清华大一高数第一学期期末试题1.doc

一、填空题(本题共5小题,每小题4分，共20分)。（1） =_。（2）曲线上与直线平行的切线方程为_.（3)已知，且， 则_ 。（4）曲线的斜渐近线方程为 _。（5）微分方程的通解为_。二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分)。（1）下列积分结果正确的是( )（A） (B） (C） （D) （2）函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示，则（ ).（A)都是极值点. （B) 都是拐点。(C） 是极值点.，是拐点。 （D) 是拐点,是极值点. 图1-1（3)函数满足的一个微分方程是（ ）.(A) （B）（C） (D）(4）设在处可导，则为（ )。(A) 。 (B） 。 （C） 0。 (D）不存在 。 （5）下列等式中正确的结果是 ( ）.（A） (B） （C) (D) 算题（本题共4小题,每小题6分，共24分).1求极限. 2。方程确定为的函数，求与.3. 3. 计算不定积分 。4.计算定积分。四、解答题（本题共4小题,共29分）。 1（本题6分）解微分方程2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶(如图41），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为,计算桶的一端面上所受的压力 3. （本题8分）设在上有连续的导数，,且，试求.4。 (本题8分）过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D。(1) (1） 求D的面积A；(2) （2） 求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题（本题共1小题,共7分)。1.证明对于任意的实数，.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分）。（1） =_。(2）曲线上与直线平行的切线方程为_.(3）已知，且, 则_ 。(4）曲线的斜渐近线方程为 _（5）微分方程的通解为_二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分)。（1）下列积分结果正确的是（ D )(A) (B） (C） (D) （2）函数在内有定义，其导数的图形如图11所示，则（ D ）.（A)都是极值点. （B) 都是拐点.（C) 是极值点。,是拐点. (D) 是拐点,是极值点.图1(3）函数满足的一个微分方程是（ D ）。（A) （B）（C) （D)(4）设在处可导，则为( A ）。（A) 。 (B） . （C） 0。 (D）不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 ( A ）。(A) (B） （C） （D) 三、计算题（本题共4小题，每小题6分,共24分)。1求极限。 解 =-1分 =-2分 = -1分 = -2分2.方程确定为的函数,求与。解 -（3分)-（6分） 4. 4. 计算不定积分 。4.计算定积分.解 - - (3分） - -（6分）(或令）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1（本题6分)解微分方程。2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图41），桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力 解:建立坐标系如图3。 （本题8分）设在上有连续的导数，且，xy试求.4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D。(3) (3） 求D的面积A;(4) （4) 求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是 -1分由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为 -1分 平面图形D的面积 -2分（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 -2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为， -1分因此所求旋转体的体积为 -1分五、证明题（本题共1小题，共7分）。1。证明对于任意的实数,.解法一:解法二：设则-1分因为- 1分当时,单调增加，-2分当时，单调增加,-2分所以对于任意的实数，即。-1分解法三:由微分中值定理得，其中位于0到x之间。-2分当时，.-2分当时，,.-2分所以对于任意的实数，。-1分