探索幂数的乘积性的种妙用.doc

探索幂级数的乘积性的一种妙用
在求函数的幂级数展式时，一般我们总是尽可能地避免用乘积性，其原因之一是乘积性对级数项的比较高，一般要求幂级数所缺的项不能太多，否则补项起来比较麻烦，技巧性要求较高.虽然如此，但有时候我们利用乘积性可以得到一些奇妙的结论.
试按下面的步骤进行探索，你可能会有一些惊喜！
一、利用降次的方法将函数展开成麦克劳林级数；
二、利用对的麦克劳林展式进行补项可得，
，
试利用幂级数的乘积性再将函数展开成麦克劳林级数；
三、通过上面两种方法所得函数的幂级数展式的比较，探索下面的等式是否成立？
当时，，
当时，，
提示：
，
.
四、将上面的方法运用到函数上，探索类似的问题.
提示：.
五、和是处理缺奇数或偶数项的幂级数的两种常用的补项因子，此外这类幂级数还可用下面的两种补项因子，
和.
试用这两种补项因子再探索一至四的类似问题，看看你会有什么收获.
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