2019届安徽省淮北市、宿州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版).doc

2019届安徽省淮北市、宿州市高三第二次教学质量检测数学（理）试题

一、单选题
1．已知i为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】首先化简所给的复数，然后求得其共轭复数即可确定其所在的象限.
【详解】
由题意可得：，
则其共轭复数为：，
对应的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．设全集为实数集，集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别求得集合A,B，然后进行补集和交集的运算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：，
则，故.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知数列为等比数列，则“”是“数列单调递增”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】利用数列的性质和单调性的定义分别考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
若数列单调递增，则，即充分性成立；
若，则，
若，则，解得，此时数列单调递增；
若，则，解得，此时数列单调递增；
据此可知必要性成立，
综上可得：“”是“数列单调递增”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的单调性，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．CPI是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月-2019年2月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比；环比表示连续2个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.

下列说法错误的是
A．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5% B．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%
C．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1% D．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%
【答案】D
【解析】由题意逐一考查所给的说法正确即可.
【详解】
逐一考查所给的说法：
A. 2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%，题中的说法正确；
B. 2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%，题中的说法正确；
C. 2018年6月份居民消费价格环比下降0.1% ，题中的说法正确；
D. 2018年11月份居民消费价格环比下降0.3%，2018年11月份居民消费价格同比上升2.2%，题中的说法错误.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查统计图表的阅读与识别，属于中等题.
5．已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为，且离心率为，则该双曲线实轴的长为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求得焦点到渐近线的距离，然后结合题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定实轴的长即可.
【详解】
由题意可得，焦点到渐近线的距离：
，故，
求解方程组可得：，则双曲线实轴的长为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，双曲线的性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．若实数，满足，则的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】将原问题转化为线性规划的问题，据此结合线性规划的结论即可求得的最小值.
【详解】
原问题等价于时求目标函数的最小值，
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
故选：C.
【点睛】
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先确定三视图所对应的几何体的结构特征，然后求得外接球的半径，最后由体积公式求得其体积即可.
【详解】
如图所示，在长宽高分别为的长方体中，
三视图对应的几何体为三棱锥，

则三棱锥的外接球即长方体的外接球，
设外接球半径为，由题意可得：，
故该多面体外接球的体积.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的外接球问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．已知，，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较的大小即可.
【详解】
由函数的解析式可知函数为奇函数，
当时，，此时函数为增函数，
结合奇函数的性质可知函数是定义在R上的单调递增函数，
由于,
故.
即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．函数的图像向右平移个单位，若所得图像对应的函数在是递增的， 则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先求得函数图像向右平移个单位后的解析式，然后结合函数的单调递增区间确定实数a的最大值即可.
【详解】
由题意可得：，
则函数图像向右平移个单位的解析式为：
.
函数的单调递增区间满足：，
解得：,
当时，函数的单调递增区间为，
据此可得的最大值是.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数图像的平移变换，三角函数的性质，辅助角公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段 ，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；以为圆心，为半径画弧，交于点；以为圆心，以为半径画弧，交于点 ，则点即为线段的黄金分割点．如图所示，在中，扇形区域记为Ⅰ，扇形区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，（参考数据：）则

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合几何图形的性质考查所给的式子是否成立即可.
【详解】
由题意可知：，
故，且，
故选项B正确，选项ACD错误；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查几何概型及其应用，属于中等题.
11．设函数（其中为自然对数的底数），函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将原问题转化为二次函数在给定区间上有解的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可确定m的取值范围.
【详解】
令，则，
据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数存在极大值，
由一次函数图像可知函数在区间上单调递减，绘制函数的大致图像如图所示，

则原问题等价于关于的一元二次方程存在两个实数根，
一个根位于区间上，另一个根位于区间上，
注意到二次函数开口向上，且两根之积，据此有：
，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为,则正四面体表面与球面的交线的总长度为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可.
【详解】
考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，

