探索幂级数的乘积性的一种妙用在求函数的幂级数展式时,一般我们总是尽可能地避免用乘积性,其原因之一是乘积性对级数项的比较高,一般要求幂级数所缺的项不能太多,否则补项起来比较麻烦,技巧性要求较高.虽然如此,但有时候我们利用乘积性可以得到一些奇妙的结论.试按下面的步骤进行探索,你可能会有一些惊喜!一、利用降次的方法将函数展开成麦克劳林级数;二、利用对的麦克劳林展式进行补项可得,试利用幂级数的乘积性再将函数展开成麦克劳林级数;三、通过上面两种方法所得函数的幂级数展式的比较,探索下面的等式是否成立?当时,当时,提示:,.四、将上面的方法运用到函数上,探索类似的问题.提示:.五、和是处理缺奇数或偶数项的幂级数的两种常用的补项因子,此外这类幂级数还可用下面的两种补项因子,和.试用这两种补项因子再探索一至四的类似问题,看看你会有什么收获.2 / 2