2018-2019学年江西省南昌市第十中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析版.doc

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江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题
评卷人
得分

一、单选题
1．已知复数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【详解】
解：i，则复数z的虚部为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为命题“”的否定是“”,
所以命题“”的否定是，选D.
3．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．4 B． C． D．4x
【答案】B
【解析】
【分析】
先由变化量的定义得到，再根据平均变化率的计算公式对化简,即可求出结果.
【详解】
因为，
所以 +4.
故选B
【点睛】
本题主要考查平均变化率的计算，结合概念，即可求解，属于基础题型.
4．若“”为真命题，则（ ）
A．、均为真命题 B．、均为假命题
C．、中至少有一个为真命题 D．、中至多有一个为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】
由“”为真命题，可得为假命题，进而可得结果.
【详解】
因为“”为真命题，所以为假命题，所以、中至多有一个为真命题.
故选D
【点睛】
本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.
5．已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据的图象可知，当或时，，当时，，所以函数或时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故选A.
考点：函数的单调性与导数的关系.
6．与直线平行的抛物线的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设切点坐标，对函数求导，再由切线与直线平行，求出切点坐标，进而可得切线方程.
【详解】
设切点坐标为，对求导得，所以在点处的切线斜率为，
又因所求切线与直线平行，所以，故，所以，
所以所求切线方程为，即.
故选D
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求曲线的切线方程，属于常考题型.
7．是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先构造函数，然后对其求导，根据题意，判断其单调性，即可得出结果.
【详解】
令，则，因为恒成立，
所以恒成立，所以函数在R上单调递增；
因为，所以即.
故选B
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，先构造函数，再由导数的方法对函数求导，判断出其单调性，即可得出结果，属于常考题型.
8．设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为F(2,0),所以c=2,再由离心率为，所以m=4,所以所以.
考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.
点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.
视频
9．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.
10．由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】
考点：直线与圆的位置关系．
分析：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线y=x+1的距离d，
切线长的最小值为 ．
解：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心（3，-2）到直线y=x+1的距离d，
d==3，故切线长的最小值为==，
故选 A．
11．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）＝0有两个不等实根，求解即可．
【详解】
解：函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，
所以f′（x）＝3x2+2ax+（a+6），
因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根，
即3x2+2ax+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，
解得：a＜﹣3或a＞6．
故选：D．
【点睛】
本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根是解题的关键．
12．已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为 ，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据面积，有，化简得，两边除以，得，解得.
考点：双曲线离心率．
【思路点晴】由于“以为直径的圆内切于菱形,”故圆的半径为，菱形的对角线相互垂直平分，故可以计算其中一个直角三角形的面积，由此建立方程，两边平方并消去可以得到，两边除以，得，然后第一步只能求出，两边开方可得.

第II卷（非选择题)
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评卷人
得分

二、填空题
13．已知若均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a＋b＝ .
【答案】
【解析】试题分析：由已知，数列中项的构成规律为，所以，中.
考点：1.归纳推理；2.数列的通项.
14．“若，则”为________命题．(填“真”、“假”)
【答案】假
【解析】
【分析】
由原命题的逆否命题的真假来判断即可.
【详解】
因为命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，
显然“若，则”为假命题，所以原命题也为假命题.
故答案为：假
【点睛】
本题主要考查四种命题之间的关系，以及命题真假的判定，由互为逆否命题的两个命题真假性一致，即可求出结果，属于基础题型.
15．椭圆的左右焦点为，，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为_______.
【答案】16
【解析】
【分析】
由椭圆的定义，可得，进而可求出结果.
【详解】
因为，为椭圆的左右焦点，又一直线过交椭圆于A、B两点，
所以有：,,
所以的周长为.
故答案为16
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型.
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
视频

评卷人
得分

三、解答题
17．已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件
（2）当实数时，是的必要条件
【解析】
【分析】
（1）解不等式得到集合；再由是的充要条件，可得，进而可得出结果；
（2）要使是的必要条件，则 ，然后讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）.
要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则 ，
当时，，解得；
当时，，解得
要使 ，则有，解得，所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．
【点睛】
本题主要考查集合之间的关系，以及充分条件和必要条件，根据题中条件，确定集合之间的关系，即可求解，属于基础题型.
18．已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，得到，利用即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离从而可求得m的值
试题解析：（1）把直线方程代入椭圆方程得，
即． ， 解得
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为， ，由（1）得， ．
根据弦长公式得 ： ．解得．方程为．
考点：直线与椭圆相交问题及相交弦问题
19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程与的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为， 与相交于两点,求的面积.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）由曲线表示过原点，且倾斜角为的直线，即可直接写出其极坐标方程；由极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可求出曲线的直角坐标方程；
（2）将直线极坐标方程代入曲线的极坐标方程，即可求出，进而可求出的面积.
【详解】
解：（1）曲线表示过原点，且倾斜角为的直线,从而其极坐标方程.
由得，得，即曲线的直角坐标方程为．
（2）将代入曲线的极坐标方程，得，
故，
因为点P的极坐标为，所以点P到AB的距离为，
所以
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可求解；考查由极坐标的方法求弦长的问题，联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，即可求解，属于基础题型.
20．已知函数，在点处的切线方程为，求
（1）实数a，b的值； 
（2）函数的单调区间以及在区间上的最值．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据切线方程求出切线的斜率，可得到切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值与斜率关系，即可列方程求出的值；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值，比较极值与区间端点值的函数值可求解闭区间的函数的最值.
试题解析：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，
所以切线斜率是k=﹣3
且9×1+3f（1）﹣10=0，
求得，即点又函数，则f′（x）=x2﹣a所以依题意得解得
（2）由（1）知
所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2
当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜﹣2；当f′（x）＜0⇒﹣2＜x＜2
所以函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2），（2，+∞）
单调递减区间是（﹣2，2）又x∈[0，3]
所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：
X
0
（0，2）
2
（2，3）
3
f′（x）

﹣
0
+
0
f（x）
4
↘
极小值
↗
1

所以当x∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，

21．如图抛物线顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点，

（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．
【答案】（1）（2）6
【解析】
【分析】
（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】
（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
22．设函数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【答案】（1）是的极大值点，无极小值点（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值（2）证明不等式，一般利用函数最值进行证明，而构造恰当的函数是解题的关键与难点，因为,
在上最多有一个零点，设,则在上单调递减，在上单调递增，所以，而，，因此
试题解析：（1）由题意得，
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
所以是的极大值点，无极小值点
（2）证明：令，
则，
令，则因为，
所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，
又因为，所以存在唯一的使得，
且当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而，
由得即，两边取对数得：，
所以，从而证得．
考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式

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