由题意结合几何关系可知：，
球心到截面的距离：，
则，，
据此可得截面对应的弧长为：，
则四面体的一个面截球面的弧长为：，
则正四面体表面与球面的交线的总长度为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题
13．已知向量，则_____________．
【答案】
【解析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值.
【详解】
由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：
，
且：，
故：，解得：.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则项的系数等于__________．
【答案】112
【解析】首先确定的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式可确定项的系数.
【详解】
由题意可得：，解得：，
故所给的二项式展开式的通项公式为：
，
令可得，
故项的系数等于.
故答案为：．
【点睛】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
15．在中，内角满足,则 的最小值为_________．
【答案】
【解析】首先整理所给的三角函数式结合正弦定理得到三角形三边的大小关系，然后利用余弦定理结合均值不等式即可确定的最小值.
【详解】
由题意可得：，
即：，
，由正弦定理可得：，
由余弦定理有： .
当且仅当时等号成立.
据此可得：的最小值为.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，余弦定理的应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题
16．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．
（1）求数列的项；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列的项；
（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前项和.
【详解】
（1）由得，，
两式相减得，因为数列为正项数列，
所以，又，
故数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以.
（2）由（1）知，，由及得
故数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以-
所以
.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．如图，边长为2的菱形中，分别是，的中点，将，分别沿，折起，使，重合于点.

（1）已知为线段上的一点，满足，求证：平面.
（2）若平面 平面 ，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）在菱形中，连接，记，，由题意结合几何关系可证得//，利用线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
（2）连接，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的结论即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）在菱形中，连接，记，，
则，对折后，连接，

在中，，
∴//，
又平面，
平面，
∴//平面.
（2）连接，由，得，平面，平面平面，平面，∴平面.
又，∴两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，所以，设，则在中，由得，，
在中,由勾股定理得，，
则，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，，
取，
记直线PD与平面PBF所成的角为.则.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，由空间向量求线面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
附：参考数据：
① ；
② ；
③若,则 .
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由题意求得和的值，然后求解概率值即可；
（2）由题意可知的可能取值为20，40，50，70，100，据此求得分布列，然后求解数学期望即可.
【详解】
（1）由题意得,
，
，
∴.
（2）由题意知，，
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，
，，
，
则的分布列为：

20
40
50
70
100

.
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
【答案】（1），（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；
(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.
【详解】
（1）由已知得，解得，
∴椭圆的标准方程，
∴椭圆的离心率.
(2)设，，则，
可设的直线方程为，
联立方程，整理得，
∴，
，∴，
整理得，，
∴，解得，
∴的直线方程为：，
直线恒过定点.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20．已知函数，其中，，函数，其中为自然对数的底数.
（I）判断函数的单调性；
（II）设， 是函数的两个零点，求证：；
（III）当，时，试比较与的大小并证明你的结论.
【答案】（I）在上递减，在上递增.（II）见解析（III）答案见解析.
【解析】（I）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调区间；
（II）不妨设，由题意及（I）可知，，，构造对称差函数，，由函数的性质结合题意即可证得题中的不等式；
（III）由题意求得函数的最小值和函数的最大值即可证得题中的不等式.
【详解】
（I） ，，
①当时，，，∴，∴在上递减；
②当时，，，∴，∴在上递增.
综上可知，在上递减，在上递增.
（II）不妨设，由题意及（I）可知，，，且，
令 ，，
则

，
即，∴，
，∴ ， ，
由（I）知在上递增，∴，∴.
（III）当，时，，
在上递减，在上递增. .
，，令，得，
所以函数在区间单调递增，在区间单调递减.
.
综上所述，当且仅当时等号成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，与轴相交于点.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】(1)消去参数可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线C的直角坐标方程；
(2)联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程的几何意义和韦达定理即可求得的值．
【详解】
（1）直线的参数方程为，(t为参数)
∴消去参数后，直线的普通方程为，
的极坐标方程为，
∴，∴，
整理得，曲线C的普通方程为.
（2）设两点对应的参数分别为，
将直线方程(t为参数)，代入曲线C：，
得，，
∴，
∴=.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．已知函数
（1）若，求实数的值；
（2）若函数在区间上的最大值是10，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；
(2)由题意分类讨论，和三种情况即可确定实数的取值范围.
【详解】
（1），，
解得
（2）当，
①当时，，，，舍去
②当时，，此时命题成立；
③当时，，
则或，
解得或，
综上可得，实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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