四边形证明题及综合题.doc

(完整word)四边形证明题及综合题四边形证明题及综合题1、已知:如图,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，BAE =DAF（1)求证:BE = DF;（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M,使OM = OA，联结EM、FM求证：四边形AEMF是菱形 2、如图8，已知梯形中,， 、分别是、的中点,点在边上，且(1）求证:四边形是平行四边形；（2）联结,若平分，求证:四边形是矩形 3、如图,在等腰梯形ABCD中，C=60，ADBC，且AD=AB=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。（1)求证：AF=BE；（2）请猜测BPF的度数，并证明你的结论。 4、如图,在矩形ABCD中,BMAC，DNAC，M、N是垂足.（1）求证：AN=CM； (2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积。 5。如图.在平行四边形中，为对角线的交点,点为线段延长线上的一点，且.过点作，交于点，联结.(1）求证：；(2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，并给出证明。 6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G,DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点 求证：(1）BM/GH； （2）BMCF 7已知：如图，AEBF，AC平分BAD，交BF于点C，BD平分ABC,交AE于点D，联结CD。求证：四边形ABCD是菱形 8如图,在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点,点是的中点。求证:(1） (2) 9已知:如图，在梯形ABCD中,AD/BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD求证：四边形AEFD是矩形 10如图，在ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG/DB交CB的延长线于点G（1）求证:DEBF；（2）若G，求证：四边形DEBF是菱形 11已知：如图,在梯形ABCD中，AD/BC,BC=2AD，ACAB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F求证：四边形AFCD是菱形 12（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD / BC,点E、F在边BC上，DE / AB，AF / CD，且四边形AEFD是平行四边形（1)试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）现有三个论断：AD = AB;B +C= 90；B = 2C请从上述三个论断中选择一个论断作为条件,证明四边形AEFD是菱形 13已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3,CD=2,点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .（1）写出图中的全等三角形。 设CP=，AM=,写出与的函数关系式;（2）试判断BMP是否可能等于90. 如果可能，请求出此时CP的长;如果不可能，请说明理由。 14、已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作 PEPB ，PE交射线DC于点E,过点E作EFAC,垂足为点F. (1）当点E落在线段CD上时（如图10）， 求证：PB=PE； 在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值,若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述(1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明)；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角形?如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由 15、如图,直线与轴相交于点，与直线相交于点.(1） 求点的坐标。(2) 请判断的形状并说明理由。(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动(不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时,矩形与重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式。 