2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版).doc

2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学（文）试题

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先解不等式得集合A,B，再根据交集定义得结果.
【详解】
，，，故选.
【点睛】
本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数除法法则化简即可.
【详解】
由知:，，故选.
【点睛】
本题考查复数除法法则，考查基本求解能力，属基础题.
3．如图所示，程序框图的输出结果是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】读懂流程图，其功能是求四项的和，计算求值即可.
【详解】
计算结果是：，故选.
【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】C
【解析】先根据叠加法求，再利用数列单调性求最小值.
【详解】
由知：，，…，，相加得：，，又，所以，所以最小值为，故选.
【点睛】
本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.
5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积，
，故四棱锥的体积，故选.
（也可用结论直接得出：，，）
【点睛】
本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积，考查基本分析求解能力，属中档题.
6．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其回归直线方程为，且 ，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求均值，再根据回归直线方程性质求
【详解】
由 知：，，又回归直线一定过样本点的中心，故，.故选
【点睛】
本题考查回归直线方程性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先确定总事件数，再列举“心有灵犀”的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】
甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选.
【点睛】
本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．已知奇函数，（其中，）在有7个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先利用辅助角公式化简，再根据奇函数得，最后根据零点个数列不等式，解得结果.
【详解】
，且为奇函数，，，，
令，得，由题意恰有7整数满足.则满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，故，即故选.
【点睛】
本题考查正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知为坐标原点，，若点的坐标满足，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】先作可行域，再化简，结合图象确定最优解，解得结果.
【详解】
作出不等式组对应的可行域为如图所示的，且，，，
，
则对于可行域内每一点，令，先求的取值范围.当点过点时，；当过点时，，，，即，故当过点时，，故选.

【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
10．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.
【详解】
设正方体棱长为1，，则，连接，，
由可知，∠即为异面直线与所成角，
在中，，，故，
又， ，
又在为单调减函数，，故选.
【点睛】
本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先化简得，再根据余弦定理以及基本不等式求最小值.
【详解】
设中点为，则
，，即，
由知角为锐角，故 ，
当且仅当，即时最小，故选.
【点睛】
本题考查余弦定理、基本不等式以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.
12．已知函数有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，解得结果.
【详解】
令即：，在同一坐标系中分别作出与的图象知，为增函数，而为减函数，要是交点的横坐标落在区间内，必须：
，即：，故选

【点睛】
本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.

二、填空题
13．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数的取值范围.
【详解】
因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式对恒成立，又在为增函数，，即.即实数的取值范围是：.
【点睛】
本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.
14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】答案：
【解析】先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性，再根据单调性化简不等式，最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，解得结果.
【详解】
由为奇函数，.
设，，，即，故，
从而 ，
故不等式同解于，
又为上的单调增函数，故，
即对任意的恒成立，，即或.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.
15．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.
【答案】
【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标，再根据椭圆定义化简求值.
【详解】
因为离心率为，所以,
设直线的方程代入椭圆方程：
得：，又∵点在第一象限，故，
所以
【点睛】
本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题.
16．在中，角，，的对边分别为，，，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，______.
【答案】
【解析】先根据正弦定理化边的关系，再根据余弦定理求，最后根据基本不等式求最值，进而确定S值，解得结果.
【详解】
由正弦定理及得：，即：，由余弦定理可知：，，又，当且仅当时，即时，取得最小值，此时，.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析转化求解能力，属中档题.

三、解答题
17．数列中，，，其中，，，令.
（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）见证明，，（2）
【解析】（1）先根据向量数量积得递推关系，再根据等差数列证结论，最后根据等差数列通项公式得结果，（2）利用错位相减法求和.
【详解】
（1），得：，
即，故数列是等差数列，
且，，
（2），
，
，①
，②
①-②得： ，
.
【点睛】
本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析转化求解能力，属中档题.
18．三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.

（1）证明：是的中点；
（2）设，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）取的中点，利用线面平行判定定理与性质定理、面面平行判定定理以及性质定理得，即得结果.（2）先根据线面垂直得线线垂直，再根据直角三角形得，最后根据锥体体积公式得结果.
【详解】
（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.
平面，平面，平面.
又由已知平面，
且，所以平而平而.
又平面，所平面.
而平面，且平面平面，所以，
而为的中点，所以为的中点.
（2）因为为正方形，所以，又，
所以，而，所以平面.
连，则.设，于是，
由，知，所以.
即，所以

【点睛】
本题考查线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行判定定理与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务，收费标准是：每天公司收取养猪场技术服务费120元，当天若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.
（1）设医药公司日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），，试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式；
（2）若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务，10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.

9月份
10月份
合计
未发病
40
85
125
发病
65
20
85
合计
105
105
210

根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关？
附：，其中.

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据条件列分段函数，（2）根据公式求得，对照数据比较大小作出判断.
【详解】
（1）
（2）由列联表可得：，
∵，
所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
【点睛】
本题考查分段函数解析式以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.
（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用导数求切线斜率，再根据切线方程得点，坐标，最后根据三角形面积解得切点坐标，利用抛物线定义得结果，（2）先求P 点坐标，化简，再联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理代入化简即得的值.
【详解】
（1）设，，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，
，， ，故 ，∴，，从而.
（2）由（1）知：，即：，同理，
解得
因为，，三点共线，易知直线斜率不存在时不成立，
所以方程可设为，
联立，整理得，可得，
所以，又，
所以，，
故，
所以.
【点睛】
本题考查导数几何意义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
21．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得对任意的，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）先求导数，再根据导函数符号确定单调性，（2）先确定最大值，再根据一元二次不等式恒成立列式求解.
【详解】
(1) ，但是：，故在为增函数，在也为增函数.
（2）由（1）可知，当时，为增函数
根据题意可知：对任意的恒成立.
令，则当时，，令，
问题转化为对任意的恒成立，由抛物线的开口向上知：
即，解得
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.
【答案】（1）直线的极坐标方程： ；曲线的普通方程为：（2）
【解析】（1）利用化直线的直角方程为极坐标方程，先消参数得曲线的普通方程，再根据变换得结果，（2）将直角方程化为极坐标方程，再代入，解得，，即得结果.
【详解】
（1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：
由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，
经过伸缩变换得代入
得：，
即，
故曲线的普通方程为：
（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，
将代人得，
将代入得：，
故.
【点睛】
本题考查直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程以及极坐标方程的应用，考查基本分析求解能力，属中档题.
23．已知函数 .
（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据绝对值定义化简不等式，解得不等式解集，再根据集合包含关系列式解得结果，（2）先根据绝对值三角不等式得，再利用基本不等式求最值.
【详解】
（1）不等式同解于，即，
故解集为，
由题意，，.
（2）
故
.
当且仅当即取等号.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查解含绝对值不等式、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

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