相交线与平行线知识点精讲.pdf

相交线与平行线知识点精讲1.1.相交线相交线同一平面中，两条直线的位置有两种情况：相交：相交：如图所示，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，其中以 O 为顶点共有 4 个角：1，2，3，4；邻补角：邻补角：其中1 和2 有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1 和2 这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：对顶角：1 和3 有一个公共的顶点 O，并且1 的两边分别是3 两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；1 和2 互补，2 和3 互补，因为同角的补角相等，所以13。所以，对顶角相等对顶角相等例题：例题：1.如图，3123，求1，2，3，4 的度数。2.如图，直线 AB、CD、EF 相交于 O，且，则_，AB CD 127 2_。FOB C E A 2 O B 1 F D垂直：垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中 ABCD，垂足为 O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是 90。例题：例题：如图，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O，126，求EOD，2，3 的度数。垂线相关的基本性质：垂线相关的基本性质：（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例题：例题：假设你在游泳池中的 P 点游泳，AC 是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？2.2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。平行线公理：平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。如上图，直线 a 与直线 b 平行，记作 a/b3.3.同一个平面中的三条直线关系：同一个平面中的三条直线关系：三条直线在一个平面中的位置关系有 4 中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。（1 1）有一个交点：）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；例题：例题：如图，直线 AB,CD,EF 相交于 O 点，DOB 是它的余角的两倍，AOE2DOF,且有OGOA，求EOG 的度数。（2 2）有两个交点）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD 平行，被第三条直线 EF 所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的 8 个角之间有三种特殊关系：*同位角：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；*内错角：内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；*同旁内角：同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。如上图，指出相等的各角和互补的角。例题：例题：1.如图，已知12180，3180，求4 的度数。2.如图所示，AB/CD，A135，E80。求CDE 的度数。平行线判定定理：平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理平行线判定定理 1 1：同位角相等，两直线平行：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足12（或者34；57；68），就可以说 AB/CD平行线判定定理平行线判定定理 2 2：内错角相等，两直线平行：内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足62（或者54），就可以说 AB/CD平行线判定定理平行线判定定理 3 3：同旁内角互补，两直线平行：同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+2180（或者6+4180），就可以说AB/CD平行线判定定理平行线判定定理 4 4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1290 就可以得到。平行线判定定理平行线判定定理 5 5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行例题：例题：1.已知：AB/CD，BD 平分，DB 平分，求证：DA/BCABCADCAB12DC342.已知：AF、BD、CE 都为直线，B 在直线 AC 上，E 在直线 DF 上，且，12，求证：。CD AFDEF3124ABC（3 3）有三个交点）有三个交点当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12 个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。（4 4）没有交点：）没有交点：这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：即 a/b/c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。例题：例题：如图，CDAB，DCB=70，CBF=20，EFB=130，问直线 EF 与 CD 有怎样的位置关系，为什么？一选择题：1.如图，下面结论正确的是（）A.是同位角 B.是内错角12和23和 1 2 3 4 C.是同旁内角 D.是内错角24和14和 2.如图，图中同旁内角的对数是（）A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对 3.如图，能与构成同位角的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 4.如图，图中的内错角的对数是（）A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对5如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4 倍少，那么这两个角是（）30 A.B.都是42138、10 C.或D.以上都不对42138、4210、二填空1 已知：如图，。求证：。AO BO ，12CO DO证明：（）AO BO （）AOB90 1390 （）12 2390 （）CO DO2 已知：如图，COD 是直线，。求证：A、O、B 三点在 13同一条直线上。证明：COD 是一条直线（）_（）12 （）13 _ 3 _（）三解答题1如图，已知：AB/CD，求证：B+D+BED=（至少用三种方法）360 B C D 2 3 1 O A A C 1 2 O 3 D B E A B C D 2已知：如图，E、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE、AF 分别交 BC 于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。2 A B E C F D H G 1 3已知：如图，且 B、C、D 在一条直线求证：123，BACDE/AEBD/4已知：如图，DE 平分，BF 平分，且 CDACBACDACBA。ADEAED 求证：DEFB/5已知：如图，。求证：BAPAPD18012，EF A E 3 1 2 4 B C D D F C A E B 6已知：如图，。求证：123456，EDFB/F E 4 A G 1B 53 6 2 C D A B 1 E F 2 C P D