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《实变函数》期末考试试题汇编

目录

《实变函数》期末考试模拟试题(一） 1
《实变函数》期末考试模拟试题（二） 6
《实变函数》期末考试模拟试题(三) 12
《实变函数》期末考试模拟试题（四） 17
《实变函数》期末考试模拟试题（五） 26
《实变函数》期末考试模拟试题（六） 29
《实变函数》期末考试模拟试题（七） 31
《实变函数》期末考试模拟试题（八） 35
《实变函数》期末考试模拟试题（九） 40
《实变函数》期末考试模拟试题(十) 46
《实变函数》期末考试题（一） 56
《实变函数》期末考试题(二） 62

《实变函数》期末考试模拟试题(一)
（含解答）
一、选择题(单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
(A） （B)
（C) （D)
2、若是开集,则（ B ）
（A） (B)的内部 （C） （D）
3、设是康托集，则( C ）
（A）是可数集 (B）是开集 （C） （D）
4、设是中的可测集,是上的简单函数,则（ D ）
（A)是上的连续函数 (B）是上的单调函数
(C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数
5、设是中的可测集,为上的可测函数，若,则（ A )
（A）在上，不一定恒为零 (B）在上，
（C）在上, （D）在上,
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的无理点全体，则（C、D）
（A)是可数集 （B）是闭集
(C）中的每一点都是聚点 （D）
2、若至少有一个内点,则（ B、D ）
（A）可以等于零 （B）
(C)可能是可数集 （D）是不可数集
3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C )
（A）上的简单函数 （B）上的可测函数
（C)上的连续函数 （D)上的连续函数
4、设在可测集上可积，则（ B、D ）
(A）和有且仅有一个在上可积
（B）和都在上可积
（C）在上不一定可积
（D）在上一定可积
5、设是的单调函数，则( A、C、D）
（A)是的有界变差函数 （B)是的绝对连续函数
（C)在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上)
1、设为全集，，为的两个子集，则 .
2、设,如果满足，则是 闭 集。
3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。
4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数)。
5、设，为可测集，,则.
6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数,都有
是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数.
7、设是的内点，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列,使得.
9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。
10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列(数）个闭集的并集仍为闭集。 ( × ）
2、任何无限集均含有一个可数子集. （ √ ）
3、设是可测集，则一定存在型集,使得，且.（ √ ）
4、设是零测集,是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ × ）
5、设是可测集上的非负可测函数,则必在上可积。 （ × )
五、简答题
1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，
而是闭集,不是开集。
2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？
答：①简单函数是可测函数;
②可测函数不一定是简单函数；
③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。
3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？
答：①单调函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题
1、设，其中是有理数集，求。
解： 因为，所以于，于是

2、求。
解： 因为
而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明: （方法1）对任意，有且,即或且
所以 或，即.
反之，对任意，有或,即或且，所以且,即，
综上所述，。
（方法2)。
2、设是中的有理点全体，则是可测集且。
证明： 因为是可数集，则
对任意,取开区间，,显然它们把覆盖住.
于是 。让得，，从而是可测集且。
3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数.
证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集.所以必为上的可测函数。
4、设是可测集上的可积函数,为的一列可测子集,,如果,则。
证明：因为且，所以
从而由题设
又在上的可积，且

