资源描述
1.已知正交矩阵P使得，则
2．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=
3．设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：
4． 若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不为3，则t=
5．，则的全部根为：
1．n阶行列式的值为（ ）A B， C， D，
2．对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。
A左乘一个m阶初等矩阵 B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵 D右乘一个n阶初等矩阵
3．若A为m×n 矩阵，，。则（ ）。
A是维向量空间B， 是维向量空间 C，是m-r维向量空间 D，是n-r维向量空间
4．若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。
A， B， C， ， D，
5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A矩阵-AT为正交矩阵 B矩阵-为正交矩阵C矩阵A的行列式是实数D矩阵A的特征根是实数
1．若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)2．计算行列式。
3．设，求矩阵A-B。
4、求向量组的的秩。
5、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。
四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
六、设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。
一 填空题
（1） 2
-2
-5*220052.λ1···λn3.m=r(A)=r(A,B)< n 4.t=-8 5.1,2,-3
二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D
三 解答题(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1
所以det (E-)= det （E-A）· det （E+A） =0
（2）
(3)由AB=A-B，有，
（4）而 故秩为3。
（5）令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），则有：
解得： 所求的ω的坐标为
四． 解： 原方程组同解下面的方程组：
即令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
五．解：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
单位化：令，则若则。
六，证明证：设，
则，
于是：即：
但，故 =0。从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。
（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：
（2） 已知可逆矩阵P使得，则
（3） 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=
（4） 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =
（6） 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：
A乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D，右乘一个n阶初等矩阵
（2）若A为m×n 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合
A 是维向量空间B 是n-r维向量空间C是m-r维向量空间D A，B，C都不对
（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立
A， B， C， ， D，
（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：
A矩阵为正交矩阵B矩阵 -为正交矩阵C矩阵为正交矩阵D，矩阵 -为正交矩阵
（5）4n阶行列式的值为：A，1， B，-1 C， n D，-n
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A 3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
5. 设 计算det A
二、 证明题
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。
五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
六、（8分） 取何值时，方程组 有无数多个解？并求通解
七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。
1.rankA<rank(A|B)或者rankArank(A|B)2.3.t= 4. 5.0
二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A
三 解答题(1) 设向量在基下的坐标为，则 （2）
(3)
（4）
（5）
四 证明：
五、A=, | |= P= （7分）+ （8分）
六，证明
（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：
（2） 已知可逆矩阵P使得，则
（3） 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩r不为3，则r=
（4） 若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =
（1）将矩阵的第i列乘c相当于对A：
A左乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D右乘一个n阶初等矩阵
（2） 若A为m×n 矩阵，。集合则
A，是维向量空间 B 是n-r维向量空间 C是m-r维向量空间 D， A，B，C都不对
（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立
A， B， C， ， D， 都不对
（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：
A矩阵为初等矩阵B矩阵 -为初等矩阵 C矩阵为初等矩阵，D，矩阵 -为初等矩阵
（5）4n+2阶行列式的值为：A，1，B，-1 C， n D，-n
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A 3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
5. 设 计算det A
二、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。
五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
六、（8分） 取何值时，方程组无解？
七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。
二 填空题 每个四分
（1） rankA=rank(A|B)=n （2）（3）r=2 （4） 1（5）0
二 选择题(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B
三 解答题(1) 设向量在基下的坐标为，则
(2)
(3)
（4）
（5）
四 证明：
五、A=, (2分) | |=
P= （7分）2
七
1.
2. A
-
D）
A
(C)
A
-
A
(A)
T
T
(B)
3.设是维列向量,,阶方阵,，则在的个特征值中,必然________
(A) 有个特征值等于1(B) 有个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1(D) 没有1个特征值等于1
4.
5.
