1.3.1二项式定理(导学案)人教A版.doc

(完整版)1.3.1二项式定理(导学案)人教A版
§1.3。1二项式定理 （导学案)
一、学习目标：
1。 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程。
（一）提出问题：
引入：二项式定理研究的是的展开式.如， 那么：
=？ =? =？ 更进一步：=？
（二）对展开式的分析
展开后其项的形式为：
考虑,每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为
恰有1个取的情况有种,则前的系数为
恰有2个取的情况有 种，则前的系数为
所以
类似地
思考：=?
问题：
1)．展开后各项形式分别是什么？

2）．各项前的系数代表着什么?(各项前的系数 就是在4个括号中选几个取的方法种数）
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取的情况有1种，即,则前的系数为;恰有1个取的情况有种，则前的系数为
恰有2个取的情况有 种，则前的系数为;恰有3个取的情况有 种,则前的系数为
恰有4个取的情况有种,则前的系数为
则
※推广：得二项展开式定理：
一般地，对于有

右边的多项式叫做的二项展开式
：二项展开式的通项，记作 ： 二项式系数
※注1）．二项展开式共有项，每项前都有二项式系数
2）．各项中的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中的指数从0起依次增加1，到n为此
如
三、典型例题
例1：求的展开式．
思考:(1)展开式的第3项是多少？ (2）你能否直接求出展开式的第3项？
（3)展开式的第3项的系数是多少？ （4）展开式的第3项的二项式系数是多少？

例2：(1)求的展开式的第4项的系数

变式：的展开式的第4项的二项式系数是 _______
反思：要注意二项式系数与系数的区别
（2）求展开式中的系数。

4、求展开式中的常数项和中间项.

五.练习达标
练习1.化简:

练习2。 在的展开式中含项的系数是

练习3.⑴ 求的展开式中的常数项；

⑵ 若的展开式中第6项与第7项的系数相等，求及展开式中含的项．

§1.3.1二项式定理 (课后作业)
1. 求展开式中第8项； 2。 求的展开式中的常数项。

3。求展开式的前4项； 4. 展开式中的系数是 ________。

5。二项式展开式中第2项的二项式系数为多少，第2项的系数为多少.

6.求展开式中的第8项，指出其系数和二项系数各是多少。

7.写出的展开式中含的项,并说明它是展开式的第几项?

8.已知二项式(1）求第4项；(2）求展开式第4项的二项式系数；（3）求展开式第4项的系数.

高考链接
1．（2011天津高考）在的二项展开式中，的系数为
２．(2009北京高考)若，则= 。
3．（2011重庆高考）(其中)的展开式中的系数相等，则 。
4.(2010四川高考）的展开式的第四项 。

§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于"关系；
2。 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3。 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。
学习过程
一、课前准备
(预习教材P32~ P35,找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 , 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中,共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，的次数规律是 ，各项系数分别是 .
复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角的来历及规律
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3,…时，各项的二项式系数有何规律？

新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是 ,函数图象有何性质？(以n＝6为例)
n=7时函数图像是对称的吗？对称轴在哪？

新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离"的两个二项式系数相等，图象的对称轴是。
练习1
① 在（a＋b)展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是（ ）
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ 。

反思：为什么二项式系数有对称性?

⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知,中间项的二项式系数最 ,左边二项式系数逐渐 ,右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.

练习：的各二项式系数的最大值是

⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即

※ 典型例题
例1求的展开式中系数最大的项．

变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.

小结:在展开式中, 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2 证明：在展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

变式：⑴ 化简： ;⑵ 求和:。

小结:取特殊值法（又称赋值法)在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法。

※ 动手试试
练习1：
① 在（1+x）的展开式中,二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可)
② 在(1—x）的展开式中,二项式系数最大的是第 项为 . （同上）
练习2：若，
则 ， 。

三、总结提升
※ 学习小结
1。 二项式系数的三个性质

2。 数学方法 ： 赋值法和递推法
学习评价
※ 当堂检测（时量:5分钟 满分:10分)计分：
1. 在的展开式中，系数最大的项是第 项；
2。 在的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；
3。 计算=
4. 若，则 ＝ ；
5。 化简：

§1。3。2 杨辉三角与二项式系数的性质课后作业
基础巩固强化
1.若(x2＋1）（2x＋1)9＝a0＋a1（x＋2)＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（　　）
A．2 B．－1 C．－2 D．1
2．（2011·烟台月考）如果（3x－)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
3．若（x＋1）2n的展开式中,x的奇次项系数和与（x＋1）n展开式的各项系数和的差为480，则(x＋1）2n的展开式中第4项是(　　)
A．120x4 B．210x4 C．120x7 D．210x6
5．(2012·陕西礼泉一中期末）在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x）7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2,公差为3的等差数列的（　　）
A．第11项 B．第13项 C．第18项 D．第20项
6．在（＋）24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有（　　)
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
7．（2011·广东理)x(x－）7的展开式中,x4的系数是________．(用数字作答)

8．若（2x2－)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n＝________。

9．若（2x＋3)3＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋a3（x＋2)3,则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________。

10．在（1＋x）3＋(1＋）3＋（1＋）3的展开式中，x的系数为________（用数字作答）．

11．C＋C＋C＋C＋C＝______________。

12．C＋C＋C＋C＋C＝________________________。

能力拓展提升
1.(2012·山西六校模拟)若（x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项,且x＋y＝1，xy<0,则x的取值范围是（　　）
A．(－∞，) B．［,＋∞) C．(－∞,－］ D．(1，＋∞)
2．在（－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．

3．已知（＋2x)n。(1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．