所以由积分的绝对连续性得

即。
5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，
.
证明：记
，其中
显然在上，，且

于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

《实变函数》期末考试模拟试题（二）
(含解答)
一、选择题(单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A） （B）
（C） (D）
2、若是闭集,则（ B ）
（A）的内部 （B） (C） （D）
3、设是有理数集，则（ C ）
（A） （B）是闭集 (C) （D）是不可数集
4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）
(A）是开集 （B）是开集
（C）是闭集 （D）是开集
5、 设是中的可测集，，都是上的可测函数，若
，
则( A ）
（A)于 （B)在上，
（C)在上， （D）在上，
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的有理点全体，则（C、D）
（A）是闭集 （B)中的每一点都是内点
(C）是可数集 (D）
2、若的外测度为零，则（ B、D ）
（A）一定是可数集 （B）一定是可测集
（C）不一定是可数集 （D）
3、设,函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）
（A)存在 （B)在上可积
（C） （D）
4、若在可测集上有积分值,则（A、C ）
（A）和中至少有一个在上可积
(B）和都在上可积
（C）在上也有积分值
（D）在上一定可积
5、设是的绝对连续函数,则( A、B、C ）
（A）是上的连续函数 (B)是上的一致连续函数
（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导
三、填空题(将正确的答案填在横线上）
1、 设,是两个集合，则
2、设，如果满足,则是 开 集.
3、设为直线上的开集,若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。
4、设是偶数集,则则的基数 （其中表示可数基数）。
5、设，为可数集，且，则。
6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 .
7、若是可数集，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列,是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。
9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。
10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减函数的差） 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 ( × ）
2、任何无限集均都是可数集。 （ × )
3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且.（ √ ）
4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ √ )
5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ × )
五、简答题
1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？
答:不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，
而是开集，不是闭集.
2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系?
答：①连续函数是可测函数;
②可测函数不一定连续;
③可测函数在上是“基本上”连续的。
3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？
答:①绝对连续函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是绝对连续函数。
六、计算题
1、设，其中是康托集，求。
解:因为，所以于，于是

再由积分与积分的关系得
。
2、设，,求。
解：因为，而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明:（方法1）对任意，有且，即且，
所以 且，即。
反之，对任意，有且，即且，，所以且，即，
综上所述，。
（方法2)
。
2、设，且,则是可测集。
证明： 对任意，显然
又（因为），从而
所以（因为）
所以，即是可测集。
3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。
证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，，显然是可测集.所以必为上的可测函数.
4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。
证明：必要性：因为在上可积，则和
而，所以
，
即在上可积。
充分性:因为，且,
则 ,.
所以在上可积。
5、设｛}可测集上的非负可测函数列，且(）， 存在使得
,
记，则在上勒贝格可积,且
。
证明：不妨设,由题设注意到单调递减可得
，
且在上恒有
，
于是,由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且
。
6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。
证明：先证。
事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论.
下面证明本题的结论。
必要性：因可得，于是，，当时,有

因此，当时，并注意到和可得

所以。
充分性：对任意，由

可得 ，从而。

《实变函数》期末考试模拟试题（三）
(含解答）
一、选择题(单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A )
(A） （B）
（C) （D）
2、若是孤立点集，则（ B ）
（A) (B） (C）的内部 (D）
3、设是上的无理数集，则（ C )
（A)是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）
4、设是上的单调函数，则（ D ）
(A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个
（C）在上一定不可积 (D）是上的可测函数
5、设是中的可测集，为上的可测函数，若,则（ A ）
（A)，在上几乎处处为零 （B)在上，
（C）在上, （D）
二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是上康托集，则(B、C）
（A）是可数集 （B）是闭集
（C)中的每一点都是聚点 （D）
2、若至少有一个聚点，则（C、D ）
(A） (B）
（C）可能是可数集 （D）可能是不可数集
3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D ）
(A）上的简单函数 （B）上的可测函数
(C)上的连续函数 （D）上的不可测函数
4、设在可测集上不可积，则（ B、D ）
（A)和都在上不可积
(B）和至少有一个在上不可积
（C）在上可能可积
（D)在上一定不可积
5、设是的有界变差函数，则（ A、D）
（A）在上几乎处处连续 （B）是的连续函数
（C）在上不可导 （D）在上几乎处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设为全集，，为的两个子集，则
2、设，如果满足，则是 完全 集.
3、若开区间和是直线上开集的两个不同的构成区间，则。
4、设是无限集，是至多可数集，则的基数 。
5、设,为可测集，，则。
6、设是定义在可测集上的有限实函数，若对任意实数，都有是可测集，则是可测集上的 可测函数 。
7、设是孤立点集，则.
8、设函数列为可测集上的可测函数列,且,则 不一定成立 。
9、设是上的可测函数，则在上的可积的充要条件是在上 勒贝格可积 。
10、若是上的有界变差函数或绝对连续函数,则上的导数
几乎处处存在 .

