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四边形证明题及综合题
1、已知:如图,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE =∠DAF．
（1)求证:BE = DF;
（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M,使OM = OA，联结EM、FM．
求证：四边形AEMF是菱形．

2、如图8，已知梯形中,， 、分别是、的中点,点在
边上，且．
(1）求证:四边形是平行四边形；
（2）联结,若平分，
求证:四边形是矩形．

3、如图,在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。
（1)求证：AF=BE；
（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。

4、如图,在矩形ABCD中,BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.
（1）求证：AN=CM；
(2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积。

5。如图.在平行四边形中，为对角线的交点,点为线段延长线上的一点，且.过点作∥，交于点，联结.
(1）求证：∥；
(2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，
并给出证明。

6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G,DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．
求证：(1）BM//GH；
（2）BM⊥CF．

7．已知：如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC,交AE于点D，联结CD。求证：四边形ABCD是菱形．

8．如图,在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点,点是的中点。
求证:(1） (2)

9．已知:如图，在梯形ABCD中,AD//BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．
求证：四边形AEFD是矩形．

10．如图，在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．
（1）求证:DE∥BF；
（2）若∠G＝，求证：四边形DEBF是菱形．

11．已知：如图,在梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．
求证：四边形AFCD是菱形．

12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC,点E、F在边BC上，DE // AB，AF // CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1)试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①AD = AB;②∠B +∠C
= 90°；③∠B = 2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件,证明四边形AEFD是菱形．

13．已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3,CD=2,点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .
（1）写出图中的全等三角形。 设CP=，AM=,写出与的函数关系式;
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP的长;如果不可能，请说明理由。

14、已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），
过点P作 PE⊥PB ，PE交射线DC于点E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F.
(1）当点E落在线段CD上时（如图10），
① 求证：PB=PE；
② 在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值,
若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述(1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明)；
（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形?如果能，试求出AP的长，如果
不能，试说明理由．

15、如图,直线与轴相交于点，与直线相交于点.
(1） 求点的坐标。
(2) 请判断△的形状并说明理由。
(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动(不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时,矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式。

16．已知：如图，梯形中,∥，，，．是直线上一点,联结，过点作交直线于点．联结．
（1）若点是线段上一点（与点、不重合）,(如图1所示）
①求证：．
②设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2)直线上是否存在一点,使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在,请说明理由．

17．已知： O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO,OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4)。
（1） 求证：EO=FO；
（2） 若正方形的边长为2， OE=2OA，求BE的长；
（3 当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1,使得∠BOE1=时,试猜想并证明△AOE1是什么三角形.

18．（本题满分10分，第(1）小题3分，第(2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，
AE与CD相交于点G．
（1)求证:AG=CF;
(2)当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE;
（3)如果正方形ABCD的边长为2,当EF=EC时（如图2),求DG的长．

答案
1．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B =∠D=90°…………………………(2分）
∵∠BAE = ∠DAF
∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）
∴BE = DF……………………………………………………………………（2分）
(2）∵正方形ABCD，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………(1分）
∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO……………………………………（1分)
∵△ABE≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）

