第十二章--曲面积分-(2).doc

习题12-1
1. 当是面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？
解 的方程为：，，在面投影区域
则 .
2. 计算下列对面积的曲面积分：
（1），其中为平面在第一卦限中部分；
（2），其中为锥面（）被平面所截下的部分；
（3）,其中为抛物面（）；
（4），其中为球面上,()的部分；
（5），其中为锥面被柱面所截得的有限部分；
解 （1）的方程：，，
在面投影区域
；
（2）的方程：，在面投影区域，
又
因此
;
（3）积分曲面关于面、面对称，被积函数关于、为偶函数，为在第一卦限部分，在面投影区域

（令）

；
（4）积分曲面关于面、面对称，故
在面投影区域

；
（5）因为关于面对称，被积函数和都是的奇函数，所以

的方程：，在面投影区域

.
3. 设曲面是介于与（）两平面之间的部分，计算曲面积分.
解 将分成左右两部分，其中，
、在面上投影区域，

.
4. 计算曲面积分，其中是球面.
解 由轮换对称性得
所以

则
.

习题12-2
1. 当为面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分由什么关系？
解 的方程，在面内投影区域
则当取上侧时
当取下侧时 .
2. 计算下列对坐标的曲面积分：
（1），其在是以原点为中心，边长为（）的正方体：
，的整个表面的外侧；
（2），其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧；
（3），其中是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧；
（4），其中是锥面及平面、所围成的立体表面外侧；
（5），其中为连续函数，是平面在第四卦限部分上侧.
解 （1）把球面分为六块、
取前侧； 取后侧；
取右侧； 取左侧；
取上侧； 取下侧；
、、、在面上的投影为零，因此

所以

；
（2）因为柱面垂直于面，所以
将分成左右两部分
取右侧； 取左侧；
在面上的投影区域
所以

；
（3） 取下侧，在面投影区域

将分成前后两部分
取前侧； 取后侧；
在面投影区域

（令）

因此 ；
（4）分成三块、 ，其中
取下侧，在面投影区域
取下侧，在面投影区域
取上侧，在面投影区域
所以

（5）化为第一型曲面积分计算，上侧的单位法向量为，
在面投影区域为
所以 原式
.
3. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中
（1）是平面在第一卦限部分的上侧；
（2）是抛物面在面上方的部分的上侧.
解 （1）平面上任一点处法向量，
方向余弦为
所以
（2）抛物面上任一点处法向量，
方向余弦为
所以 .
习题12-3
1. 利用高斯公式计算下列曲面积分：
（1），其中是三个坐标面与平面、、（）所围成的正方体表面外侧；
（2）,其中为球面的外侧；
（3），其中是由，
所围成的曲面，是此曲面外法方向的方向余弦；
（4），其中为的上半球面的外侧；
（5），其中为抛物面（），取上侧;
（6），其中是由面曲线（）绕轴旋转而成的旋转曲面，且曲面的法向量与轴夹角大于.
解 （1）设所围区域为，由Gauss公式，得

；
；
（2）设所围区域为，由Gauss公式，得

；
（3）设所围区域为，由Gauss公式，得

（4）添加辅助曲面，取下侧，与围成区域为，则由
Gauss公式，得
原式

；
（5）添加辅助曲面，取下侧，与围成区域为，则由
Gauss公式，得
原式

；
（6）添加辅助曲面，取前侧，与围成区域为，则由Gauss公式，得
原式

.
2. 设，试依次对下列三个曲面计算的值：
（1）是上半球面的上侧；
（2）是椭球面的内侧；
（3）是抛物面在部分的上侧.
解 （1）先将代入曲面积分，得
此时添加辅助曲面，取下侧，与围成区域为，则由
Gauss公式，得

；
（2），，，其中
在不连续，且
，，
添加辅助曲面，取外侧，与围成区域为，则由
Gauss公式，得

（）；
（3）添加辅助曲面，取下侧，与围成区域为，则由
Gauss公式，得
.
3. 设空间区域是由曲面与平面围成，其中为正常数，记得表面的外侧为，的体积为，证明：
.
证 由Gauss公式，得

由于关于面对称，被积函数关于的奇函数，所以
从而 .
4. 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1）,其中是以为顶点的三角形边界曲线.
（2），其中是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向.
（3），其中是用平面截立方体：的表面所得截痕，若从轴正向看去，取逆时针方向.
解 （1），由Stokes公式，得

其中，取上侧，在面投影区域为

由对称性可得
；
（2），设为平面，取上侧，
的单位法向量，
由Stokes公式，得

（3）设为平面，取上侧，的单位法向量，
由Stokes公式，得
原式

其中为在投影区域，是由直线所围成，从而的面积是，所以 原式.
习题12-4
1. 设在柱面（）内部的一块曲面，其上各点处的密度，求这块曲面的质量.
解 曲面在面上的投影区域，因此所求曲面的质量

.

