清华大一高数第一学期期末试题1.doc

一、填空题(本题共5小题,每小题4分，共20分)。
（1） =________________。
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________________.
（3)已知，且， 则_____________ 。
（4）曲线的斜渐近线方程为 ______________。
（5）微分方程的通解为___________________。
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分)。
（1）下列积分结果正确的是( )
（A） (B）
(C） （D)
（2）函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示，则（ ).
（A)都是极值点.
（B) 都是拐点。
(C） 是极值点.，是拐点。
（D) 是拐点,是极值点. 图1-1
（3)函数满足的一个微分方程是（ ）.
(A) （B）
（C） (D）
(4）设在处可导，则为（ )。
(A) 。 (B） 。 （C） 0。 (D）不存在 。

（5）下列等式中正确的结果是 ( ）.
（A） (B）
（C) (D)
 算题（本题共4小题,每小题6分，共24分).
1．求极限.
2。方程确定为的函数，求与.
3. 3.    计算不定积分 。
4.计算定积分。 
四、解答题（本题共4小题,共29分）。

1．（本题6分）解微分方程
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶(如图4—1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为,计算桶的一端面上所受的压力．
3. （本题8分）设在上有连续的导数，,且，
试求.
4。 (本题8分）过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D。
(1) (1）    求D的面积A；
(2) （2）    求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.  
五、证明题（本题共1小题,共7分)。
1.证明对于任意的实数，.
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分）。
（1） =_____________。
(2）曲线上与直线平行的切线方程为_________.
(3）已知，且, 则___________ 。
(4）曲线的斜渐近线方程为 _________

（5）微分方程的通解为_________
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分)。
（1）下列积分结果正确的是（ D )
(A) (B）
(C） (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1—1所示，则（ D ）.
（A)都是极值点.
（B) 都是拐点.
（C) 是极值点。,是拐点.
(D) 是拐点,是极值点.
图1—
(3）函数满足的一个微分方程是（ D ）。
（A) （B）
（C) （D)
(4）设在处可导，则为( A ）。
（A) 。 (B） . （C） 0。 (D）不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 ( A ）。
(A) (B）
（C） （D)
三、计算题（本题共4小题，每小题6分,共24分)。
1．求极限。
解 =-———-—-1分
=-----—-2分
= -——————1分
= -----——2分
2.方程确定为的函数,求与。
解 ——-——---——----———--—-—-——-—-（3分)
—-----—-——----———-—--（6分）
4. 4. 计算不定积分 。

4.计算定积分.
解 -—--—---— ———--——-—-——-—- (3分）
----———---———--—--—-----—-—--—--—-——-———— —---——-—-—--——-—-—---（6分）
(或令）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分)解微分方程。

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4—1），桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解:建立坐标系如图

3。 （本题8分）设在上有连续的导数，，且，
x

y

试求.

4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D。
(3) (3）    求D的面积A;
(4) （4)    求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是
-—--1分
由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为
—-—-1分
平面图形D的面积
———-2分
（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 ---—2分
曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为
， -—--1分
因此所求旋转体的体积为
-—--1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）。
1。证明对于任意的实数,.
解法一:
解法二：设则--———————-—-——--——-—-———1分
因为--——-—-———---——-----—--——————— 1分
当时,单调增加，-——--——-—---—---—---——--2分
当时，单调增加,--——----—-——--———---—---2分
所以对于任意的实数，即。—--———---——-—--——-—--———1分
解法三:由微分中值定理得，
，其中位于0到x之间。-—-———-—-——---———-------2分
当时，，.——----—-—-————---—--————2分
当时，,.——---—--------——--——---—2分
所以对于任意的实数，。—-———--—-———-———-—---——-1分