一定无解 可能有解 一定有唯一解 一定有无穷多解
1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则 =_____________
2. D中第二行元素的代数余子式的和=__________ ,其中D =
3. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为_________
4. 2阶行列式 ,其中阶矩阵
5. 设A=而2为正整数，则
三、计算题(每题9分,共54分)
1. 计算阶行列式
2. 求矩阵使
3. 设非齐次线性方程组有三个解向量＝＝＝
求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中为已知常数)
4. 已知实二次型 =经过正交
变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵
5. 设线性方程组为 ，问,各取何值时，线性
方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解
6. 在四元实向量构成的线性空间中,求使为的基,并求由基的过渡矩阵,其中
1. 设 是欧氏空间的标准正交基,证明:
也是的标准正交基
2. 设是元实二次型,有维实列向量,使，, 证明:存在维列实向量,使=0
一、选择题1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B)
二、填空题1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.
三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式
= =
2.
3. 由题设条件知,,是的三个解，因此－＝， －＝
是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵的秩2
又中有二阶子式，2，因此＝2 3分
因此－，－为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解：
＋， 为任意常数 9分
4.的矩阵有特征值
由 2分
A对应的线性无关的特征向量
， ， A对应的单位正交特征向量 ，，
于是正交变换X = QY中的正交矩阵
= 9分
5. 3分
当4时，方程组有唯一解
当4，2时，方程组无解 5分
当4，2时，＝3 < 4，方程组有无穷多组解,其通解为
＋， 为任意常数 9分
6. 解：设,,则 ， 设 ,则
1. 证：因为
所以是V的标准正交基。
2. 证:是不定二次型,设的正惯性指数为P,的秩为r，则, 2 分
可经非退化线性变换化为规范形=
取 ,则有 使=
1．设事件A和B的概率为 则可能为（ D ）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6
2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ D）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ A ）(A) ; (B) ; (C) (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ C ）(A) 0.1;(B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ C ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对
1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则=_0.85_.
2．设随机变量，则n=______.
3．随机变量ξ的期望为，标准差为，则=_______.
4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.
5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.
三．将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.
四．设随机变量ξ的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.
五．设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
0.08
0.11
ξ＝2
0.07
0.01
0.11
0.10
六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？
七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.
八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)
九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.
某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.
十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824
假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：,)解：-------------------2分
已知，，n=5,
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二．1．0.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分
（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法----------------------------------------------------7分
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法，因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故--------------------------------------------------10分
四．解：（1）（2）
（3）
五．解：（1）ξ的边缘分布为 η的边缘分布为
因,故ξ与η不相互独立-------5分
（2）的分布列为
0
1
2
4
5
8
10
P
0.39
0.03
0.17
0.09
0.11
0.11
0.10
因此，另解：若ξ与η相互独立,则应有
P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);
P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，
但 ，故ξ与η不相互独立。
六．解：由全概率公式及Bayes公式
P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3
七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。
于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.7×0.3=0.21; P(A3)=0.72×0.3=0.147 P(A4)= 0.73×0.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401
在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。
因此，
八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n很大
B(n,p)近似与N(np,npq)
由条件有因，故，解得n=2123,
九．证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).
故与C相互独立.
1．设,,为随机事件，则与是互不相。
2．是正态随机变量的分布函数，则.
3．若随机变量与独立，它们取1与的概率均为，则.
4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布
5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计.
6．在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一.
7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的.
（1）设，则下面正确的等式是 。
（ａ）（ｂ）；（ｃ）（ｄ）
（2）离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是 。
（ａ）且（ｂ）且（ｃ）且（ｄ）且.
（3）设个电子管的寿命()独立同分布，且()，则个电子管的平均寿命的方差 .（ａ）；（ｂ）；（ｃ）；（ｄ）.
（4）设为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有 。
（ａ）；（ｂ）；（ｃ）（ｄ）.
（5）设为总体(已知)的一个样本，为样本均值，则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计量的是 。（ａ）（ｂ）
（ｃ）（ｄ）.
（1）设随机事件,互不相容，且，，则 .
（2）设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量的概率密度函数为 .
（3）设随机变量，则概率＝ .
（4）设随机变量的联合分布律为
若，则 .
（5）设（）是来自正态分布的样本，
当＝ 时， 服从分布，＝ .
