直线与圆的位置关系.pptx

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系 点到直点到直线的距离公式，的距离公式，圆的的标准方程和一般方准方程和一般方程分程分别是什么？是什么？下面我下面我们以太阳的起以太阳的起落落为例例.以以蓝线为水平水平线,圆圈圈为太阳太阳!注意注意观察察!1.1.理解直理解直线与与圆的位置的种的位置的种类.（重点）（重点）2.2.利用平面直角坐利用平面直角坐标系中点到直系中点到直线的距离公式求的距离公式求圆心心到直到直线的距离的距离.（重点、（重点、难点）点）3.3.会用点到直会用点到直线的距离来判断直的距离来判断直线与与圆的位置关系的位置关系.（难点）点）1.1.直直线4x+3y=404x+3y=40和和圆x x2 2+y+y2 2=100=100的位置关系是的位置关系是()A.A.相交相交B.B.相切相切C.C.相离相离D.D.无法确定无法确定【解析【解析】选A.A.因因为 所以直所以直线与与圆相交相交.一、预习检测2.2.若直若直线x+y+m=0 x+y+m=0与与圆x x2 2+y+y2 2=m=m相切，相切，则m m为()A.0A.0或或2 2B.2B.2C.C.D.D.无解无解【解析】【解析】选B.B.由由圆心到直心到直线的距离的距离为半径得半径得 所以所以m=2m=2，故，故选B.B.一、预习检测3.3.已知已知P=(xP=(x，y)|x+y=2y)|x+y=2，Q=(xQ=(x，y)|xy)|x2 2+y+y2 2=2=2，那么那么PQPQ为()A.A.B.(1B.(1，1)1)C.(1C.(1，1)1)D.(-1D.(-1，-1)-1)【解析】【解析】选C.C.解方程解方程组 一、预习检测4.4.直直线x=1x=1与与圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1的位置关系是的位置关系是_._.【解析】【解析】因因为圆心心(-1(-1，0)0)到直到直线x=1x=1的距离的距离d=21d=21，所，所以直以直线x=1x=1与与圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1相离相离.答案：答案：相离相离一、预习检测5.5.直直线与与圆相交，相交，圆的半径的半径为r r，且直，且直线到到圆心的距离心的距离为5 5，则r r与与5 5的大小关系的大小关系为_._.【解析【解析】因因为直直线与与圆相交，所以相交，所以drdr，即，即5r.55r5一、预习检测1.1.直直线和和圆只有一个公共点只有一个公共点,叫做叫做直直线和和圆相切相切.2.2.直直线和和圆有两个公共点有两个公共点,叫做叫做直直线和和圆相交相交.3.3.直直线和和圆没有公共点没有公共点时,叫做叫做直直线和和圆相离相离.1.直直线与与圆的位置关系的位置关系二、知识梳理o圆心心O O到直到直线l的距离的距离d dl半径半径r r1.1.直直线l和和O O相离相离,此此时d d与与r r大小关系大小关系为_drdr提示：提示：lo圆心心O O到直到直线l的距离的距离d d半径半径r r2.2.直直线l和和O O相切相切,此此时d d与与r r大小关系大小关系为_ld=rd=ro圆心心O O到直到直线l的距离的距离d d半径半径r r3.3.直直线l和和O O相交相交,此此时d d与与r r大小关系大小关系为_ldrd rd=rd 0)(r0)二、知识梳理2.2.利用直利用直线与与圆的公共点的个数的公共点的个数进行判断：行判断：直直线与与圆相离相离直直线与与圆相切相切直直线与与圆相交相交n=0n=1n=20二、知识梳理直直线l:x=0:x=0与与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的位置关系是的位置关系是()A.A.相切相切 B.B.相交不相交不过圆心心C.C.相交且相交且过圆心心 D.D.相离相离【即即时训练】C C类型一：直型一：直线与与圆位置关系的判断位置关系的判断【典例【典例1 1】求求实数数k k的取的取值范范围，使直，使直线l：y=kx+2y=kx+2与与圆M M：x x2 2+y+y2 2=1.=1.(1)(1)相离；相离；(2)(2)相切；相切；(3)(3)相交相交.三、例题讲解类型一：直型一：直线与与圆位置关系的判断位置关系的判断【典例【典例1 1】求求实数数k k的取的取值范范围，使直，使直线l：y=kx+2y=kx+2与与圆M M：x x2 2+y+y2 2=1.=1.(1)(1)相离；相离；(2)(2)相切；相切；(3)(3)相交相交.三、例题讲解【解析】【解析】方法一方法一(代数法代数法)：将将y=kx+2y=kx+2代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，得，得(k(k2 2+1)x+1)x2 2+4kx+3=0+4kx+3=0，=(4k)=(4k)2 2-4(k-4(k2 2+1)3=4(k+1)3=4(k2 2-3).-3).(1)(1)当当l与与圆M M相离相离时，00，即，即k k2 2-30.