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二次函数和动点综合题型

一．解答题（共30小题）
1．（2015•滨州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．
（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；
（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上．

2．（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．
（3）求题（2）中面积S与时间之间的函数关系式，及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．

3．（2015•贵港一模）如图，二次函数的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；
（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2015•深圳模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；
（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

6．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

7．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

8．（2014•雅安）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．

9．（2014•济南）如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

10．（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

11．（2014•丹东）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．
（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．
（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．

12．（2014•营口）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

13．（2014•泉州模拟）如图：抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点Q（x，0）是x轴上的一动点，过Q点作x轴的垂线，交抛物线于P点、交直线BA于D点，连接OD，PB，当点Q（x，0）在x轴上运动时，求PD与x之间的函数关系式；以O、B、P、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能求出Q点坐标；若不能，请说明理由．
（3）是否存在一点Q，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2014•甘谷县模拟）已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
（3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．

15．（2014•黄冈校级二模）如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

16．（2014•太原二模）如图1，矩形BCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．
（1）直接写出A，E的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；
（3）若点M是（2）是的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（4）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）

17．（2014春•杭州校级月考）如图，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k是经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（　　　　　　，　　　　　　），D点坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；
（2）若抛物线经过C、D两点，求抛物线的解析式，
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点．在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度？若不存在，请说明理由．

18．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：　　　　　　；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

19．（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

20．（2013•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

21．（2013•邓州市校级一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，﹣8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2013•泰州一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=3x+9与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点B，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，点P、Q、N同时出发、同时停止，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状；
（3）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，求当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由；
（4）在点P、Q、N运动的过程中，是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

23．（2013•盐城模拟）如图（1），分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上）交y轴于另一点Q，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，B点坐标为（2，2）．
（1）求抛物线的函数解析式和点E的坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）如图（2），点R从正方形CDEF的顶点E出发以1个单位/秒的速度向点F运动，同时点S从点Q出发沿y轴以5个单位/秒的速度向上运动，连接RS，设运动时间为t秒（0＜t＜1），在运动过程中，正方形CDEF在直线RS下方部分的面积是否变化？若不变，说明理由并求出其值；若变化，请说明理由；

24．（2013•雁塔区校级一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B，OB=3，tan∠OAB=，将∠OBA对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C，
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形，直接写出Q点坐标．

25．（2013•荣成市模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（2013•义乌市校级模拟）如图1，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点为A（0，3），交x轴于点B、C（点B在点C的左侧，）顶点为E（1，4），过点A作x轴的平行线AL，

（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
（2）点P从顶点E出发沿对称轴右侧的抛物线运动，过点P作直线PQ平行于y轴交直线AL于点Q，保持点Q以每秒1个单位的速度向右运动，同时点R从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒，
①若点P在直线AL的下方，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似？
②当t=0时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，如图2，是否还存在另外的t值，使以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出t的值，并直接写出该梯形的面积；若不存在，请说明理由．
27．（2013•新民市一模）已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，﹣4）与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M是抛物线上一动点，点N是直线y=x上一动点，请直接写出以点M、N、C、O为顶点的四边形是平行四边形时，点N的相应坐标．（不需写出计算过程）

28．（2013•朝阳区一模）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长．
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．

29．（2013•太原二模）如图，在直角坐标系中，等边△AOB的顶点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，抛物线y=ax2﹣x经过点B，与x轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式和∠ABC的度数；
（2）点D是△AOB的边上的一个动点，不与点O，B重合，若△COD是等腰三角形，则点D的坐标为　　　　　　；
（3）点P是x轴上的一个动点，将△AOP绕点A旋转得到△ABP′．
①当点P与点C重合时，判断点P′是否在（1）中的抛物线上并说明理由；
②设△POP′的面积为S，直接写出S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

30．（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
（3）将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m（0≤m≤3），请直接写出S与m之间的函数关系式．

二次函数和动点压轴题综合

一．解答题（共30小题）
1．（2015•滨州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．
（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；
（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上．

考点：
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专题：
压轴题．
分析：
（1）本题需先根据圆的方程求出点B的坐标，然后求出直线BN的解析式，即可求出点N的坐标．
（2）根据抛物线的对称轴和点A的坐标即可求出抛物线的解析式．
（3）根据抛物线的解析式求出点P的坐标，再根据平行线的性质求出点Q的坐标，并由此判断出Q是否在抛物线上．
解答：
解：（1）连接BM，
则BM=5，DM=3，
BD===4，
∴BO=BD﹣OD=4﹣2=2，
∴点B坐标为（﹣2，0），
∵直线BN和BM垂直，
∴△MBD∽△MNB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N的坐标是（2，﹣），
设直线BN的解析式是y=kx+b（k≠0），
把B（﹣2，0）N（2，﹣）代入函数的解析式得：
，
解得k=﹣，b=﹣，
∴直线BN的解析式是；y=﹣x﹣；

（2）点A，B关于直线x=2对称，
所以x=2就是抛物线的对称轴那么设抛物线的方程为y=a（x﹣2）2﹣，
将A（6，0）代入 0=16a﹣，
a=，
那么y=（x﹣2）2﹣=x2﹣x﹣4；

（3）令x=0，y=﹣4，
所以点P的坐标（0，﹣4）若构成平行四边形，那么Q的纵坐标为﹣4，
设横坐标为a，
∵AD=4，
∴a=4 点Q坐标（4，﹣4）将x=4代入y=﹣﹣4=﹣4，
Q1（﹣4，﹣4）；Q2（4，﹣4）；Q3（0，﹣4），
Q2在抛物线上是Q的横坐标，所以点Q在抛物线上．