四、判断题（正确的打“√”,错误的打“×”）
1、可列（数)个型集的并集仍为型集。 （ √ )
2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ × ）
3、设是可测集，则一定存在开集，使得，且。（ × ）
4、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ × ）
5、设是可测集上的可测函数,且存在（可为）,则和至少有在上可积. （ √ )
五、简答题
1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集?
答：不一定为零测集.例如 ，显然为单元素集，为零测集，不是零测集。
2、上的可测集与Borel集的关系？
答:①Borel集是可测集；
②可测集不一定是Borel集;
③可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。
3、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？
答:①可测集上的连续函数一定是可测函数；
②可测集上的可测函数不一定是连续函数;
③对上的一个可测函数，任取，在可测集中去掉一个测度小于的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。
六、计算题
1、设，其中是有理数集，求.
解： 因为，所以于,于是

2、设,，求。
解：因为，而
所以,由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明： (方法1）对任意，有且，即，且
所以 或，即。
反之,对任意，有且，即，且，所以且,即，
综上所述，.
（方法2）.
2、设是中的无理点全体，则是可测集且。
证明： 记是中的有理点全体,由于是可数集，从而可测，且。又，所以，是可测集且。
3、设，,证明：是上的可测函数的充要条件是为可测集。
证明：充分性:因为是上的可测函数，则对任意实数，
是可测集，特别取，注意到，可得为可测集。
必要性：若为可测集，则是上的简单函数，从而为上的可测函数。
4、设为可测集上的可测函数列，若，则在上
。
证明:对任意，由于

所以
，
即在上.
5、设，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意,存在，只要，就有，证明：
.
证明:由题设及Egoroff定理得，对题设中的，存在可测集，，在上一致收敛于,从而对题设中的，存在,当时

于是,当时，并注意到题设的条件，有
。
即 .

《实变函数》期末考试模拟试题（四）
（含解答)
一、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的有理点全体,则(C、D）[考核对典型集合掌握的情况]
（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点
（C）是可数集 （D)
2、设是中的无理点全体，则(C、D）
（A)是可数集 （B）是闭集 (C）中的每一点都是聚点 (D）
3、若的外测度为零,则（ B、D ）［考核零测集的特点]
（A）一定是可数集 （B)一定是可测集
(C）不一定是可数集 （D）
4、若至少有一个内点，则( B、D ）［考核典型集的外测度可数性的特点]
（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集
5、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列,为上几乎处处有限的可测函数，若,则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）
[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]
（A）存在 （B）在上可积
（C） （D）
6、设是可测集,则的特征函数是 （A、B、C )[考核特征函数的特点]
（A)上的简单函数（B）上的可测函数 （C）上的连续函数（D）上的连续函数
7、若在可测集上有积分值，则（A、C )［考核勒贝格积分的定义]
(A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积
（C)在上也有积分值 （D）在上一定可积
8、设在可测集上可积，则（ B、D ）[考核勒贝格积分的定义］
(A)和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积
(C)在上不一定可积 （D）在上一定可积
9、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质］
（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数
（C）是上的有界变差函数 （D)在上处处可导
10、设是的单调函数，则（ A、C、D）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质］
（A）是的有界变差函数 (B）是的绝对连续函数
(C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导
二、单项选择题　（每题仅有一个正确答案)
1．设是中的无理点全体，则是（　Ｃ　　)。[考核对典型集合掌握的情况]
(Ａ）可数集 　（Ｂ）有限集 　（Ｃ)不可数集 （Ｄ）零测集　
2．下面集合关系成立的是（　Ａ　). [考核对集合的基本运算掌握的情况]
(Ａ) (Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
3．若至少有一个内点，则有(Ｂ　）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]
（Ａ) （Ｂ） （Ｃ）(Ｄ）
4．设是开集,则（ Ｂ　）。[考核开集闭集的基本特征］
（Ａ） （Ｂ) （Ｃ) （Ｄ）
5．设是可测集，则的特征函数是上的（Ａ）. ［考核对集合的特征函数的认识]
（Ａ)简单函数 （Ｂ)常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ)单调函数
6．设是有理数集，,则是上的（Ｃ）.[考核目标同上题］
（Ａ)连续函数（Ｂ)单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数
7．设在可测集上勒贝格可积，则(Ｂ）. ［考核勒贝格积分的定义］
（Ａ）和有且仅有一个在上勒贝格可积;（Ｂ)和都在上勒贝格可积
（Ｃ）和都在上不勒贝格可积;（Ｄ)在上不勒贝格可积
8．设是上的无理数集，表示连续基数，则（Ｄ）. ［考核对典型集合基数和测度掌握的情况]
(Ａ) （Ｂ） （Ｃ） (Ｄ）
9．设是上的单调函数,则是上的(Ｄ）. ［考核基本的有界变差函数和绝对连续函数］
(Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ)可导函数 （Ｄ)有界变差函数
10．设在上绝对连续，则在上(Ａ）。［考核绝对连续函数的关系的基本性质］
（Ａ)有界变差 （Ｂ）可导 （Ｃ）单调 （Ｄ)连续可微

