四边形题型归纳.doc

四边形题型归纳 四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD，AB=2， ADB=30，沿对角线BD折叠（使ABD和EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为_. 2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD的边AB=2，ABBC，矩形ABCD的面积为S，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为_. 3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD， B=60，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=_.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm， BC=8cm，则EC的长为_. 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D、C处，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD+BC=_cm. 6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点处，则DKG=_. 7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ.(1)求MP的长度; 求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上,则CBD的度数为（ ）A.大于90 B.等于90 C.小于90 D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得EBD，BE交CD于点F，求SBFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。题型二：动点问题【例9】如下图，直角梯形ABCD中，ADBC，AB=cm,AD=24，BC=26，B=90，动点P从A开始沿AD边向D以1的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3的速度向点B运动P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，问：（1）= 时，四边形PQCD是平行四边形（2）是否存在一个t值，使PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，若存在请求出t的值.（3）当为何值时，四边形PQCD为等腰梯形(4)连接DQ，是否存在值使CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值.【变式2】如图，在梯形 ABCD中，ADBC,B=90,AD=8cm，AB=6 cm，BC=10 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动。当t= s时，四边形PCDQ的面积为36;若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值; 当0tACAB，在图3中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.课后作业1、将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 2、如图1，在正方形中，、分别为边、上的点，连接、，交点为 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为，则图3中阴影部分的面积为_ 3、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 答案：【例1】解析：如图，矩形ABCD的对角线交于点F，连接EF，AE，则有AF=FC=EF=FD=BFADB=30，CFD=EFD=AFB=60，AFE，AFB都是等边三角形，有AE=AF=AB=2【例2】解析：矩形ABCD的边AB=2，ABBC，矩形ABCD的面积为S，AD= ，（1）如图1，折痕分别与AB、DC交于F、E点，连结DF，矩形ABCD沿直线EF对折，AF= AB=1，即新矩形的对角线的长度为（2）如图2，折痕分别与AD、BC交于E、F点，连结AF，矩形ABCD沿直线EF对折，即新矩形的对角线的长度为【例3】解析：梯形ABCDADBC纸片折叠，使点B与点D重合ABEADE四边形ADEB为平行四边形AD=BE=2BC=6CE=6-2=4【例4】答案：5cm【例5】解：根据题意，可知EF是梯形ABCD的中位线所以AB+CD=2EF=8，则AB=5AD+BC=AB-CD=5-3=2（cm）【例6】解：依题意，得AD=DG=2DF，在RtDFG中，由DG=2DF，得DGF=30，由ADEF得，ADG=DGF=30，根据折叠的性质，得KDG=ADG=15，在RtDGK中，DKG=90-KDG=75 【例7】（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点BQ垂直平分PC，BC=BP又M、N分别为AD、BC边上的中点，且ABCD是正方形，BP=PCBC=BP=PCPBC是等边三角形PNBC于N，BN=NC=BC=，BPN=BPC=30，PN=，MP=MN-PN= 【变式1】（1）设DF=x，在矩形ABCD中，DCAB，CDB=ABD， 由折叠知，ABD=DBFFDB=FBDFB=FD =x CD=AB=4，CF=4-x，在RtBCF中，CF+CB=FB 即：（4-x）+3=x，x=SBFDDFBC3（2） 设AE=EF=x，在RtBEF中，BE=4-x，BF=DB-AF x+2=（4-x）x=（3）连接DE，BF，EFDB，且平分DBOB=ODDCABFDO=EBO，DFO=BEO DOFBOEOF=OE四边形DEBF是平行四边形BDEF平行四边形DEBF是菱形DE=EB，AE=4-DE在RtADE中，DE=AD+（4-DE）DE=3=5EFEF=【例9】（1）=6（2）当AP+BQ=25时，PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，即t+(26-3t)=25,解得：t=（3）如图，过点D作DEBC，则CE=BC-AD=2 当CQPD=4时，四边形PQCD是等腰梯形即3一（24一）=4 =7 (4) =2, 【变式2】（1） t=2（2）P未到达C点时 P到达C点并返回时 8-t=10-2t 8-t=2t-10 t=2 t=6(3) 如图，若PQ=PD 过P作PEAD于E, 则QD=8-t, 【例10】（1）证明：连接BD E、H分别是AB、AD的中点，EH是ABD的中位线EHBD，EHBD 同理得FGBD，FGBDEHFG，EHFG 四边形EFGH是平行四边形 （2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 （3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的【例11】解：（1）菱形的一条对角线所在的直线。（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线）。（2）三角形一边中线所在的直线。（3）方法一：取上、下底的中点，过两点作直线得梯形的二分线（如图1）方法二：过A、D作AEBC，DFBC，垂足E、F，连接AF、DE相交于O，过点O任意作直线即为梯形的二分线（如图2）【变式3】（1）如图2，过点作，平分， 同理 是四边形的准内点（2） 平行四边形对角线的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点如图4.（3）真；真；假（各1分，若出现打“”“”或写“对”“错”同样给分）【变式4】（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” （2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF 易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍，ABC的“友好矩形”的面积相等 （3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则： 课后练习：1、2、解：（1）四边形EFGH是正方形，证明：四边形ABCD是正方形， A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，HA=EB=FC=GD， AE=BF=CG=DH，AEH BFECGFDHG，HE=EF=FG=GH，四边形EFGH是菱形，由DHGAEH知DHG=AEH，AEH+AHE=90，DHG+AHE=90，GHE=90，四边形EFGH是正方形；（2）1。3、解：（1）正确证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接MEBM=BE，BME=45，AME=135，CF是外角平分线，DCF=45， ECF=135，AME=ECF，AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF，AMEECF（ASA），AE=EF（2）正确证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NEBN=BE，N=NEC=45，CF平分DCG，FCE=45，N=ECF，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90=BEA+90，NAE=CEF，ANEECF（ASA）AE=EF19 / 19