16已知：如图，梯形中,，是直线上一点,联结，过点作交直线于点联结（1）若点是线段上一点（与点、不重合）,(如图1所示）求证：设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域（2)直线上是否存在一点,使是面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在,请说明理由 17已知： O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO,OFOE交BA延长线于点F，联结EF（如图4)。（1） 求证：EO=FO；（2） 若正方形的边长为2， OE=2OA，求BE的长；（3） 当OE=2OA时，将FOE绕点O逆时针旋转到F1OE1,使得BOE1=时,试猜想并证明AOE1是什么三角形. 18（本题满分10分，第(1）小题3分，第(2）小题4分，第（3）小题3分） 如图，在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EACF，垂足为H，AE与CD相交于点G（1)求证:AG=CF;(2)当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE;（3)如果正方形ABCD的边长为2,当EF=EC时（如图2),求DG的长 答案1证明：（1）正方形ABCD，AB=AD，B =D=90(2分）BAE = DAFABEADF（1分）BE = DF（2分）(2）正方形ABCD，BAC =DAC (1分） BAE =DAF EAO =FAO（1分)ABEADF AE = AF （1分）EO=FO ，AOEF（2分)OM = OA 四边形AEMF是平行四边形（1分）AOEF 四边形AEMF是菱形（1分）2（1)证明：联结EG， 梯形中，且、分别是、的中点， EG/BC,且，（2分)又 EG=BF（1分） 四边形是平行四边形（2分）(2）证明:设AF与EG交于点O, EG/AD，DAG=AGE平分，DAG=GAO GAO=AGE AO=GO（2分) 四边形是平行四边形， AF=EG,四边形是矩形(2分）3证明：（1）梯形ABCD是等腰梯形，ADBC BAE=ADF （1分） AD= DC AE=DF（1分）BA=AD BAEADF， （1分)BE=AF （1分）（2)猜想BPF=120（1分)由（1）知BAEADF,ABE=DAF （1分）BPF=ABE+BAP=BAE(1分）而ADBC,C=ABC=60，=120BPF=BAE =120（1分）4、证：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC.DAC=BCA.又DNAC,BMAC，DNA=BMC。DANBCM， -（3分） AN=CM. -（1分) （2)联结BD交AC于点O， AN = NM=2，AC = BD =6，又四边形ABCD是矩形,AO=DO=3,在ODN中，OD=3,ON=1，OND=,DN=,-（2分)矩形ABCD的面积=。-（1分)5。解：（1）方法1：延长交于(如图1）。1分在平行四边形中,，。，四边形是平行四边形. .1分又,， 。1分，.在和中，（A。A.S). .1分四边形是平行四边形，。. 1分方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. 1分四边形是平行四边形，. 1分。,。，。在和中，,，（A.S。A). 1分.又，四边形是平行四边形. 1分. 1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2)如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形。 1分，四边形是平行四边形.。1分又梯形是等腰梯形，.。（备注：使用方法2的同学也可能由找到解题方法;使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法).四边形是平行四边形,，.。1分平行四边形是矩形. 1分6证明:（1)在正方形ABCD中,AD/BC,A=HBE，ADE=H,(1分）AE=BE，ADEBHE（1分）BH=AD=BC（1分）CM=GM，BM/GH(1分） （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90,又DF=AD，AE=AB，AE=DFAEDDFC(1分）ADE=DCF（1分)ADE+GDC=90，DCF+GDC=90DGC=90（1分）BM/GH，BMG=DGC=90，即BMCF(1分)7、证明：AC平分BAD， BAC=CAD。又 AEBF, BCA=CAD. -1分 BAC=BCA。 AB=BC。 -1分 同理可证AB=AD。 AD=BC. -1分又 ADBC， 四边形ABCD是平行四边形. -1分又AB=BC,ABCD是菱形. -1分8。 