三、填空题　
1．设，为的两个子集，则　等于 ．[考核集合之间的基本关系］
2．设,为两个集合，则　 等于　　 ．[考核目标同上]
3．设，如果满足，则是 闭 　 集．[考核开集、闭集的定义]
4．设，如果中的每一点都是内点,则是 开 集．[考核开集、闭集的定义］
5．若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足且 ．［考核开集的构成区间的定义和特点]
6．设是上的开集，若开区间满足且，则称是开集的
构成 区间．［考核开集的构成区间的定义和特点]
7．设是无限集,则的基数 大于或等于 （其中表示可数基数）．[考核可数集的性质]
8．设是偶数集，则的基数 等于 （其中表示可数基数）．[考核可数集的性质]
9．设，为可测集，，则 大于或等于 ．[考核测度的性质，单调性和次可加性］
10．设,为可测集,则 小于或等于 ．[考核测度的性质,次可加性］
11．设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数,都有是 可测集 ,则称是可测集上的可测函数。 [考核可测函数的定义]
12．设是可测集上的可测函数，则对任意实数，(），有是
可测 集. [考核可测函数的基本性质］
13．设是可数集，则　 等于 .［考核典型集合的测度和外测度］
14．设是康托集，则　 等于 .[考核典型集合的测度和外测度］
15．设函数列为可测集上的可测函数列，且在上依测度收敛于，则存在的子列，使得在上 几乎处处收敛于 。 [考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆,本题是其中的黎斯定理］
16．设,是上的可测函数列，是上的实函数,若在上几乎处处收敛于，则在上 依测度 收敛于。［考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆,本题是其中的勒贝格定理]
17．设在上黎曼可积，则在上勒贝格可积,且它们的积分值 相等 ．［考核黎曼积分与勒贝格积分的关系]
18．设，都在上勒贝格可积，且几乎处处相等，则它们在上勒贝格积分
值　 相等 ．[考核勒贝格积分的基本性质]
19．若是上的绝对连续函数,则 是 上的有界变差函数．[考核有界变差函数和绝对连续函数的关系］
20．若是上的有界变差函数,则可以表示成两个单调函数的 和或差 ．[考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理］

四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）
1．无限个闭集的并集仍为闭集．［考核开集、闭集的性质］
答:不对,因为闭集只对有限的并集运算封闭.

