向量的运算法则.doc

(完整word)向量的运算法则
（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有:
1）结合律：.
2）分配律:，.
（2）向量的数量积运算法则：
1).
2).
3)。
（3）平面向量的基本定理。
是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一对实数，满足。
(4）与的数量积的计算公式及几何意义：，数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设＝，＝，则+＝.
2）设＝，＝，则-＝。
3）设点A，B,则。
4)设＝，则＝。
5)设＝，＝,则＝。
（6）两向量的夹角公式：
（＝，＝）。
（7）平面两点间的距离公式:
＝（A,B）。
（8)向量的平行与垂直：设＝,＝，且0，则有:
1）|｜＝。
2） （0） ·＝0。
(9)线段的定比分公式:
设，，是线段的分点,是实数，且，则
(）。
（10)三角形的重心公式:
△ABC三个顶点的坐标分别为、、，则△ABC的重心的坐标为。
（11)平移公式：
。
（12)关于向量平移的结论。
1）点按向量＝平移后得到点。
2）函数的图像按向量＝平移后得到图像:.
3）图像按向量＝平移后得到图像：，则为.
4）曲线：按向量＝平移后得到图像：.

设a=（x，y）,b=（x’,y’).
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

  向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=（x+x’,y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律:(a+b)+c=a+（b+c）.[1］​
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB—AC=CB。 即“共同起点，指向被

  向量的减法
减”
a=(x，y）b=(x’,y'） 则a—b=(x-x’,y-y’）。
如图：c=a—b 以b的结束为起点,a的结束为终点。
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向
当λ〈0时，λa与a反方向；

  向量的数乘
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0)或反方向(λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：（λa)·b=λ（a·b)=(a·λb）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb。
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ.[2]​
4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b.作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向）,记作a·b。若a、b不共线，则a·b=｜a｜·|b|·cos〈a，b>(依定义有：cos〈a,b〉=a·b / ｜a|·｜b｜）；若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y’。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律)
(λa）·b=λ(a·b）(关于数乘法的结合律）
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的数量积的性质
a·a=｜a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤｜a|·｜b｜.（该公式证明如下:｜a·b|=|a|·｜b｜·｜cosα| 因为0≤｜cosα|≤1，所以｜a·b|≤｜a|·｜b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如:(a·b）^2≠a^2·b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3．｜a·b|与|a|·｜b｜不等价
4．由 |a｜=｜b｜ ，推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积

  向量的几何表示
(外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·"不同，也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·｜b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0。
a垂直b〈=>a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=—b×a
(λa)×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c。
注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
定义:给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积（a×b）·c，

  向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作（a，b,c)或（abc），即（abc)=（a，b,c)=(a×b）·c
混合积具有下列性质:
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2．上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是（abc)=0
3．(abc）=(bca)=(cab）=-（bac）=—(cba)=-(acb)
4．（a×b）·c=a·（b×c）

7。例题
正方形ABCD,EFGA，CHIK首尾相连,L是EH中点，求证LB⊥GK?
设AE=a﹙向量﹚， AG=a’， AD=c, AB=c’， CH=b,CK=b’有 aa'=bb’=cc’=0， a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c’2，a'b=ab'，a’c'=-ac，a'c=ac', bc=b'c'. b'c=—bc'﹙*﹚FH=—a+c+c’+b LB=FH/2-b—c=﹙—a-c+c'-b﹚/2， GK=-a’+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a—c+c’—b﹚·﹙—a'+c’+c+b’﹚=……=0。 ∴LB⊥GK
8、三向量二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

  二重向量叉乘化简公式及证明