圆锥曲线中的定点和定值问题(毛玉峰).doc

校际交流材料
圆锥曲线中的定点和定值问题
泰兴市第二高级中学 毛玉峰
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一.
【要点梳理】
1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.椭圆中常见的定值结论：
结论1：经过原点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上的动点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论2：已知是椭圆两点，是的中点，直线的斜率都存在，则为定值.
结论3：设是椭圆上的三个不同点，关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则为定值.
结论4：过椭圆上一点上任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于两点，则直线的斜率为定值.
结论5：分别过椭圆上两点，作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于两点，则直线的斜率为定值.
3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明.
4. 定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其为定值（与参变量无关）.
下面结合具体例子加以说明.
例1.已知圆和圆．
（1）过圆心作倾斜角为的直线交圆于两点，且为的中点，求；
（2）过点引圆的两条割线和，直线和被圆截得的弦的中点分别为.试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；
【解析】（1）（解略）
（2）依题意，过点的圆即为以为直径的圆，
所以，即
整理成关于实数的等式恒成立
则，所以或 即存在定点.
小结：本题列出了圆系方程，再整理成关于参变量的方程，列出方程组，得出定点。
（第18题）
例2.（2016年南京三模18）已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180º．
（ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）（2）ⅰ（解略）
（2）（ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180º，所以kAF＋kBF＝0
设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝－，x1x2＝
所以，kAF＋kBF＝＝0
所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b
＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0 ∴b－2k＝0，
所以直线AB方程为：y＝k(x＋2)， 所以直线l总经过定点M(－2，0) .
小结：本题中列出了直线系方程，有两个参数，根据题意，求出两个参数之间的关系，再整理成关于一个参数的方程，得出定点。
例题3.已知椭圆方程，过点分别作直线交椭圆于两点,设直线斜率分别是，且,求证：直线过定点.
证明一：显然直线的斜率不为零，设的直线方程是由方程，消去得，则，
而直线的斜率为，以代替，得
，所以直线的方程为 (*)由
取，得直线的方程: ①
取，得直线的方程: ②
由①②得交点代入(*)，得
即，又因为，所以，即(*)恒成立，
所以直线必过.
证明二：当直线不垂直轴，故设的直线方程是，
由方程组，消去得
设，，
，
即代入，得直线方程：即直线过定点
另外，当直线垂直轴，设，代入，易得，即直线方程为，也过定点，
综上：直线直线过定点.
证明三：显然直线不平行轴，故设的直线方程是，
由方程组，消去得
设，，，
即代入，那么
即直线过定点.
小结：本题中方法1中，用了特殊到一般的解题思路。方法2和3中，注重了直线方程的两种设法。
例题4.在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若，求证：直线过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,，设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为,因为三点在同一直线上，所以，即， 解得（解略）
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为, 又因为,,且∙，所,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
小结：（1）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。

例题5.已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
解：（1）（略解）点的坐标为
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由 得 设则同理可得，则
所以直线AB的斜率为定值.
例题6.（2016年扬州三模检测）如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：＋y2 ＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2 ＝经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为
（1）试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）求|AB|·|CD|的最大值．
解. （1）因为点是椭圆的两个焦点，故的坐标是；
而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得，
设点，直线和分别是.
（1）， 又点是椭圆上的点，故 （2）
联合（1）（2）两式得 ，故为定值
例题7、（2016年三模17）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．
O
x
y
F
P
Q
（第17题图）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：．
解、（1）（解略）（2）①（解略）
②(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．
因为直线与圆相切，所以，即m2＝2k2＋2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝
因为＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．
将m2＝2k2＋2代入上式可得＝0．
小结：定值问题求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.
总之，定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，通过计算（证明）解决的问题与参数无关。在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点和定值，再证明。尤其是掌握利用特殊情况解决此类问题的填空题。