资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）
A．45° B．15° C．10° D．125°
2．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
3．如图，、是的两条弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
5．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m≤5 C．m＞2 D．m＜5
7．下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
8．如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（ ）
A．200tan20°米 B．米 C．200sin20°米 D．200cos20°米
9．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④同弧所对的圆周角相等；⑤ 90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为，拱顶距水面，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为___________．
13．如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为________.
14．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是_____．
15．如图，，如果，，，那么___________．
16．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
17．如图，圆是锐角的外接圆，是弧的中点，交于点，的平分线交于点，过点的切线交的延长线于点，连接，则有下列结论：①点是的重心；②；③；④，其中正确结论的序号是__________．
18．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（操作发现）
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．
（问题解决）
（3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
20．（6分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为，为抛物线上第二象限的一个动点．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）当点在运动过程中，求四边形面积最大时的值及此时点的坐标．
21．（6分）化简：（1）；
（2）．
22．（8分）已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．
24．（8分）抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC．
（1）如图1，求直线BC的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（10分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
26．（10分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.
【详解】是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.
2、B
【分析】根据题意知，，代入数据，即可求解．
【详解】由题意知：一元二次方程x2+2x+k＝1有两个不相等的实数根，
∴
解得
∴．
∴k的最大整数是1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．
3、C
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出结论．
【详解】解：∵
∴∠BOC=2∠A=60°
故选C．
【点睛】
此题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
4、D
【详解】解： ∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
5、C
【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．
故选C．
考点：动点问题的函数图象．
6、B
【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴b2﹣4ac＝1﹣4（）≥0，
解得：m≤5
故选：B．
【点睛】
此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键．
7、C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
8、C
【解析】解：∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=200sin20°．故选C．
9、C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
10、A
【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答．
【详解】①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，①错误；
②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同圆或等圆中不一定是等弧，②错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，③错误；
④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，④正确；
⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，⑤正确；
⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，⑥正确．
综上，正确的结论为③④⑤.
故选A．
【点睛】
本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、解：∠D=∠B或∠AED=∠C．
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．
故答案为∠D=∠B（答案不唯一）．
12、y=－0.04（x－10）2+4
【分析】根据题意设所求抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，由已知条件易知h和k的值，再把点C的坐标代入求出a的值即可；
【详解】解：设所求抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，
并假设拱桥顶为C，如图所示：
∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，
则C（10，4），A（0，0），B（20，0）
把A，B，C的坐标分别代入得a=-0.04，h=10，k=4
抛物线的解析式为y=-0.04（x-10）2+4.
故答案为y=－0.04（x－10）2+4.
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握并利用待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键．
13、
【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，
∵ABCD是圆内接正方形，，
∴，
∴，
∵AF⊥BE，
∴，
∴，
，
当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：
最小值是：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
14、1．
【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.
【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵I是△ABC的重心，
∴DI＝CD＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.
15、1
【分析】由于l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例得到，然后把数值代入求出DF．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴
，
即 ，
∴DE=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16、
【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴＝，
∴＝
解得x＝，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
17、②④
【分析】根据三角形重心的定义，即可判断①；连接OD，根据垂径定理和切线的性质定理，即可判断②；由∠ACD=∠BAD，∠CAF=∠BAF，得∠AFD=∠FAD，若，可得∠EAF=∠ADF=∠BAC，进而得，即可判断③；易证∆ACD~∆EAD，从而得，结合DF=DA，即可判断④．
【详解】∵是弧的中点，
∴∠ACD=∠BCD，即：CD是∠ACB的平分线，
又∵AF是的平分线，
∴点F不是的重心，
∴①不符合题意，
连接OD，
∵是弧的中点，
∴OD⊥AB，
∵PD与圆相切，
∴OD⊥PD，
∴，
∴②符合题意，
∵是弧的中点，
∴∠ACD=∠BAD，
∵AF是的平分线，
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠CAF+∠ACD =∠BAF+∠BAD，即：∠AFD=∠FAD，
若，则∠AFD=∠AEF，
∴∠AFD=∠AEF=∠FAD，
∴∠EAF=∠ADF=∠BAC，
∴．
即：只有当时，才有．
∴③不符合题意，
∵∠ACD=∠BAD，∠D=∠D，
∴∆ACD~∆EAD，
∴，
又∵∠AFD=∠FAD，
∴DF=DA，
∴，
∴④符合题意．
故答案是：②④．
【点睛】
本题主要考查圆的性质与相似三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质定理，是解题的关键．
18、
【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
三、解答题(共66分)
19、（1）如图，△AB′C′即为所求；见解析；（1）45°；（3）S△APC=.