（6）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为： .
1. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.
2. 设随机变量的联合密度函数
求 (1) 常数A ; (2) 条件密度函数; (3) 讨论与的相关性.
3．设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，试求的密度函数.
4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.
5．设总体的概率分布列为：
0 1 2 3
p2 2 p(1-p) p2 1-2p
其中 () 是未知参数. 利用总体的如下样本值：
1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .
6．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650C
设数据服从正态分布，以 % 的水平作如下检验：
(1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C？(2) 测定值的标准差是否不超过20C？
五、证明题（6分）设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为6.
是 是 非 非 是 是 是 .（ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）1. 4/7 . 2.
3. 0.8446 . 4. 0.1 . 5. 1/3 ; 2 . 6. 上限为 6.356 .
1. 任取2箱都是民用口罩， 丢失的一箱为k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.
2. (1) (２)
当时，
(３)
所以与不相关.
3.
得z轴上的分界点０与２
4. 设
, 经检验后的次品数 ，，，
由中心极定理，近似地有
5. (1) ， 令 ，得 的矩估计为 .
(2) 似然函数为
令， . 由 ，故舍去
所以的极大似然估计值为
6. 由样本得 ， .
(1) 要检验的假设为 检验用的统计量 ，
拒绝域为 . ，落在拒绝域内，
故拒绝原假设，即不能认为结果符合公布的数字12600C. (2) 要检验的假设为
检验用的统计量 ，拒绝域为
,落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为测定值的标准差不超过20C.
由题设 ，，
，
所以 仍服从泊松分布，参数为6.
1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件. （ ）
2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定. （ ）
3．若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则. （ ）
4．设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望未必存在.
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少. 1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得 次成功的概率为 . （ａ）（ｂ）（ｃ）；（ｄ）.
2. 离散随机变量的分布函数为，且，则 .
（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.
3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数 .
（ａ）是连续函数（ｂ）恰好有一个间断点（ｃ）是阶梯函数（ｄ）至少有两个间断点.
4. 设随机变量的方差相关系数则方差 .
（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .
5. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是 .
（ａ）（ｂ）；（ｃ）；（ｄ）.
1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为
2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 .
3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则＝ .
4. 设二维随机变量的联合密度函数为
则条件密度函数为当 时
5. 设, 则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .
6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方
差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 .
7. 设的分布律为
1 2 3
已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 .
1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.
2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数.
3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
4．设总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为s 的无偏估计量.
5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （）
（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验.
1.设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.
1. 是. 在几何概型中，命题“当且仅当是不可能事件” 是不成立的.
2. 非. 改变密度函数在个别点上的函数值，不会改变分布函数的取值.
3. 非. 由题设条件可得出，根本不能推出.
4. 非. 由题设条件可可以证明 绝对收敛，即必存在.
5. 是. 由关系式 (等式右端为定值) 可予以证明.
1.（ａ） 2.（ｄ） 3.（ｂ） 4.（ｃ） 5.（ｄ）. 1. 19/396 . 2 . . 3. 0.9772 .
4. 当时 5. ]. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .
1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件.
2. 解一 时，，从而 ；时，
所以
解二 时， 时
所以
解三 设
随机变量的联合密度为
所以 .
3. 设 为第i周的销售量, ， 则一年的销售量为 ，, .
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
.
4. 注意到 的相互独立性
5. (1) 要检验的假设为 检验用的统计量 ，
拒绝域为 . ，落在拒绝域内，
故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg .
(2) 要检验的假设为 检验用的统计量 ，拒绝域为 或
， , 落在拒绝域内，
故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 证一 由题设知
0 1 0 1 2
；；
；；
；.
所以 与相互独立. 证二 由题设可得与的联合分布
0 1 2
0
1
联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 与相互独立.
1．设、是随机事件，，则与相互独立.
2．是正态随机变量的分布函数，则. 3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. 4. 与相互独立且都服从指数分布，则.
5. 是与相互独立的必要而非充分的条件.
