资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
2．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（ ）度．
A．42 B．48 C．46 D．50
3．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（ ）
A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝3
4．关于的一元二次方程，则的条件是( )
A． B． C． D．
5．将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
6．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )
A．点M在⊙C上 B．点M在⊙C内 C．点M在⊙C外 D．点M不在⊙C内
8．已知二次函数y=x2+2x-m与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜-1 B．m＞-1 C．m＜-1且m≠0 D．m＞-1且m≠0
9．已知正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数的图象与轴的交点个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
10．若x=2y，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线y=（x-1）2-7的对称轴为直线_________.
12．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．
13．请写出“两个根分别是2，-2”的一个一元二次方程：_______________
14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．
15．如图，已知∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE，AD＝3，AE＝2，CE＝4，则BD为_____．
16．若抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为________.
17．已知是方程的根，则代数式的值为__________.
18．当时，函数的最大值是8则=_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，矩形中，，以为直径作.
（1）证明:是的切线；
（2）若，连接，求阴影部分的面积.(结果保留)
20．（6分）先化简，再求值．
，请从一元二次方程x2+2x-3=0的两个根中选择一个你喜欢的求值．
21．（6分）在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A，B，
(1)求a、b满足的关系式及c的值，
(2)当x<0时，若y=a+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，
(3)如图，当a=−1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，
22．（8分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）当y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
23．（8分）已知抛物线.
（1）若，，，求该抛物线与轴的交点坐标；
（2）若，且抛物线在区间上的最小值是-3，求的值.
24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
25．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点.
（1）填空：的值为 ，的值为 ；
（2）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；
26．（10分）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝的图象上，OA＝1，OC＝6，试求出正方形ADEF的边长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据相似比为2, B′的坐标为（﹣6，0），判断A′在第三象限即可解题.
【详解】解：由题可知O A′：OA=2:1,
∵B′的坐标为（﹣6，0），
∴A′在第三象限,
∴A′（﹣2，﹣4）,
故选A.
【点睛】
本题考查了图形的位似,属于简单题,确定A′的象限是解题关键.
2、A
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=48°，
∴∠ACB=90°-∠B=42°；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3、D
【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．
【详解】解：∵b2＝4a，
∴，
∴
∵，
∴y最小值＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.
4、C
【解析】根据一元二次方程的定义即可得．
【详解】由一元二次方程的定义得
解得
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．
5、D
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象的平移变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
6、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
7、A
【解析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】如图，
∵由勾股定理得AB==10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM=5cm，
∴d=r，
所以点M在⊙C上，
故选A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．
8、A
【分析】函数y=x2+2x-m的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△＜0，即可求解．
【详解】令y＝0，即：x2+2x-m＝0，
△＝b2−4ac＝4+4m＜0，
即：m＜-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用△＝b2−4ac和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△＞0时，函数与x轴有2个交点，当△＝0时，函数与x轴有1个交点，当△＜0时，函数与x轴无交点．
9、A
【分析】根据正比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据△的正负，即可判断二次函数的图象与轴的交点个数，本题得以解决．
【详解】∵正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，
∴k＞0，
∵二次函数为
∴△＝[−2（k＋1）]2−4×1×（k2−1）＝8k＋8＞0，
∴二次函数为与轴的交点个数为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与x轴的交点个数和正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式来解答．
10、A
【解析】将x=2y代入中化简后即可得到答案.
【详解】将x=2y代入得： ，
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式代入求值，正确计算即可.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x=1
【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴是x=h即可确定所以抛物线y=（x-1）2-7的对称轴．
【详解】解：∵y=（x-1）2-7
∴对称轴是x=1
故填空答案：x=1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟记二次函数的对称轴，顶点坐标是解答此题的关键．
12、6π
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为6π
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.
13、
【分析】可先分别写出解为2,-2的一元一次方程（此一元一次方程的等式右边为0），然后逆运用因式分解法即可.
【详解】解：因为x+2=0的解为x=-2,x-2=0的解为x=2，
所以的两个根分别是2，-2，
可化为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程.因式分解法是令等式的一边为0，另一边分解为两个一次因式乘积的形式，这两个一次因式为0时的解为一元二次方程的两个解.而本题可先分别写出两个值为0时解为2和-2的一次因式，这两个一次因式的乘积即可作为一元二次方程等式的一边，等式的另外一边为0.
14、5.
【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE==5.
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
15、1
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∴BD＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质定理，找对应角或对应边的比值是解题的关键.