证明:(1）正方形 1是的中点 11 1是的中点 1(2）证 1 1 19证法一: 在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD 四边形AEFD是平行四边形（1分） AD/DF，AEF=DFC(1分）AB=CD，B=C(1分）又BE=CF,ABEDCF（1分）AEB=DFC,（1分）AEB=AEF（1分）AEB+AEF=180，AEF=90（1分）四边形AEFD是矩形（1分） 证法二: 联结AF、DE（1分)在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD， 四边形AEFD是平行四边形（1分）AB=CD,B=C(1分）BE=CF,BE+EF=CF+EF，即BF=CE,（1分)ABFDCE（1分）AF=DE，(2分）四边形AEFD是矩形（1分）10、证明：(1）ABCD ,ABCD，ABCD-1分E、F分别为AB、CD的中点，DF2(1)DC，BE2(1)AB DFBE，DFBE-1分四边形DEBF为平行四边形DEBF-1分(2)证明：AGBD,GDBC90，DBC为直角三角形-1分又F为边CD的中点BF2(1)DCDF-1分又四边形DEBF为平行四边形，四边形DEBF是菱形-1分11证明:在梯形ABCD中，AD/BC，DAE=FAE,ADE=CFE（1分）又AE=EC，ADECFE(1分)AD=FC，（1分）四边形AFCD是平行四边形（1分）BC=2AD,FC=AD=BC（1分）ACAB，AF=BC（1分）AF=FC，（1分）四边形AFCD是菱形(1分）12（1)解：线段AD与BC的长度之间的数量为：（1分）证明: AD / BC，DE / AB， 四边形ABED是平行四边形 AD = BE（2分）同理可证，四边形AFCD是平行四边形即得 AD = FC(1分）又 四边形AEFD是平行四边形， AD = EF（1分） AD = BE = EF = FC (1分）（2）解：选择论断作为条件（1分）证明: DE / AB， B =DEC（1分） B +C = 90, DEC +C = 90即得 EDC = 90(2分)又 EF = FC， DF = EF（1分） 四边形AEFD是平行四边形， 四边形AEFD是菱形（1分) 13（1） MBNMPN 1MBNMPNMB=MP， 矩形ABCDAD=CD (矩形的对边相等)A=D=90（矩形四个内角都是直角） 1AD=3， CD=2， CP=x， AM=yDP=2x, MD=3-y 1RtABM中, 同理 1 1 1(3） 1当时,可证 1 AM=CP，AB=DM 1 1当CM=1时，14(1） 证：过P作MNAB，交AB于点M，交CD于点N正方形ABCD, PM=AM，MN=AB ，从而 MB=PN （2分) PMBPNE，从而 PB=PE (2分） 解：PF的长度不会发生变化，设O为AC中点,联结PO，正方形ABCD， BOAC，（1分)从而PBO=EPF，(1分) POBPEF， 从而 PF=BO （2分）（2)图略，上述（1）中的结论仍然成立；（1分）（1分）（3）当点E落在线段CD上时，PEC是钝角，从而要使PEC为等腰三角形，只能EP=EC，(1分） 这时,PF=FC, ，点P与点A重合,与已知不符.(1分）当点E落在线段DC的延长线上时，PCE是钝角，从而要使PEC为等腰三角形，只能CP=CE，（1分) 设AP=x,则，又 ,，解得x=1. (1分)综上，AP=1时，PEC为等腰三角形15.解:（1) 解得： 1 点P的坐标为(2,） 1 （2)当时, 点A的坐标为(4，0） 1 1 是等边三角形 1（3）当04时， 1 1当48时， 1116（1）证明：在上截取，联结.。 又A90,AAGEAEG180。AGE45.BGE135. CD180.又C45。 D135。BGED. 1分，。 . 1分. BEF90.又AABEAEB180，AEBBEFDEF180，A90.ABEDEF. 1分BGEEDF。 1分。 (1）关于的函数解析式为:。1分此函数的定义域为：。1分(2)存在.1分 当点在线段上时，(负值舍去）。 1分当点在线段延长线上时，(负值舍去）. 1分当点在线段延长线上时，. 1分 的长为、或。17、(1)证明：ABCD是正方形，对角线交于点O,AO=BO,ACBD,-1分 OAB=OBA，OAF=OBE,-1分ACBD，OFOE，AOF=BOE，-1分AOFBOE，EO=FO。-1分（2）解：ABCD是正方形，边长为2，AO=,OE=2OA= OFOE,EO=FO，EF=4，-1分 AOFBOE，AF=BE，-1分 设AF=BE=x， 在RtEFB中,，即 解得，x0，即BE=-2分(3)AOE1是直角三角形。-1分证明:取OE中点M，则OM=EM=,-1分OE=2OA，OA=，OA=OMEOB=，ACBD，AOE=，OAM是等边三角形，-1分AM=OM=EM，MAE=MEA，MAO=MOA，MAE+MEA+MAO+MOA=,2MEA+2MOA=，MEA+MOA=，-1分即AOE1为直角三角形. 18(1）证明：在正方形ABCD中,AD=CD，ADC=CDF=90， AECF，AGD=90GAD=CFD,（1 分)ADGCDF,（1 分）AG=CF（1 分)（2）证明：过点F作FMCE，垂足为M，（1 分）ECG=ADG=90，CGE=DGA，CG=DG，ECGACD，（1 分)CE=AD=CDFM/CD，CM=DF=DG=CD=CE,（1 分)FC=FE（1 分)(3）解：联结GF，EF=EC,EHCF,GF=CG(1 分）设DF= DG=,则GF=CG=2，, （1 分）(负值舍去)，DF=(1 分）