选修系列之不等式(教师版).doc

选修系列之不等式专题
【知识要点】
1.不等式的性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（9） （异向不等式相除）
（10）（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）

2.基本不等式
定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）
定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
已知都是正数，则
（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值
3.三个正数的算术—几何平均不等式
引理：若，则（当且仅当时取“=”）
定理：若，则。（当且仅当时取“=”）
推论：个正数的算术—几何平均不等式：≥
已知都是正数，则
（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值

4.绝对值问题主要考察两个方面知识：一是绝对值不等式：，主要证明绝对值不等式及含绝对值代数式最值问题；二是解含多个绝对值不等式问题，主要采取零点讨论法，再分段解决即可，属于选做必考题
（1） 复习：不等式的解集是；的解集是
（2） 探究：不等式和型的解法：
①换元法 ②分段讨论法
应用化归思想等价转化

（3）掌握不等式
①定义法 ②分区间讨论 ③函数法
（4） 了解简单的含参数绝对值不等式的解法

5.反证法与放缩法
(1)反证法
(2)放缩法：证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确，或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，常用的放缩技巧有：
①舍掉（或加进）一些项：
如
②在分式中放大或缩小分子或分母：
如，
③应用基本不等式进行放缩，如
6.几个著名不等式
（1）平均不等式：如果都是正数，那么
（当仅当时取等号）
（2） 柯西不等式：
若；则

当且仅当时取等号
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数，对于定义域中任意两点有

则称为凸（或凹）函数.

【例题解析】
【例1】(2016年全国Ⅰ卷)已知函数.
（I）在图中画出的图像；
（II）求不等式的解集。

解析：⑴ 如图所示：

⑵

当，，解得或

当，，解得或
或
当，，解得或
或
综上，或或
，解集为

【例2】（2016年全国Ⅱ卷)已知函数，M为不等式的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a，时，．
【解析】解：⑴当时，，若；
当时，恒成立；
当时，，若，．
综上可得，．
⑵当时，有，
即，
则，
则，
即，
证毕．

【例3】(2016年全国Ⅲ卷)已知函数
（I）当时，求不等式的解集；
（II）设函数当时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可．
试题解析：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ………………5分
（Ⅱ）当时，

，
当时等号成立，

考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

【例4】（2015全国卷）已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法[来源:学科网ZXXK]

【例5】（2016年武汉高三四月调考）已知函数的最小值为2．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，求不等式的解集．

【例6】（2016年高三五月调考）已知，，函数的最小值为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：与不可能同时成立．
解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，
∴f(x)min＝a＋b．
由题设条件知f(x)min＝2，
∴a＋b＝2．…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a＋b＝2，∴ab≤1．
假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，
则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．
同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．
故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分

【例7】已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．

【例8】设函数．
（1）解不等式；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.

【例9】已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【命题意图】本题考查圆绝对值不等式的解法、不等式恒成立，以及考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力、分类讨论思想的应用．
【解析】（1）………………（3分）
当时，，即，解得；
当时，，即，所以；
当时，，即，所以，
不等式解集为；………………（6分）
（2）由题意，得当，不等式为，
即，解得或恒成立，
则由条件，得，即，
故的取值范围．………………（10分）

【例10】（2017年高三元月调考）设函数 ，记的解集为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,证明：.
解：（Ⅰ）由已知，得 ，
当时，由，解得，，此时.
当时，由，解得，显然不成立，
故的解集为.
（Ⅱ）当时， ，
于是 ，
函数在上是增函数，
，
故.
【例11】已知函数，，若关于的不等式≥-1的整数解有且仅有一个值为-3．
（Ⅰ）求整数的值：
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．

【命题意图】本题考查含绝对值不等式的解法、不等式恒成立，考查数形结合思想、逻辑思维能力、运算求解能力、分类讨论思想的应用．
【解析】（Ⅰ）由，即，，所以．……2分
不等式的整数解为－3，则，解得．
又不等式仅有一个整数解－3，∴．……………………4分

【例12】已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查函数的性质、不等式的解法、直线的斜率，以及运算求解能力，逻辑思维能力，等价转化思想，数形结合思想.

【课后练习】
【1】 设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

【2】 已知函数，．
（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，直线与函数的图象围成三角形，求的取值范围．

【3】 已知函数．
（Ⅰ）若使不等式成立，求满足条件的实数的取值集合；
（Ⅱ）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．

【4】 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）绝对值不等式的性质．
【解析】

考点：绝对值不等式．

【5】 已知函数，若不等式的解集为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【解】（1）由得.
解得.
又不等式的解集为.所以，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设函数，则
所以函数的最小值为.
由不等式对一切实数恒成立，得.
于是实数的取值范围为.

【6】 已知函数.
（Ⅰ）解方程；
（Ⅱ）若关于的不等式解集为空集，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅱ）∵关于的不等式解集为空集
∴
又∵
∴
考点：绝对值不等式和绝对值函数的最值.

【7】 设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)运用分类整合的方法去掉绝对值求解；(2)借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.
试题解析:
（1）由题意：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①
∴解得：或，

【8】 已知，函数的最小值为2．
（1）求的值；
（2）证明：与不可能同时成立．

【答案】（1）；（2）见解析．

考点：1、三角绝对值不等式的性质；2、基本不等式；3、反证法．

【9】设均为正数，且，
证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）．
证明：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca得
a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，
所以＋＋≥1.

【10】已知函数，
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.

解：（1）由，所以
（2） 因为对任意，都有，使得=成立
（3） 所以，
又，
所以从而

【11】已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得，成立，所以.
故不等式的解集为.…………………………………5分
（2）因为＝
由题意得，则，解得,
故的取值范围是.……………………………………………10分

【12】已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.
（1）求的值；
（2）正数满足，求.
【解析】，
若不等式有解，
则满足，解得.
∴.
（2）由（1）知正数满足，
∴
，
当且仅当时，取等号.

【13】已知函数的定义域为．
（Ⅰ）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值．
解答：（Ⅰ）函数的定义域为R，，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式知，
，当且仅当时取等号，的最小值为.

【14】已知，对，，＋恒成立，
（1）求＋的最小值；
（2）求的取值范围。
解析：（Ⅰ）∵且，
∴
当且仅当，即，时，取最小值9．
（Ⅱ）因为对，使恒成立，所以， 当时，不等式化为， 解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为， 解得；
∴的取值范围为.
【15】已知关于的不等式的解集为空集.
（1）求实数的取值范围；
（2）若实数的最大值为，正数满足，求的最小值．
【解析】 （1）
当且仅当时取等
当时，

（2）有（1）可知，则

当且，即时，上式等号成立.
所以的最小值是．

【16】（2017年高三九月调考）已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）

当时，由，解得；
当时，，不成立；
当时，由，解得．　
所以不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵，∴，
又不等式的解集不是空集，
所以，，所以，
即实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

【17】（2017年高三二月调考）（1）求函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【18】（2017年高三四月调考）（1）求不等式的解集；
（2）若正实数满足，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，解得，∴；
当时，，解得，∴；
当时，，解得，舍去．
综上，．故原不等式的解集为．
（2）证明：要证，只需证，即证，即证，
而，所以成立，所以原不等式成立．
【19】（2017全国II卷 ）已知．证明：
（1）；
（2）．

【20】（2017全国III卷）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）由题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是.

（2）由得，而
，
且当时，.故m的取值范围为.
【21】（2017年全国1卷 ）[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
解：（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.
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