专题八立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系.doc

空间中点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
2．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是

4．（2017新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则
A． B． C． D．
5．（2016年全国I卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为
A． B． C． D．
6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面 交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
8．（2015新课标2）已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A． B． C． D．
9．（2015广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都不相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．至少与，中的一条相交
10．（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则

11．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
12．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面
A．若，，则 B．若，则
C．若则 D．若，，，则
13．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
14．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）。若，，则的最大值

A． B． C． D．
15．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线 与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B． C． D．
16．（2013新课标2）已知为异面直线，⊥平面，⊥平面．直线满足，，则
A．且 B．⊥且⊥
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
17．（2013广东）设是两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
18．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则⊥ D．若⊥, ∥，则⊥
19．（2012浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
20．（2011浙江）下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
21．（2010山东）在空间，下列命题正确的是
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
二、填空题
22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_____．
三、解答题
23．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥中，，
，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．
24．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

25．（2018北京）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面，⊥，=，，分别为，的中点．

(1)求证：⊥；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求证：∥平面．
26．（2018天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面⊥平面，点为棱的中点，，，．
(1)求证：⊥；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

27．(2018江苏)在平行六面体中，，．

求证：(1)平面；
(2)平面平面．
28．(2018浙江)如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
29．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．

(1)证明：直线∥平面；
(2)若的面积为，求四棱锥的体积。
30．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，．

(1)证明：；
(2)已知是直角三角形，．若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比．
31．（2017天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

32．（2017山东）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面，
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设是的中点，证明：平面平面．

33．（2017北京）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）当∥平面时，求三棱锥的体积．
34．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

35．（2017江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．

36．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

37．（2016年山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
38．（2016年天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

39．（2016年全国I卷）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点．
（I）证明：是的中点；
（II）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积．

40．（2016年全国II卷）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若,求五棱锥体积．

41．（2016年全国III卷）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求四面体的体积．

42．（2015新课标1）如图四边形为菱形，为与交点，平面．

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
43．（2015新课标2）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
44．（2014山东）如图，四棱锥中，，，
分别为线段的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
45．(2014江苏)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，

求证：（Ⅰ）直线平面；
（Ⅱ）平面平面．
46．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．

47．（2014天津）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,,,分别是棱,的中点．
（Ⅰ）证明: 平面；
（Ⅱ）若二面角为，
（ⅰ）证明：平面⊥平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．

（Ⅰ）证明：BD⊥面APC ；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值．
49．（2013辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设为的中点，为的重心，求证：平面．

50．（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．

求证：（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）直线平面．
51．(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积；
（Ⅲ）证明：平面．
52．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．

求证：（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．
53．（2011广东）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点．

（Ⅰ）证明：AD平面DEF；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．
54．（2010天津）如图，在五面体中，四边形是正方形，⊥平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
55．（2010浙江）如图，在平行四边形中，=2，∠=120°．为线段的中点，将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．

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