常见递推数列通项的求解方法3.doc

个人收集整理 勿做商业用途
个性化教学辅导教案

学科:数学 任课教师:叶雷 授课时间：2011 年 月 日（星期 ） : ~ ：
姓名
阳丰泽
年级
高三
性别
男
教学课题
常见递推数列通项的求解方法
教学
目标
递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决,同学们应归纳、总结它们的规律,通过练习,巩固掌握它.
重点
难点

利用多种方法求数列和。
课前检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
常见递推数列通项的求解方法

类型一：（可以求和）累加法
【例1】在数列中，已知=1，当时,有，求数列的通项公式。
解析：
上述个等式相加可得： ， .
评注:一般情况下，累加法里只有n—1个等式相加。

1、已知，(），求.
2、已知数列，=2，=+3+2，求.
3、已知数列满足,求数列的通项公式.
4、已知中，，求.
5、已知,,求数列通项公式。
6、 已知数列满足求通项公式?
7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
9、已知数列满足,，求。
10、数列中，，(是常数，)，且成公比不为的等比数列．
（I)求的值；
（II)求的通项公式．
11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数,则　 　；当时，　　　　　（用表示）．

类型二： （可以求积）累积法
【例1】在数列中，已知有，()求数列的通项公式。
解析：。
又也满足上式； 。
评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。

1、 已知,（），求。
2、已知数列满足，，求.
3、已知中，，且，求数列的通项公式。
4、已知， ，求.
5、已知，,求数列通项公式.
6、已知数列满足，求通项公式?
7、已知数列满足，求数列的通项公式。
8、已知数列｛an},满足a1=1， （n≥2),求｛an｝。
9、设{an｝是首项为1的正项数列, 且（n + 1）a— na+an+1·an = 0 (n = 1， 2， 3, …）,求｛an｝.
10、数列的前n项和为，且,＝，求数列的通项公式。

类型三：待定常数法
可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。
【例1】 在数列中， ，当时，有,求数列的通项公式。
解析：设，则，
，于是，
是以为首项，以3为公比的等比数列.
。

1、 在数列中， ，,求数列的通项公式。
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{a｝中，a=1，a= a+ 1求通项a．
4、在数列（不是常数数列)中，且，求数列的通项公式.
5、在数列{an}中，求.
6、已知数列满足求数列的通项公式.
7、设二次方程x—x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用表示a；
(2）求证：数列是等比数列；
（3)当时,求数列的通项公式.
8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？

类型四：
可将其转化为--—-—（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。
【例1】 在数列中， ，，且求数列的通项公式。
解析：令
得方程组 解得 。
则数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ,
。
。
评注：在中，若A+B+C=0，则一定可以构造为等比数列.
【例2】 已知、,，求
解析：令，整理得,

；
两边同除以得，,
令，
令，得
，，
故是以为首项，为公比的等比数列。
，即，
得 。

1、已知数列中，,，，求。
2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.
3、已知数列中,是其前项和，并且,
⑴设数列，求证：数列是等比数列;
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
4、数列：, ，求数列的通项公式。

类型五： （且）
一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。
【例1】 设在数列中， ,求数列的通项公式。
解析：设 ,
展开后比较得
这时
是以3为首项，以为公比的等比数列， ，
即，.
【例2】 在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：
，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。
即
【例3】 在数列中, ，求数列的通项公式。
解析：在中，先取掉，得
令,得,即；
然后再加上得； ,
两边同除以,得
是以为首项，1为公差的等差数列。
， 。
评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。
【例4】 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：在中取掉待定
令，则
， ;再加上得，
，整理得：，
令，则,
令 ;
即；数列是以为首项，为公比的等比数列。
,即；整理得

1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。
2、已知数列中，点在直线上，其中
（1） 令求证：数列是等比数列；
（2） 求数列的通项 。
3、已知，，求.
4、设数列:，求.
5、已知数列满足，求通项。
6、在数列中，,求通项公式。
7、已知数列中，,，求。
8、已知数列{a｝，a=1， n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a．
9、已知数列满足，求数列的通项公式。
10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
11、已知数列满足,求。
12、 已知数列满足，，求数列的通项公式。
13、已知数列满足，求数列的通项公式。
14、 已知，,求。
15、 已知中，,，求.
16、已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证:数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。

类型六：（）倒数法
【例1】 已知,，求.
解析：两边取倒数得:，设则；
令;展开后得，；；
是以为首项，为公比的等比数列。
；即，得。
评注：去倒数后，一般需构造新的等差(比)数列。

1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式.
2、已知数列{｝满足时，,求通项公式。
3、已知数列｛an}满足：,求数列｛an｝的通项公式。
4、设数列满足求
5、已知数列｛}满足a1=1，，求.
6、在数列中，，求数列的通项公式。
7、若数列｛a｝中,a=1，a= n∈N，求通项a．

类型七：
【例1】 已知数列前n项和.
求与的关系；(2）求通项公式。
解析：时，，得；
时,；得。
（2）在上式中两边同乘以得；
是以为首项，2为公差的等差数列,
；得。

1、数列｛an｝的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn。求数列{an｝的通项an。
2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式。
3、已知数列｛an}的前n项和为Sn = 3n – 2， 求数列｛an}的通项公式。
4、设正整数{an}的前n项和Sn =,求数列｛an}的通项公式.
5、如果数列｛an｝的前n项的和Sn =，求这个数列的通项公式.
6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？

类型八:周期型
【例1】 若数列满足，若，则的值为___________。
解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为：；
我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期，.
评注:有些题目，表面看起来无从下手,但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题迎刃而解.

1、已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
2、 在数列中，

类型九、利用数学归纳法求通项公式
【例1】 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：根据递推关系和得,
所以猜测,下面用数学归纳法证明它；
时成立（已证明）
假设时,命题成立，即,
则时，=
=。
时命题成立；
由可知命题对所有的均成立。
评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。

1。 设数列满足：，且，则的一个通项公式为 .
2、已知是由非负整数组成的数列，满足，，（n=3,4，5…）。
（1） 求；
（2)证明（n=3，4，5…)；（数学归纳法证明)
（3）求的通项公式及前n项的和.

3、已知数列中=，.
(1)计算，；
(2)猜想通项公式,并且数学归纳法证明.

课后反思:

课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______;
教学需:加快□；保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固
作业_____题； 巩固复习____________________ ； 预习布置_____________________
签字
教学组长签字: 学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方：
老师想知道的事情：
老师的建议：

11