∴EO=FO ，AO⊥EF…………………………………………………………（2分)
∵OM = OA ∴ 四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）
∵AO⊥EF ∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）
2．（1)证明：联结EG，
∵ 梯形中，，且、分别是、的中点，
∴ EG//BC,且，…………………………（2分)
又∵
∴ EG=BF．……………………………………………………（1分）
∴ 四边形是平行四边形．…………………（2分）
(2）证明:设AF与EG交于点O,
∵ EG//AD，∴∠DAG=∠AGE
∵平分，∴∠DAG=∠GAO
∴∠GAO=∠AGE
∴ AO=GO．………………………………（2分)
∵四边形是平行四边形，
∴ AF=EG,四边形是矩形…………………………(2分）
3．证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC
∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）
∵AD= DC ∴ AE=DF…………………………………………（1分）
∵BA=AD ∴△BAE≌△ADF， …………………………………（1分)
∴BE=AF． …………………………………………………………（1分）
（2)猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分)
∵由（1）知△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分）
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………(1分）
而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°，∴=120°．
∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）
4、证：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵DN⊥AC,BM⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC。
∴⊿DAN≌⊿BCM， —-——-—--—--—--—----——--————---——-—------——---————（3分）
∴AN=CM. ———-—--—————-—————-—-————-—--———-—--—-—-------——————————--————-（1分)
（2)联结BD交AC于点O，
∵AN = NM=2，
∴AC = BD =6，
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=DO=3,
在⊿ODN中，OD=3,ON=1，∠OND=,
∴DN=,—-—-———-———————-——-—---—-—-——---—--—-—（2分)
∴矩形ABCD的面积=。——---—-——---—-—————--——（1分)
5。解：（1）方法1：延长交于(如图1）。……………1分
在平行四边形中,∥，。
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形.
∴ .……………1分
又∵,，
∴ 。……………1分
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A。A.S). ∴.…………………1分
∵四边形是平行四边形，∴。
∴∥. ………………1分
方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. ………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥. …………1分
∴。
∵∥,∴。
∵，，
∴。
在和中，
∵，,，
∴≌（A.S。A). …………………1分
∴.
又∵∥，
∴四边形是平行四边形. …………………1分
∴∥. …………………1分
其他方法，请参照上述标准酌情评分.
（2)如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形。 ……………1分
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.
∴。……………1分
又∵梯形是等腰梯形，∴.
∴。
（备注：使用方法2的同学也可能由≌找到解题方法;使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法).
∵四边形是平行四边形,∴，.
∴。……………1分
∴平行四边形是矩形. ……………1分
6．证明:（1)∵在正方形ABCD中,AD//BC,∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H,…(1分）
∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………………………………………（1分）
∴BH=AD=BC．…………………………………………………………（1分）
∵CM=GM，∴BM//GH．………………………………………………(1分）
（2）∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90º,
又∵DF=AD，AE=AB，∴AE=DF．∴△AED≌△DFC．………(1分）
∴∠ADE=∠DCF．………………………………………………………（1分)
∵∠ADE+∠GDC=90º，∴∠DCF+∠GDC=90º．∴∠DGC=90º．…（1分）
∵BM//GH，∴∠BMG=∠DGC=90º，即BM⊥CF．…………………(1分)
7、证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD。
又 ∵AE∥BF, ∴∠BCA=∠CAD. -------——--——-———-————-——-1分
∴∠BAC=∠BCA。
∴ AB=BC。 —--—-——---—-—-————--1分
同理可证AB=AD。
∴ AD=BC. --—--——-—-—-——--—----—1分
又 AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形. --———1分
又AB=BC,∴□ABCD是菱形. -----1分
8。 证明:(1）∵正方形
∴ …………1′
∵是的中点 ∴ …………1′
∵
∴…………1′
∴ ∴…………1′
∵是的中点 ∴…………1′
(2）证 …………1′ ∴
∵ ∴ ………1′
∵ ∴
∴ …………1′
9．证法一: ∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∴AD//DF，∴∠AEF=∠DFC．………………………………………(1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………(1分）
又∵BE=CF,∴△ABE≌△DCF．……………………………………（1分）
∴∠AEB=∠DFC,……………………………………………………（1分）
∴∠AEB=∠AEF．………………………………………………………（1分）
∵∠AEB+∠AEF=180º，∴∠AEF=90º．……………………………（1分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）

证法二: 联结AF、DE．…………………………………………………………（1分)
∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∵AB=CD,∴∠B=∠C．………………………………………………(1分）
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE,…………………………（1分)
∴△ABF≌△DCE．……………………………………………………（1分）
∴AF=DE，………………………………………………………………(2分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
10、证明：(1）∵□ABCD ,∴AB∥CD，AB＝CD-—-—-—-—-—-----—--———-————-—-———---1分
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF＝2(1)DC，BE＝2(1)AB
∴DF∥BE，DF＝BE-—-—--—-—-———-—---—-—---—--—-——-———---—--—-——--———-—-——————-——----———1分
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF—————---—----——-—-—---—--—-————-—----—-—--————-——--—---—-—--———--——-——----—--—-—1分
(2)证明：∵AG∥BD,∴∠G＝∠DBC＝90°，∴DBC为直角三角形—-—1分
又∵F为边CD的中点．∴BF＝2(1)DC＝DF-———-—-—-—---—--—-—-——-———-————---—--—-——-1分
又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形-—--——-——-——--—-----—-1分
11．证明:∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠FAE,∠ADE=∠CFE．……（1分）
又∵AE=EC，∴△ADE≌△CFE．…………………………………………(1分)
∴AD=FC，…………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是平行四边形．……………………………………………（1分）
∵BC=2AD,∴FC=AD=BC．……………………………………………（1分）
∵AC⊥AB，∴AF=BC．…………………………………………………（1分）
∴AF=FC，……………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是菱形．……………………………………………………(1分）
12．（1)解：线段AD与BC的长度之间的数量为：．…………………（1分）
证明:∵ AD // BC，DE // AB，∴ 四边形ABED是平行四边形．
∴ AD = BE．………………………………………………………（2分）
同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得 AD = FC．……(1分）
又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD = EF．……………（1分）
∴ AD = BE = EF = FC．
∴ ．……………………………………………………(1分）
（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）
证明:∵ DE // AB，∴ ∠B =∠DEC．…………………………………（1分）
∵ ∠B +∠C = 90°,∴ ∠DEC +∠C = 90°．
即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………(2分)
又∵ EF = FC，∴ DF = EF．……………………………………（1分）
∵ 四边形AEFD是平行四边形，
∴ 四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分)

13．（1） ⊿MBN≌⊿MPN ………………………………1
∵⊿MBN≌⊿MPN
∴MB=MP，
∴
∵矩形ABCD
∴AD=CD (矩形的对边相等)
∴∠A=∠D=90°（矩形四个内角都是直角） ………………………………1
∵AD=3， CD=2， CP=x， AM=y
∴DP=2—x, MD=3-y ………………………………1
Rt⊿ABM中,