6. 样本均值的平方是总体期望平方的无偏估计.7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的.
1. 设随机变量，对给定的，数满足
. 若，则 .； ； ； .
2. 设随机变量相互独立，,，则 .
；.
3. 设随机变量独立同分布，且方差为.令，则 .
； .
4. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则 .
（A）.
5. 在为原假设，为备择假设的假设检验中，若显著性水平为，则 .
1.设为两随机事件，已知，则.
2. 设随机变量，则的数学期望为 .
3. 随机变量相互独立且服从同一分布，，，则.
4. 随机变量，已知，则.
5. 设总体，为未知参数，则的置信度为的置信区间为
6. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，服从分布
1. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为，
（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.
2. 设二维随机变量的联合密度函数， 求
（1）的边缘密度函数；（2）当时，的条件密度函数（3）.
3. 设二维随机变量的联合密度函数,求 的密度函数.
4 某厂生产某产品1000件，其价格为元/件，其使用寿命（单位：天）的
分布密度为
现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算
.1.若保费元/件, 保险公司亏本的概率？2.试确定保费，使保险公司亏本的概率不超过.
）
5. 已知随机变量的密度函数为，
其中均为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量.
6. 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得. 问这天自动包装机工作是否正常（）？即检验（1） ； （2）.
设事件同时发生必导致事件发生，证明：
是 是 非 非 是 非 是 . C B A B C . 1. 2.. 0.331 3. 5 / 9 4. 7 / 8 (或0.875) ；
5. 6..
解: 设分别表示 “甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件, 由题意知相互独立, 令表示“恰有2位不及格”, 则
2. 解: (1) 当时 故
当时， 故
(2) 当时, , 故
(3) .
3.解: 由题意知 相互独立 , 且 与 .
当时，
故
3.解：的分布函数 于是
记
则，，由中心极限定理，，
于是（1）若保费元/件，则
（2）若保费为，则
故
3.解:
故 的矩估计量为 似然函数,
故
6. 解: (1) . 若成立, 统计量.
由备择假设知，拒绝域的形式为，由知.
故拒绝域为 . 代入数据得的观察值， 因，故接受. （2）. 由备择假设知，拒绝域的形式为.
在成立的情况下，。由知，
取，则.
故拒绝域为 . 代入数据得，故应拒绝.
五.（6分） 证明：由题设条件知,
1．设，则随机事件与任何随机事件一定相互独立. （ ）
2．连续随机变量的密度函数与其分布函数未必相互惟一确定.
3．若与都是标准正态随机变量，则.
4. 设有分布律：，则的期望存在. （ ）
5. 设随机变量序列相互独立，且均服从参数为的指数分布，则依概率收敛于.
6. 区间估计的置信度的提高会降低区间估计的精确度.
7．在假设检验中，显著性水平是指. （ ）
1. 设连续随机变量的密度函数满足，是的分布函数，则 .
； .
2. 设二维随机变量服从上的均匀分布，的区域由曲线与所围，则的联合概率密度函数为 .； ；
； .
3. 设，，则方差(A) (B).
4. 设总体，是来自总体的样本，为样本均值，则 .
； .
5. 设总体，为未知参数，样本的方差为，对假设检验，水平为的拒绝域是 .
.
1．已知,,, 则 .
2．设随机变量与相互独立，且都服从上的均匀分布，则的分布函数 .
3. 设，设，则其数学期望 .
4. 设随机变量，由切比雪夫不等式知，概率的取值区间为 与 之间.
5. 设是来自总体分布的样本，是样本均值，则 ， .
1. 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次，
(1 ) 求：第二次才取到新球的概率;(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.
2． “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座，
（1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；
（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.
3．设随机变量在上随机地取值，服从均匀分布，当观察到时，在区间内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求：(1 ) 的联合密度函数； (2 ) 的密度函数.
4． 学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？（用中心极限定理）
5． 设总体,（q 未知）且为来自的一个样本，求： 的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.
6． 自动包装机加工袋装食盐
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