2．无限个开集的交集仍为开集．［考核开集、闭集的性质]
答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。

3．无限集均含有一个可数子集．[考核可数集的性质]
答：对，因为这是可数集与无限集的关系。

4．无限集都是可数集．［考核无限集的分类］
答：不对，因为无限集还包括不可数集。
5．设是可测集，则一定存在型集,使得,且．［考核可测集与型集或型集的关系]
答：对，因为这是可测集与型集的关系。
6．设是可测集，则一定存在型集，使得,且．［考核可测集与型集或型集的关系]
答:对，因为这是可数集与型集的关系。
7．设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数．[考核可测函数的基本性质]
答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。
8．设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测．［考核可测函数的基本性质]
答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得在上可测。
9．设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积．[考核勒贝格积分的定义]
答：不对，因为可测集上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分,不一定能保证勒贝格可积.
10．设是可测集上的可测函数，则一定存在．[考核勒贝格积分的定义]
答：不对，因为可测集上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证存在。
五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）
1．简述无穷多个开集的交集是否必为开集？［考核开集、闭集的运算性质］
要点：首先,回答结论：不一定为开集
其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子.
2．简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集?[考核开集、闭集的运算性质］
要点：首先，回答结论：不一定为闭集
其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。
3．可测集上的可测函数与简单函数有何关系？［考核可测函数与简单函数的关系]
要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限.
4．可测集上的可测函数与连续函数有何关系?[考核可测函数与简单函数的关系]
要点:1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数;3、对任意，在中去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理)。
5．上的有界变差函数与单调函数有何关系？［考核单调函数与有界变差函数的关系］
要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。
6．上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？[考核有界变差函数与绝对连续函数的关系]
要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。
六、计算题(注意这类题要写出主要步骤）
1．设，其中是有理数集，求．［考核简单的勒贝格积分的计算]
解：因是至多可数集，,得在上几乎处处成立.
所以由勒贝格积分的惟一性，。
2．设,其中是康托集,求．［考核简单的勒贝格积分的计算］
解：由康托集为零测集，即，得在上几乎处处成立。所以
。
注意：上面两题是简单积分的计算,注意利用积分的惟一性.
3．求．［考核勒贝格控制收敛定理的简单应用］
解：因为,且

而在勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理
.
4．设，,求．[考核勒贝格控制收敛定理的简单应用］
解:因为，且

而显然在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理
。
注意:上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。

七、证明题
1．证明：．
证明:（方法1)

（方法2）直接用集合相等的定义证明。
2．证明：．
证明:（方法1）

(方法2）直接用集合相等的定义证明。
3．设是中的有理点全体，则是可测集且．
提示:用外测度的定义证明
证明: 因为是可数集，则
对任意,取开区间,，显然它们把覆盖住。
于是 .让得，，从而是可测集且。
4．设,且，则是可测集．
提示：用可测集的定义证明.
证明： 对任意,显然

又（因为)，从而

所以
(因为）
所以
，
即是可测集。
5．证明：上的实值连续函数必为上的可测函数．
证明：因为对于任意实数,由连续函数的局部保号性易知，是开集,从而是可测集。所以必为上的可测函数。
6．证明：上的单调函数必为上的可测函数．
证明：不妨设是单调递增函数,对于任意实数，记，由于是单调递增函数，，显然是可测集。所以必为上的可测函数。
7．设是可测集上的勒贝格可积函数，为的一列可测子集,，如果，则．
证明：因为且,所以
从而由题设
又在上的可积，且

所以由积分的绝对连续性得

即。
8．设是可测集上的可测函数,则在上勒贝格可积在上勒贝格可积．
证明：必要性:因为在上可积,则和
而，所以
，
即在上可积。
充分性：因为，且，
则 ，.
所以在上可积。
9．设是可测集上的勒贝格可积函数,为中的一列递增可测子集，证明:
．
证明：记
，其中
显然在上，,且

于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论．
10．设是可测集,且，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意,存在，只要，就有，证明：
．
证明:由题设及叶果洛夫定理得，对题设中的，存在可测集，，
使得， 在上一致收敛于,
从而对题设中的，存在,当时

于是，当时，并注意到题设的条件，有

即 .

