向量的运算法则.doc

(完整word)向量的运算法则（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有:1）结合律：.2）分配律:，.（2）向量的数量积运算法则：1).2).3)。（3）平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一对实数，满足。(4）与的数量积的计算公式及几何意义：，数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。（5）平面向量的运算法则。1）设，则+.2）设，则-。 3）设点A，B,则。4)设，则。5)设，,则。（6）两向量的夹角公式：（，）。（7）平面两点间的距离公式:（A,B）。（8)向量的平行与垂直：设,，且0，则有:1）|。2） （0） 0。(9)线段的定比分公式:设，是线段的分点,是实数，且，则(）。（10)三角形的重心公式:ABC三个顶点的坐标分别为、，则ABC的重心的坐标为。（11)平移公式： 。（12)关于向量平移的结论。1）点按向量平移后得到点。2）函数的图像按向量平移后得到图像:.3）图像按向量平移后得到图像：，则为.4）曲线：按向量平移后得到图像：.设a=（x，y）,b=（x,y).1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法OB+OA=OC。a+b=（x+x,y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律:(a+b)+c=a+（b+c）.12、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0ABAC=CB。 即“共同起点，指向被 向量的减法减”a=(x，y）b=(x,y） 则ab=(x-x,y-y）。如图：c=ab 以b的结束为起点,a的结束为终点。3、向量的数乘实数和向量a的乘积是一个向量,记作a，且a=a。当0时，a与a同方向当0时，a与a反方向； 向量的数乘当=0时,a=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数，都有a=0。注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0.实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0)或反方向(0）上伸长为原来的倍当0）或反方向（(依定义有：cosa,b=ab / a|b）；若a、b共线,则ab=ab。向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。向量的数量积的运算律ab=ba（交换律)(a）b=(ab）(关于数乘法的结合律）（a+b)c=ac+bc（分配律）向量的数量积的性质aa=a|的平方。ab =ab=0.|ab|a|b.（该公式证明如下:ab|=|a|bcos| 因为0cos|1，所以ab|a|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如:(ab）2a2b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。3ab|与|a|b不等价4由 |a=b ，推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积 向量的几何表示(外积、叉积）是一个向量,记作ab（这里“”并不是乘号，只是一种表示方法，与“不同，也可记做“”)。若a、b不共线,则ab的模是：ab=|a|b|sina,b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则ab=0。向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积.aa=0。a垂直b=ab=0向量的向量积运算律ab=ba(a)b=（ab）=a（b）a（b+c）=ab+ac。注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义:给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积ab,再和向量c作数量积（ab）c， 向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作（a，b,c)或（abc），即（abc)=（a，b,c)=(ab）c混合积具有下列性质:1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V（当a、b、c构成右手系时=1；当a、b、c构成左手系时=-1）2上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是（abc)=03(abc）=(bca)=(cab）=-（bac）=(cba)=-(acb)4（ab）c=a（bc） 7。例题正方形ABCD,EFGA，CHIK首尾相连,L是EH中点，求证LBGK?设AE=a向量， AG=a， AD=c, AB=c， CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0， a2=a2, b2=b2 ,c2=c2，ab=ab，ac=-ac，ac=ac, bc=bc. bc=bc*FH=a+c+c+b LB=FH/2-bc=a-c+c-b/2， GK=-a+c+c+b从*：-ac+cba+c+c+b=0。 LBGK8、三向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明