16、±1或0
【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2-bx+9的顶点在坐标轴上，所以分两种情况列式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴顶点坐标为（，），
当抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上时，
=0，
解得b=±1．
当抛物线y=x2-bx+9的顶点在y轴上时，
=0，
解得b=0，
故答案为：±1或0
【点睛】
此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．
17、1
【分析】把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，
所以．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题时运用整体代入思想．
18、或
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向分类讨论决定取值，列出关于a的方程，即可求解；
【详解】解：函数，
则对称轴为x=2，对称轴在范围内，
当a＜0时，开口向下，有最大值，最大值在x=2处取得，
即=8，解得a=；
当a＞0时，开口向上，最大值在x=-3处取得，
即=8，解得a=；
故答案为：或；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）过O点作OE⊥CD于E点，证四边形OEBC为正方形，可得OE为半径，问题即可得证.
（2）连接BE，S阴影=S△BED+（S扇形OBE-S△BOE），代入数值求解即可.
【详解】（1）过O点作OE⊥CD于E点，则∠OEC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABC=∠BCE=90°
∴四边形OECB为矩形
又AB=2BC，AB=2OB
∴OB=BC
∴四边形OBCE为正方形
∴OE=OB
又OE⊥CD
故CD为O的切线.
（2）连接BE,
由（1）可得：四边形OBCE为正方形
∴OB=OE=EC=OB=3，DC=AB=6，DE=3
∴S阴影=S△BED+（S扇形OBE-S△BOE）=
【点睛】
本题考查的是圆的切线及扇形的面积计算，掌握圆的切线的证明方法及扇形的面积计算公式是关键.
20、，
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再把使分式有意义的方程的根代入即可求解．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
∵x2+2x-3=0的两根是-3，1，
又∵x不能为1
所以把x=﹣3代入，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，注意代入数值时，要选择使分式有意义的数．
21、（1）b=3a+1；c=3；（2）；（3）点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.
【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴，而b=3a+1，即：，即可求解；
（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，由S△PAB=，则=1，即可求解．
【详解】解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=，
故点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，
则函数表达式为：y=ax2+bx+3，
将点A坐标代入上式并整理得：b=3a+1；
（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴，
∵，
∴，
解得：，
∴a的取值范围为：；
（3）当a=时，b=3a+1=
二次函数表达式为：，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠PQH=45°，
S△PAB=×AB×PH=××PQ×=，
则PQ==1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为，
∴，
设点P（x，-x2-2x+3），则点Q（x，x+3），
即：-x2-2x+3-x-3=±1，
解得：或；
∴点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22、（1）4；（2）x＞3或x＜1．
【分析】（1）四边形ABCD的面积＝×BD×（xC﹣xA）＝×2×（3+1）＝4；
（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，即可求解．
【详解】（1）函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，
则点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；
四边形ABCD的面积＝×BD×（xC﹣xA）＝×2×（3+1）＝4；
（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，
故答案为：x＞3或x＜1．
【点睛】
本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD的面积＝×BD×（xC﹣xA）.
23、（1）（-1，0），；（2）b=7或．
【分析】（1）将，，代入解析式，然后令y=0，求x的值，使问题得解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b≤2和-b＞2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．
【详解】解：（1）当，，时
当y=0时，
解得：
∴该抛物线与x轴的交点为（-1,0），
（2）当，时，
∴抛物线的对称轴是x==-b．
当-b≤-2，即b≥2时，在区间上，y随x增大而增大
∴当x=-2时，y最小为
解得：b=7；
当-2＜-b≤2时，即-2≤b＜2，在区间上
当x=-b时，y最小为
解得：b=（不合题意）或b=(不合题意)
当-b＞2，即b＜-2时，在区间上，y随x增大而减小
∴当x=2时，y最小为
解得：b=．
综上，b=7或．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）DE=．
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【详解】（1）∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝1．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．
25、（1）3，12；（2）D的坐标为
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.
【详解】（1）把点A(4,n)代入一次函数,可得；
把点A(4,3)代入反比例函数,可得，
解得k=12.
（2）∵一次函数与轴相交于点B，
由，解得，
∴点B的坐标为（2，0）
如图，过点A作轴，垂足为E，
过点D作轴，垂足为F，
∵A（4，3），B(2，0)
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴ BE=OE－OB=4－2=2
在中，.
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴.
∵轴，轴，
∴.
在与中， ，，AB=CD，
∴，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴.
∴点D的坐标为
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
26、1．
【分析】根据OA、OC的长度结合矩形的性质即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形ADEF的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵OA=1，OC=2，四边形OABC是矩形，
∴点B的坐标为（1，2），
∵反比例函数y=的图象过点B，
∴k=1×2=2．
设正方形ADEF的边长为a（a＞0），
则点E的坐标为（1+a，a），
∵反比例函数y=的图象过点E，
∴a（1+a）=2，
解得：a=1或a=-3（舍去），
∴正方形ADEF的边长为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解题的关键．
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