-300，即，即k k2 2-30.-30.即即 方法二方法二(几何法几何法)：圆心心M(0M(0，0)0)到直到直线y-kx-2=0y-kx-2=0的距离的距离d=d=当当d1d1时，即，即 1 k 或或k-k1d1时，即，即 11-k -krdr时，直，直线与与圆相离；当相离；当d=rd=r时，直，直线与与圆相切；当相切；当drdr时，直，直线与与圆相交相交.(2)(2)代数法代数法：把直把直线方程与方程与圆的方程的方程联立成立成方程方程组；利用消元法，得到一元二次方程；利用消元法，得到一元二次方程；求出其求出其的的值，比，比较与与0 0的大小，得出的大小，得出结论.类型二：型二：圆的切的切线问题【典例【典例2 2】求与直求与直线y=x+2y=x+2平行且与平行且与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切相切的直的直线的方程的方程.三、例题讲解【解析】【解析】设直直线的方程的方程为y=x+my=x+m，即，即x-y+m=0.x-y+m=0.(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8的的圆心坐心坐标为(2(2，3)3)，半径，半径为 由由 得得m=5m=5或或m=-3m=-3，所以直所以直线的方程的方程为y=x+5y=x+5或或y=x-3.y=x-3.【延伸探究】【延伸探究】1.(1.(变换条件条件)若将本例中条件若将本例中条件“与直与直线y=x+2y=x+2平行平行”换为“与直与直线y=x+2y=x+2垂垂直直”且且与与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直相切的直线的方程的方程【解析【解析】设所所v v为y=-x+my=-x+m，即，即x+y-m=0 x+y-m=0，由由 得得m=1m=1或或m=9m=9，故切故切线方程方程为y=-x+1y=-x+1或或y=-x+9.y=-x+9.2.(2.(变换条件条件)若将本例中条件若将本例中条件“与直与直线y=x+2y=x+2平行平行”换为“求求过点点P(5P(5，1)”1)”且且与与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直相切的直线的方程的方程？【解析【解析】设所求切所求切线方程方程为y-1=k(x-5)y-1=k(x-5)即即kx-y-5k+1=0.kx-y-5k+1=0.由由 得得k=-62 .k=-62 .故所求切故所求切线方程方程为(-6+2 )x-y+31-10 =0(-6+2 )x-y+31-10 =0或或(-6-2 )x-y+31+10 =0.(-6-2 )x-y+31+10 =0.【变式式练习】D D【规律律总结】圆的切的切线方程的两种求解方法方程的两种求解方法(1)(1)几何法几何法：设出切出切线的方程，利用的方程，利用圆心到直心到直线的距离等的距离等于半径，求出未知量的于半径，求出未知量的值,此种方法需要注意此种方法需要注意斜率不存在斜率不存在的情况的情况，要，要单独独验证，若符合，若符合题意意则直接写出切直接写出切线方程方程.(2)(2)代数法：代数法：设出直出直线的方程后与的方程后与圆的方程的方程联立消元，立消元，利用利用=0=0求未知量的求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，程，则说明要求的两条切明要求的两条切线中有一条直中有一条直线的斜率不存在，的斜率不存在，可直接写出切可直接写出切线的方程的方程.(2)(2)代数法：代数法：设出直出直线的方程后与的方程后与圆的方程的方程联立消元，立消元，利用利用=0=0求未知量的求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，程，则说明要求的两条切明要求的两条切线中有一条直中有一条直线的斜率不存在，的斜率不存在，可直接写出切可直接写出切线的方程的方程.例例3 3 已知已知过点点M M（-3-3，-3-3）的直）的直线l被被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦所截得的弦长为 ，求直，求直线l的方程的方程.解：解：将将圆的方程写成的方程写成标准形式，得准形式，得x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=25,=25,所以，所以，圆心的坐心的坐标是（是（0 0，-2-2）,半径半径长r=5.r=5.如如图，因，因为直直线l被被圆所截得所截得的弦的弦长是是 ，所以弦心距，所以弦心距为即即圆心到所求直心到所求直线l的距离的距离为 .三、例题讲解 因因为直直线l过点点M M（-3-3，-3-3），所以可），所以可设所求直所求直线l的方程的方程为y+3=k(x+3),y+3=k(x+3),即即kx-y+3k-3=0.kx-y+3k-3=0.