同理 ………………………………1
………………………………1
∴ ………………………………1
(3） ………………………………1
当时,
可证 ………………………………1
∴ AM=CP，AB=DM
∴ ………………………………1
∴ ………………………………1
∴当CM=1时，
14．(1）① 证：过P作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N
∵正方形ABCD,∴ PM=AM，MN=AB ，
从而 MB=PN ………………………………（2分)
∴ △PMB≌△PNE，从而 PB=PE …………(2分）
② 解：PF的长度不会发生变化，
设O为AC中点,联结PO，
∵正方形ABCD， ∴ BO⊥AC，…………（1分)
从而∠PBO=∠EPF，……………………(1分)
∴ △POB≌△PEF， 从而 PF=BO …………（2分）
（2)图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分）

（3）当点E落在线段CD上时，∠PEC是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能EP=EC，…………(1分）
这时,PF=FC,∴ ，点P与点A重合,与已知不符.……(1分）
当点E落在线段DC的延长线上时，∠PCE是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能CP=CE，…………（1分)
设AP=x,则，，
又 ,∴，解得x=1. …………(1分)
综上，AP=1时，⊿PEC为等腰三角形
15.解:（1) 解得： ………………………1′
∴ 点P的坐标为(2,） ………………………1′
（2)当时, ∴点A的坐标为(4，0 ………………………1′
∵ ……………1′
∴
∴是等边三角形 ………………………1′
（3）当0＜≤4时， ………………………1′
………………………1′
当4＜＜8时， ………………………1′
………………………1′
16．（1）①
证明：在上截取，联结.
∴。
又∵∠A＝90°,∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°。
∴∠AGE＝45°.
∴∠BGE＝135°.
∵∥.
∴∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝45°。
∴∠D＝135°。
∴∠BGE＝∠D. ……………………………………………………………1分
∵，。
∴. …………………………………………………………………1分
∵.
∴∠BEF＝90°.
又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∠A＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF. ……………………………………………………………1分
∴△BGE≌△EDF。 ……………………………………………………………1分
∴。
(1）②
关于的函数解析式为:。………………………………1分
此函数的定义域为：。………………………………………………1分
(2)存在.…………………………………………………………………………1分
Ⅰ当点在线段上时，(负值舍去）。 ………………1分
Ⅱ当点在线段延长线上时，(负值舍去）. ………………1分
Ⅲ当点在线段延长线上时，. ………………………………1分
∴的长为、或。
17、(1)证明：∵ABCD是正方形，对角线交于点O,
∴AO=BO,AC⊥BD,—-——--—----—----——-——-——--——---——-—————-——-----——--—————--1分
∴ ∠OAB=∠OBA，∴∠OAF=∠OBE,-—-——--—-—----——---——-———-————-———--—-1分
∵AC⊥BD，OF⊥OE，∴∠AOF==∠BOE，--—-——--———-1分
∴△AOF≌△BOE，
∴EO=FO。—--———-----—-——----———--—--————-———--——————-—-————-———--—--—--——---—-———-—-—1分
（2）解：∵ABCD是正方形，边长为2，∴AO=,∴OE=2OA=
∵OF⊥OE,EO=FO，∴EF=4，—--——--——--—-————————--—-—---——-————————-—--—————-1分
∵△AOF≌△BOE，∴AF=BE，—-——--—————————-——--———-——---—--———--——-—-———--——-1分
设AF=BE=x， 在Rt△EFB中,，即
解得，∵x＞0，∴，即BE=---—-—-—-------2分
(3)△AOE1是直角三角形。———--——-—--——--—————---—----—————————---—-———-—-—--——----———-1分
证明:取OE中点M，则OM=EM=,—---—--———————--—--—----————-—-——-—--—————-—-1分
∵OE=2OA，∴OA=，∴OA=OM
∵∠EOB=，∵AC⊥BD，∴∠AOE=，∴△OAM是等边三角形，——-—-----—1分
∴AM=OM=EM，∴∠MAE=∠MEA，∴∠MAO=∠MOA，
∵∠MAE+∠MEA+∠MAO+∠MOA=,∴2∠MEA+2∠MOA=，
∴∠MEA+∠MOA=，———--———--—-—-——----——-—---—--———--————-—---—-—-——————---—-————-——--1分
即△AOE1为直角三角形.

18．(1）证明：∵在正方形ABCD中,AD=CD，∠ADC=∠CDF=90º，
∵AE⊥CF，∴∠AGD=90º–∠GAD=∠CFD,………………………（1 分)
∴△ADG≌△CDF,…………………………………………………（1 分）
∴AG=CF．……………………………………………………………（1 分)
（2）证明：过点F作FM⊥CE，垂足为M，……………………………………（1 分）
∵∠ECG=∠ADG=90º，∠CGE=∠DGA，CG=DG，∴△ECG≌△ACD，…（1 分)
∴CE=AD=CD．∵FM//CD，∴CM=DF=DG=CD=CE,………（1 分)
∴FC=FE．………………………………………………………………（1 分)
(3）解：联结GF，∵EF=EC,EH⊥CF,GF=CG．……………………………………(1 分）
设DF= DG=,则GF=CG=2–，
∵，∴, …………………………（1 分）
∴(负值舍去)，∴DF=．…………………………(1 分）