OOF2，即bc，其中c=a2c23c2，可得a24c2，即椭圆离心率e=，且ac0故选C13已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，cR）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）ABCD解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=12a3b，所以f（x）=（x1）x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+）的零点，故有g（0）0，g（1）0，即2a+3b+10且4a+3b+30，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+）故答案为：A14已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，b），则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为|PA|2=x2+（yb）2=f（y），椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（b，b）单调递减，化为c2b2=a2c2，即2c2a2，又e0离心率的取值范围是故选：C15已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABC（1，2）D解：双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tan=，1tan，即11=3求得2故选B16已知双曲线=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，B（1，）C（2，D（，2解：根据内角平分线的性质可得 =，再由双曲线的定义可得5PF2PF2=2a，PF2=，由于 PF2=ca，c，再由双曲线的离心率大于1可得，1e，故选 A17椭圆+=1（ab0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=a，且a，则该椭圆离心率的取值范围为（）A，1B，C，1）D，解：B和A关于原点对称B也在椭圆上设左焦点为F根据椭圆定义：|AF|+|AF|=2a又|BF|=|AF|AF|+|BF|=2a O是RtABF的斜边中点，|AB|=2c又|AF|=2csin |BF|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a=即e=a，+/4sin（+）1e故选B18已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，）B（）C（0，）D（，1）解：在PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=aex0则a（a+ex0）=c（aex0）解得：x0=由椭圆的几何性质知：x0a则a，整理得e2+2e10，解得：e1或e1，又e（0，1），故椭圆的离心率：e（1，1），故选D19已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，由垂径定理，得2，即，解之得d2，解之得k2直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，b=2且c=，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2=k2，0，可得e2（0，故选：B20双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABCD解：直线l的方程为+=1，即bx+ayab=0由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，0）到直线l的距离 ，同理得到点（1，0）到直线l的距离.，由，得于是得 52e2，即4e425e2+250解不等式，得 e25由于e10，所以e的取值范围是 故选D21点A是抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：（a0，b0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）ABCD解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立；故A（，）点A到抛物线C1的准线的距离为p，+=p；=双曲线C2的离心率e=故选：C22在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）ABCD解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以，在MF1F2中，由余弦定理可知又，由可得：4c2=4a24b22|MF1|MF2|cos所以|MF1|MF2|cos=0所以cb，即c2b2=a2c2，2c2a2，所以e故选B23椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，B，1）C（0，D，1）解：椭圆方程为：+y2=0，b2=1，可得c2=a21，c=椭圆的离心率为e=又椭圆上一点P，使得角F1PF2=，设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（c，0），F2（c，0），可得=（cx0，y0），=（cx0，y0），=+=0P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，=1，代入可得+1=0将c2=a21代入，得a2+2=0，所以=，ax0a，即，解之得1a22椭圆的离心率e=，1）24如果椭圆（ab0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，CD解：设P（x，y），P到原点的距离等于该椭圆的焦距，x2+y2=4c2P在椭圆上，联立得，0x2a2e故选C25椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD解：当点P与短轴的顶点重合时，F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P；当F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，F1F2=F1P，点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰F1F2P，此时ac2c，解得a3c，所以离心率e当e=时，F1F2P是等边三角形，与中的三角形重复，故e同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e时也存在2个满足条件的等腰F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）（，1）26设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）ABCD解：A1（a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（x，y），=（ax，y），（ax）（x）+（y）（y）=0，y2=axx20，0xa代入=1，整理得（b2a2）x2+a3xa2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2a2）x2+a3xa2b2=0，f（0）=a2b20，f（a）=0，如图：=（a3）24（b2a2）（a2b2）=a2（ a44a2b2+4b4 ）=a2（a22c2）20，对称轴满足 0a，即 0a，1，又 01，1，故选 D27已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，1+）B（1，）C（1，1+）D（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得ABE中，|AE|=|BE|，ABE是锐角三角形，即AEB为锐角由此可得RtAF1E中，AEF45，得|AF1|EF1|AF1|=，|EF1|=a+ca+c，即2a2+acc20两边都除以a2，得e2e20，解之得1e2双曲线的离心率e1该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D28如图，已知A（2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点若，则双曲线离心率e的取值范围为（）ABCD解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xO，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记 ，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ，设双曲线的方程为 ，则离心率 ，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 代入双曲线的方程，得 ，由式得 ，将式代入式，整理得 ，故 由题设 得，解得 ，所以，双曲线的离心率的取值范围为故选A29已知椭圆（ab0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）ABCD解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得取A，则B，OBF=AOFOFB，=tan=tanOBF=，解得故选A30已知P为椭圆（ab0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，+）解：当PF1x轴时，由两个点P满足PF1F2为直角三角形；同理当PF2x轴时，由两个点P满足PF1F2为直角三角形使PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，cb，c2b2=a2c2，又e0，解得故选A22