《实变函数》期末考试模拟试题（五）
(含解答）
一、判断题（每题2分，共20分）
1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集.F
2、若是可测函数，则必是可测函数。F
3．设在可测集上可积分，若，则 F
4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集。T
5、若，则 F
6、若是可测函数，则必是可测函数F
7．设在可测集上可积分，若，则 F
8、任意多个开集之交集仍为开集 F
9、由于,故不存在使之间对应的映射。F
10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T
二、选择题（每题2分，共12分）
1、下列各式正确的是（ C ）
（A); (B）
(C）； （D）以上都不对；
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）
（A） c (B) （C） （D）
3、设是一列可测集，，则有（B ）。
（A） （B）
(C）；（D）以上都不对
4、设是一列可测集，，且，则有（ A ）
(A） （B）
（C);（D）以上都不对
5、设f（x）是上绝对连续函数，则下面不成立的是( B ）
（A） 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导
（C)在上L可积 （D） 是有界变差函数
6、设是两集合，则 =（ C )
（A） (B) （C) (D)

三、解答题(每题6分，共18分)
1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。
解:在上不是可积的,因为仅在处连续,
即不连续点为正测度集
因为是有界可测函数，所以在上是可积的
因为与相等, 进一步,
2、求极限 .
解：设，则易知当时，
又,但是不等式右边的函数，在上是可积的
故有
3、设求出集列的上限集和下限集
解：
设，则存在N,使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得,
又显然

若有，则存在N，使任意，有，因此若时，
，此不可能，所以
四、证明题（每题10分，共50分）
1、试证
证明:记中有理数全体，令

显然
所以
2、设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。P51
3、设为E上可积函数列，。于E，且，k为常数，则在E上可积. P133
4、设在上积分确定，且于，则在上也积分确定,且 P108

5、设在上,而成立,，则有 P95

《实变函数》期末考试模拟试题(六）
（含解答)
1、若N是自然数集,为正偶数集，则N与对等.（对）
2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集.(对）
3、若是上的有限个集，则下式
成立。 （对)
4、任意多个开集的交集一定是开集。（错)
5、有限点集和可列点集都可测。（对）
6、可列个零测集之并不是零测集。(对）
7、若开集是开集的真子集,则一定有。(错)
8、对于有界集,必有。（对）
9、任何点集E上的常数函数=C，是可测函数。（错）
10、由在上可测可以推出在上可测。（对)
二、填空
1、区间（0,1）和全体实数R对等，只需对每个，令
2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集
3、设都可测,则也可测，并且当为空集时，对于任意集合T总有

4、设E是任一可测集，则一定存在型集F，使，且
5、可测集上的 连续函数 是可测函数。
6、设E是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E的点x有关的命题，如果存在E的子集M，适合mM=0，使得π在E\M上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ,则我们称π在E上几乎处处成立。
8、E为闭集的充要条件是 .
9、设A、B是两个非空集合，若，则有 。
三、证明
1、证明：若,且，则有。
证明:由条件易得，
（1)
（2)
由于，,
而 ，
已知,所以。
而 ，由（1）（2）得.
2、设为上的连续函数,则对任意的，、为闭集
证： 先证是闭集。设是的一个极限点，则中有点列，使.
由知.又由的连续性及极限不等性可得
。
。
即 。
故 为闭集.
4、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的.
证: 显然，的收敛点集可表示为
=。
由可测及都可测,所以在上可测。
从而，对任一自然数，可测。故
可测。
既然收敛点集可测，那么发散点集也可测。
《实变函数》期末考试模拟试题（七）
（含解答）
一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共10小题,每题1。5分,共10×1。5=15分)
1、 中全体子集构成一个代数。 ( √ ）
2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ √ ）
3、 若是可测集，是的可测子集,则 。 （ × )
4、 无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 （ × )
5、 可数个可数集的并集是可数集. （ √ ）
6、 、可数个集的交集不一定是集. （ × ）
7、 若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。 （ × )
8、 若是可测集，是的可测子集，则 . （ × )
9、若是可测集，是上的非负可测函数,则在上一定可积。 （ × ）
10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。 ( √ ）
二、 选择题。（每道题只有一个答案正确,多选或者不选均为零分，每道题1.5分,共15分）
1、下列集合关系成立的是（