点评：
本题主要考查了抛物线的性质和解析式求法，要会根据已知条件求点的坐标并判断出是否在抛物线上．

2．（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．
（3）求题（2）中面积S与时间之间的函数关系式，及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题；分类讨论．
分析：
（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；
（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；
（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；
（4）分两种情况进行列方程解决问题．
解答：
解：（1）如图，

过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，
∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°；

（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
点P的运动速度为2个单位/秒；

（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），
∵S=（2t+2）（10﹣t），
=﹣（t﹣）2+，
∴当时，S有最大值为，
此时；

（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：
，
解得：，
当P在BC上时，，
此方程无解，故t不存在，
综上所知当t=时，PO=PQ．
点评：
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．

3．（2015•贵港一模）如图，二次函数的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；
（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
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专题：
代数几何综合题；压轴题．
分析：
（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、B两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）本题可先根据抛物线的解析式求出C点的坐标，然后根据这三点的坐标，求出∠CAO和∠BAO的正切值，以此来证明这两角相等．
（3）可先根据直线AB的解析式设出P点的坐标，由于PH⊥x轴，因此P、Q两点的横坐标相等，可根据抛物线的解析式求出Q点的纵坐标，根据PH=2QH，即P的纵坐标的绝对值是Q的纵坐标绝对值的2倍，由此可求出P、Q的横坐标，进而可求出P点的坐标．
解答：
解：（1）∵点A（4，0）与B（﹣4，﹣4）在二次函数图象上，
∴
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）过B作BD⊥x轴于点D，由（1）得C（0，2），
则在Rt△AOC中，tan∠CAO===，
又在Rt△ABD中，tan∠BAD===；
∵tan∠CAO=tan∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO．

（3）由点A（4，0）与B（﹣4，﹣4），可得直线AB的解析式为y=x﹣2，
设P（x，x﹣2），（﹣4＜x＜4）；
则Q（x，﹣x2+x+2），
∴PH=|x﹣2|=2﹣x，QH=|﹣x2+x+2|．
∴2﹣x=2|﹣x2+x+2|．
当2﹣x=﹣x2+x+4，
解得x1=﹣1，x2=4（舍去），
∴P（﹣1，﹣）
当2﹣x=x2﹣x﹣4，
解得x1=﹣3，x2=4（舍去），
∴P（﹣3，﹣）．
综上所述，存在满足条件的点，它们是P1（﹣1，﹣）与P2（﹣3，﹣）．

点评：
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．

4．（2015•深圳模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；
（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据正方形的性质求出点A的坐标，然后把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c，即可得解；
（2）表示出PO、PC，再根据同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG相似，再根据相似三角形对应边成比例列式表示出GC，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出∠OAP=∠COD，再利用“角边角”证明△AOP和△OCD全等，根据全等三角形对应边相等可得OP=CD，再求出PC，从而得到点D的坐标，然后分①点Q在直线BC的右边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值，②点Q在直线BC的左边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值．
解答：
解：（1）∵B（4，4），
∴AB=BC=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=4，
∴A（0，4），
将点A（0，4），B（4，4）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得．
∴二次函数解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）∵P（t，0），
∴OP=t，PC=4﹣t，
∵AP⊥PG，
∴∠APO+∠CPG=180°﹣90°=90°，
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠CPG，
又∵∠AOP=∠PCG=90°，
∴△AOP∽△PCG，
∴=，
即=，
整理得，GC=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，GC有最大值是1，
即P（2，0）时，GC的最大值是1；

（3）存在点Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．
理由如下：如图1、2，易得∠OAP=∠COD，
在△AOP和△OCD中，
，
∴△AOP≌△OCD（ASA），
∴OP=CD，
由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，
∵P（t，0），D（4，t），
∴PC=DQ=|t﹣4|，
∴点Q的坐标为（t，t）或（8﹣t，t），
①当Q（t，t）时，﹣t2+t+4=t，
整理得，t2+t﹣24=0，
解得t1=4（舍去），t2=﹣6，
②当Q（8﹣t，t）时，﹣（8﹣t）2+（8﹣t）+4=t，
整理得，t2﹣6t+8=0，
解得t1=2，t2=4（舍去），
综上所述，存在点Q（﹣6，﹣6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．

点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，全等三角形的判定与性质，平行四边形的 对边平行且相等的性质，（2）求出三角形相似是解题的关键，（3）难点在于根据平行四边形的性质表示出点Q的坐标．

5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

考点：
二次函数综合题；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题；压轴题．
分析：
（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解答：
解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），
则M（x，﹣x+1），P（x，0）．
∴MN=PN﹣PM
=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
=﹣x2﹣x
=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；

（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，
则MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，
且（﹣x+1）2+（x+3）2=，
解得：x=﹣1或x=﹣3（不合题意舍去），
故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．

点评：
本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．

6．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题；压轴题．
分析：
（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；
（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），
∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；
点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，
令4=﹣m2﹣m+4，解得m=﹣2或0，
即m的取值范围：﹣2＜m＜0，
PG的长度为：﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵y=﹣x2﹣x+4，
∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，
解得x=1或﹣3，
∴D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，
解得k=，
∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴H（m，m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么=，
即=，
解得m=﹣3或﹣1，
由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；
②如果△PGB∽△DEH，那么=，
即=，
由﹣2＜m＜0，解得m=﹣．
综上所述，在（