《平面向量》测试题及答案.doc

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《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k） B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ）
A. B. C.- D.-
4.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（ ）
A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（ ）
A.10 B.-10 C.10 D.10
6．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B. C. D.
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b与b垂直，则x的值为（ ）
A. B. C.2 D.-
8.设点P分有向线段的比是λ，且点P在有向线段的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-)
9.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（ ）
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（ ）
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
16.在菱形ABCD中，（+）·（-）= 。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。

18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。

20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和。

21. 已知 ,的夹角为60o, , ,当当实数为何值时，⑴∥ ⑵

22.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。

文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1．(全国Ⅰ)设非零向量a、b、c、满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)
A．150 B．120° C．60° D．30°
2．(四川高考)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于(　　)
A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)
3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
4．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B. C. D.
5．(启东)已知向量p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax＝2}，则实数a构成的集合是(　　)
A．{0} B．{} C．∅ D．{0，}
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A. B．1＋ C. D．2＋
7．(银川模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)
A．2a km B．a km C.a km D.a km
8．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是(　　)
A. B. C. D.
10．已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，设＝λ，则λ的值为(　　)
A．1　　　B.　　C．2　　　D.
二、填空题
11．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λ a＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ________.
12．(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则＝________.
13．已知向量a＝(tanα，1)，b＝(，1)，α∈(0，π)，且a∥b，则α的值为________．
14．(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
15．(江苏高考)满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
三、解答题
16．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

17．如图，已知A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，求点D的坐标．

18．(厦门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．

19．(南充模拟)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状．

20．(福建高考)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．

21．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.
(1)若a＝3，b＝4，求|＋|的值；
(2)若C＝，△ABC的面积是，求·＋·＋·的值．

《平面向量》测试题
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
==a,…… =+= b+a,……
=-= b+a-a= b-a,……
=+=++= b-a,……
=-=a-b。……
18．【解析】　(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．
又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为＝＝－.
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
∴，解得.
19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=。
同理得|b|=。又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-，
∴ cosθ===-,∴θ=120°.
20.[解] 如图8，设B(x,y),

则=(x,y), =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴⊥，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。①
设OA的中点为C，则C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形，∴⊥，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②
解得①、②得或
∴B(1,3)或B(3,-1)，从而=(-3,1)或=（-1,-3）
21. ⑴若∥ 得 ⑵若得
22.[解] 如图10，

==。
∵M分的比为3，∴=，则由题设条件得
=，∴ =，∴=2。
由定比分点公式得
∴N(4,-)。

文科数学 [平面向量]单元练习题
答案
一、选择题
1．B　【解析】　∵(a＋b)2＝c2，∴a·b＝－，
cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.故选B.
2．A　【解析】　a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
3．B　【解析】　＝＋＝a＋
＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
4．D　【解析】　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，
∴2(y＋2)＝－3(x＋1),3x－y＝0.
∴x＝－，y＝－，故选D.
5．D　【解析】　∵p⊥q，∴2x－3(x－1)＝0，
即x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}⊆A，
∴{x|ax＝2}＝∅或{x|ax＝2}＝{3}，
∴a＝0或a＝，
∴实数a构成的集合为{0，}．
6．B　【解析】　由ac sin 30°＝得ac＝6，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac－2accos30°，
即b2＝4＋2，
∴b＝＋1.
7．C　【解析】　如图，△ABC中，
AC＝BC＝a，∠ACB＝120°.
由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，
∴AB＝a.
8．B　【解析】　∵·＋·＋·
＝·(＋)＋·＝·，
∴2－·＝·(＋)＝·＝0，
∴∠B＝，∴△ABC为直角三角形．
9．D　【解析】　设底边长为a，则腰长为2a，
∴cos A＝＝⇒sin A＝.
∴tan A＝，故选D.
10．C　【解析】　∵＋＋＝0，
即－＋＝0，即＋＝0，
故四边形PCAB是平行四边形，∴＝2.
二、填空题
11．【解析】　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λ a＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λ a＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.
【答案】　2
12．【解析】　由题意知a·b＝|a||b|cos120°
＝－|a||b|.
又∵c⊥a，∴(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0，
即|a|2＝－a·b＝|a||b|，∴＝.
【答案】　
13．【解析】　∵a∥b，∴tanα－＝0，即tanα＝，
又α∈(0，π)，∴α＝.
【答案】　
14.【解析】　如图，由题意可得OA=50，OB=30.
而AB2=OA2+OB2-2OA·OB cos120°
=502+302-2×50×30×(-)
=2 500+900+1 500=4 900，∴AB=70.
【答案】　70
15．【解析】　设BC＝x，则AC＝x，
根据面积公式得S△ABC＝AB·BCsinB
＝×2x，
根据余弦定理得cosB＝
＝＝，
代入上式得
S△ABC＝x＝，
由三角形三边关系有，
解得2－2<x<2＋2.
故当x＝2时，S△ABC取得最大值2.
【答案】　2
三、解答题
16．【解析】　(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．
又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，
∴c在a方向上的投影为＝＝－.
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)
＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
∴，解得.
17．【解析】　要求点D坐标，关键是求得点D分所成比λ的值，求λ值可由已知条件△ADE是△ABC面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝2.
由已知，有2＝，即＝.
设点D分所成的比为λ，利用分点定义，
得λ＝＝＋1.
∴得点D的横、纵坐标为x＝＝2－，
y＝＝3－.
则点D坐标为(2－，3－)．
18．【解析】　(1)∵＝(cosα－3，sinα)，
＝(cosα，sinα－3)且||＝||，
∴(cosα－3)2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3)2，
整理，得sinα＝cosα，∴tanα＝1.
又<α<π，∴α＝π.
(2)∵·＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，
∴cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝－1，
即sinα＋cosα＝，∴2sinαcosα＝－，
∴＝
＝2sinαcosα＝－.
19．【解析】　(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，
由A＝，B>0，C>0得0<B<π，
应用正弦定理知AC＝sin B＝sin x
＝4sin x.
AB＝sin C＝4sin，
∵y＝AC＋AB＋BC，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)∵y＝4＋2
＝4sin＋2，
且<x＋<π，
∴当x＋＝即x＝时，y取得最大值6，
此时△ABC为等边三角形．
20．【解析】　(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，
2sin(A－)＝1，sin(A－)＝.
由A为锐角得A－＝，A＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx
＝－2(sinx－)2＋.
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，
因此，当sinx＝时，f(x)有最大值，
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．
21．【解析】　由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得
(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
由两角和与差的正弦公式展开得：
2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B.
根据正弦定理有：2sin Bcos B＝2sin Acos A，
即sin 2B＝sin 2A，
∵A、B为三角形的内角，
∴A＝B或A＋B＝.
(1)若a＝3，b＝4，则A≠B，∴A＋B＝，C＝，⊥，
∴|＋|＝
＝＝5.
(2)若C＝，则C≠，∴A＝B，a＝b，三角形为等边三角形．
由S△ABC＝a2sin C＝，解得a＝2，
∴·＋·＋·
＝3×2×2cos＝－6.

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