根据点到直根据点到直线的距离公式，得到的距离公式，得到圆心到直心到直线l的距离的距离 因此，因此，即即 两两边平方，并整理得到平方，并整理得到 2k2k2 2-3k-2=0,-3k-2=0,解得解得k=k=，或，或k=2.k=2.所以，所求直所以，所求直线l有两条，它有两条，它们的方程分的方程分别为y+3=(x+3),y+3=(x+3),或或 y+3=2(x+3).y+3=2(x+3).即即x+2y+9=0,x+2y+9=0,或或 2x-y+3=0.2x-y+3=0.小小结：位置位置关系关系几何特征几何特征方程特征方程特征几何法几何法代数法代数法相交相交有两个公共点有两个公共点方程方程组有两个不同有两个不同实根根drd00相切相切有且只有一公共点有且只有一公共点方程方程组有且只有一有且只有一实根根d=rd=r=0=0相离相离没有公共点没有公共点方程方程组无无实根根drdr001.2.3.直直线与与圆相交，求弦相交，求弦长问题时，我，我们经常抓住常抓住半径半径、半弦半弦、弦心距弦心距构成的构成的直角三角形直角三角形求解求解.注意数形注意数形结合思想、方程思想、运合思想、方程思想、运动变化化观点的点的综合运用。合运用。直直线Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同不同时为零零)和和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,则圆心心(a,b)(a,b)到此直到此直线的距离的距离为drdrdrd d与与r r2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则有以下关系：有以下关系：求求圆心坐心坐标及半径及半径r r（配方法）（配方法）圆心到直心到直线的距离的距离d d（点到直（点到直线距离公式）距离公式）消去消去y y判断直判断直线和和圆的位置关系的位置关系几何方法几何方法代数方法代数方法拓展拓展类型：与弦型：与弦长有关的最有关的最值问题【典例】【典例】(1)(1)已知已知圆C C：(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=25=25，直，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).证明不明不论m m取什么取什么实数，直数，直线l与与圆恒交于两点恒交于两点.求直求直线被被圆C C截得的弦截得的弦长最短最短时l的方程的方程.(2)(2)已知直已知直线l：kx-y-3k=0kx-y-3k=0；圆M M：x x2 2+y+y2 2-8x-2y+9=0.-8x-2y+9=0.求求证：直：直线l与与圆M M必相交；必相交；当当圆M M截截l所得弦最所得弦最长时，求，求k k的的值.当当圆M M截截l所得弦最短所得弦最短时，求，求k k的的值.1.1.若直若直线x-y+a=0 x-y+a=0与与圆x x2 2+y+y2 2=a=a相切相切,则a a等于等于()A.2A.2或或0 0B.B.C.2C.2D.4D.4C C2.(20152.(2015武威高一武威高一检测)直直线y=x+1y=x+1与与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的的位置关系是位置关系是()A.A.相切相切 B.B.相交但直相交但直线不不过圆心心C.C.直直线过圆心心 D.D.相离相离B BD DC C5.5.已知已知圆的方程的方程为x x2 2+y+y2 2=4,=4,则经过点点(2,0)(2,0)的的圆的切的切线方程是方程是 .【解析解析】显然点然点(2,0)(2,0)在在圆上上,可求得可求得过此点的此点的圆的切的切线方程方程为x=2,x=2,即即x-2=0.x-2=0.x-2=0 x-2=0【补偿训练】过点点A(4A(4，-3)-3)，作，作圆C C：(x-3)(x-3)2 2+(y+(y-1)-1)2 2=1=1的切的切线，求此切，求此切线的方程的方程.【解析】【解析】因因为(4-3)(4-3)2 2+(-3-1)+(-3-1)2 2=171=171，所以点所以点A A在在圆外外.(1)(1)若所求切若所求切线的斜率存在，的斜率存在，设切切线斜率斜率为k k，则切切线方程方程为y+3=k(x-4).y+3=k(x-4).因因为圆心心C(3C(3，1)1)到切到切线的距离等于半径，半径的距离等于半径，半径为1 1，所以所以 即即|k+4|=|k+4|=所以所以k k2 2+8k+16=k+8k+16=k2 2+1.+1.解得解得k=-.k=-.所以切所以切线方程方程为y+3=-(x-4).y+3=-(x-4).即即15x+8y-36=0.15x+8y-36=0.(2)(2)若直若直线斜率不存在，斜率不存在，圆心心C(3C(3，1)1)到直到直线x=4x=4的距离也的距离也为1 1，这时直直线与与圆也相切，所以另一条切也相切，所以另一条切线方程是方程是x=4.x=4.综上，所求切上，所求切线方程是方程是15x+8y-36=015x+8y-36=0或或x=4.x=4.不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。