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圆锥曲线中距离的最值问题
沙洋中学 张仙梅
一． 求圆锥曲线上一点到对称轴上一定点的距离的最值
例1：已知椭 圆+y2=1，点A（ ，0），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最值。

变式1：已知椭 圆 ，点A（0 ，2），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最值。

变式2：已知双曲线 ，点A（0 ，2），点P是双曲线上任意一点，求|PA|的最值。

变式3： 已知抛物线，点A（ ，0），点P是抛物线上任意一点，求|PA|的最值。

变式4：已知椭 圆+y2=1和圆各有一点A、B，求的最大值。

变式5：已知椭 圆+y2=1和圆各有一点A、B，求的最大值。

二．求圆锥曲线上一点P到定直线的距离的最值
例2：已知椭 圆C： ，直线l：x+2y+18=0。
（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。
（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式1：已知椭 圆C： ，直线l：x-y-24=0。
（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。
（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式2：已知抛物线C： ，直线l：。
在抛物线求一点P，使点P到直线l的距离最近，并求出最近距离。

三．利用第一定义求最值
例3：设F1、 F2分别是椭 圆C： 的左右焦点 ，P为椭圆上一点，M为圆（x-4)2+(y-3)2=1上一点，则|PM|+|PF1|的最大值等于___________，最小值等于__________

变式1：已知直线l经过抛物线C： 的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点 。
（1）若=4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值。
（3）过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，求的最小值。

变式2：已知在直线l：上任取一点P，过点P以椭 圆C：的焦点为焦点作椭圆。
（1）点P在何处时，所求椭圆的长轴最短？
（2）求长轴最短时椭圆方程。

四．利用第二定义求最值
已知定点P，焦点F，当与焦点F的相应准线和点P在圆锥曲线两侧时，在圆锥曲线上求一点M，使取最小值的问题，就要用第二定义求。
例4：已知椭 圆C：内有一点P（1,-1）,F为椭 圆的右焦点，在椭 圆上有一点M，使取得最小值，求点M的坐标及最小值。

变式1：已知点P（1,-3）,F为椭 圆的右焦点，在椭 圆上有一点Q，当取得最小值时，求点Q的坐标及最小值。

变式2：如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东300方向2km处。河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B、C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km，那么修建这条公路的总费用最低是

变式3：设F1、 F2分别是双曲线： 的左右焦点，点P在双曲线上，求的最值。 若是椭圆呢？