2. 设均匀薄壳的密度为，形状为抛物面（），
试求这薄壳的质心.
解 设质心坐标，在面上的投影区域

又因为

所以 ，， 质心为.
3. 求面密度为的均匀半球壳（）对于轴的惯性矩.
解
其中 ，在面上的投影区域
所以

.
4. 求下列向量场的散度：
（1）；
（2）.
解 （1）；
（2）.

5. 求下列向量场的旋度：
（1）；
（2）.
解 （1）；
（2）
.

总复习题十二
1. 填空题
（1）设曲面为，则 ；
（2） ，其中为（）；
（3）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界外侧，则 ；
（4）设曲面是的上侧，则 ；
（5）设，则 .
（1）答案 “”.
解 关于面对称，则 ，又由轮换对称性，知

而为正八面体的表面，其面积为
故 ；
（2）答案 “”.
解 分成两块，
、在面投影区域，
原式

（3）答案 “”.
解 由Gauss公式，得
原式；
（4）答案 “”.
解 设，取下侧，与围成立体为，由Gauss公式，得
原式；
（5）答案 “”.
解

.
2. 选择题
（1）设为球面，则（ ）；
（） （） （） （）
（2）设为球面，则（ ）；
（） （） （） （）
（3）设为球面（），为在第一卦限中的部分，则
有（ ）；
（） （）
（） （）
（4）设为球面上半部分的上侧，则下列结论不正确的是（ ）；
（） （）
（） （）
（5）设为曲面在面的上部分曲面，则（ ）；
（） （）
（） （）
（6）设是旋转抛物面，()外侧，是平面上圆域，则可化为二重积分（ ）；
（） （）
（） （）
（7）曲面积分在数值上等于（ ）.
（）面密度为的曲面质量 （）流体穿过曲面的流量
（）流体穿过曲面的流量 （）流体穿过曲面的流量
（1）答案 选（）.
解 原式；
（2）答案 选（）.
解 的形心坐标，的表面积为
由 ， ，
则有 ，，
故 原式；
（3）答案 选（）.
解 关于面及面对称，则有，
又由轮换对称性， 所以 ；
（4）答案 选（）.
解 关于面对称，而选项（）、（）、（）中被积函数，关于都是偶函数，则其积分值为零，而（）中被积函数关于是奇函数，则
（）；
（5）答案 选（）.
解 原式；
（6）答案 选（）.
解 曲面上任一点法向量，由“合一投影法”，得

；
（7）答案 选（）.
解 由对坐标的曲面积分的物理意义可知.
3. 计算曲面积分，其中是球面，而
.
解 设球面被锥面分成的上、下两部分别、，

其中方程为，在面投影区域

.
4. 设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.
解 曲面上处法向量，则其切平面为
，即
从而知
又的方程，在面的投影区域

故

.
5．计算曲面积分，其中是由曲面及两平面，
（）所围成立体表面的外侧.
解 设依次为的上、下底和圆柱面部分，则

记在面上的投影区域为，则

在上， ，而在面上投影区域

所以 原式.
6. 计算曲面积分，其中是柱面在的部分，是的外法线的方向余弦.
解 添加辅助平面，取下侧，，取上侧，设它们围成的闭区域为，由Gauss公式，得

.
7. 计算曲面积分，其中曲面是由
曲线绕轴旋转一周所生的曲面，它的法向量与轴正向的夹角恒大于.
解 曲线绕轴旋转一周所生的曲面
添加辅助平面，取右侧，记与围成区域为，由Gauss公式，得

（）
.
8. 设对于半空间内任意光滑曲面，都有

其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.
解 由题设和Gauss公式，得

其中为围成的有界闭区域，当有向曲面的法向量指向外侧时，取“”号，当有向曲面的法向量指向内侧时，取“”号，由的任意性，知
（）
即 （）
这是一阶线性微分方程，解得 ，
由于
所以必有 ，
从而 ，
所以 .
9. 计算曲线积分，其中是平面
与柱面的交线，从轴的正向看去，为逆时针方向.
解 记为平面上所围成部分的上侧， 在坐标面上投影区域为，则由Stokes公式，得

.