【解析】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（1）利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【问题解决】
结论:PA1+PB1=PC1．
证法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
证法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．
【详解】（1）如图，△AB′C′即为所求；
（1）∵△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B=45°．
故答案为45°；
（3）如图②，
∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣110°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′= PC，即AP= PC
∵∠APC=90°，∴AP1+PC1=AC1 ， 即（PC）1+PC1=71 ， ∴PC=，
∴AP=，∴S△APC=AP•PC=
【点睛】
本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．
20、（1），(－1，4)；（2），P(，)
【解析】（1）根据题意将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式并写出其顶点坐标即可；
（2）根据题意设P点的坐标为（t，）(－3＜t＜0)，并用分割法将四边形的面积S四边形BCPA= S△OBC＋S△OAP＋S△OPC，得到二次函数运用配方法求得最值即可．
【详解】解：（1）∵该抛物线过点C(0，3)，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵与x轴交于点A和点B（1，0），其对称轴l为x=－1，
∴
∴
∴此抛物线的解析式为，
其顶点坐标为（－1，4）；
（2）如图：
可知A（－3，0），
∴OA＝3，OB＝1，OC＝3
设P点的坐标为（t，）(－3＜t＜0)
∴S四边形BCPA＝S△OBC＋S△OAP＋S△OPC
＝×OB×OC＋×OA×yP＋×xC×OC
＝×1×3＋×3×()＋×|t|×3
＝
＝
＝
∴当t＝时，四边形PABC的面积有最大值
∴P（，）.
【点睛】
本题考查二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法，注意求抛物线的最值的方法是配方法．
21、（1）；（2）
【分析】（1）由整式乘法进行化简，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先通分，然后计算分式乘法，再合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=；
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，整式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
22、（1）见解析；（2）1或－1
【分析】（1）根据因式分解法求出方程的两个解，再证明这两个解不相等即可；
（2）根据（1）中的两个解分类讨论即可．
【详解】（1）证明： 原方程可化为
或
，
∵
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，解得：m=1，即方程的另一个根为1；
当m=-1时，则另一个根为，
∴另一个根为1或－1
故答案为：1或－1．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程和根据一元二次方程的一个根求另一个根，掌握因式分解法解一元二次方程和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
23、（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；
（2）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
【点睛】
本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
24、（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）
【分析】（1）先求出点，，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；
（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）令，得，∴，．
∴ A（，0），B（，0）．
令，得．
∴C(0,3)．
设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得．
解得，．
所以直线BC的函数表达式为．
（2）过P作PD⊥轴交直线BC于M．
∵ 直线BC表达式为 ，
设点M的坐标为 ，则点P 的坐标为．
则．
∴．
∴此时，点P坐标为（，）．
根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，．
此时PG+GH+HF的最小值=．
∵ 点P坐标为（，），∴ 点的坐标为（，）．
∵ 点F是线段BC的中点，
∴ 点F的坐标为（，）．
∴ 点的坐标为（，）．
∵ 点，P两点的横坐相同，∴⊥轴．
∵ ，P两点关于轴对称，∴⊥轴．
∴ ．
∴．
即点Q按照要求经过的最短路径长为．
（3）如图2，在抛物线中，
令，
，
或，
由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，，
设点，
过点作轴交于，
直线的解析式为，
，
的面积等于的面积，
，
由（2）知，，
，
，
或或或（舍，
，或，或，．
综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用轴对称确定最短路径，平移的性质，解绝对值方程，解本题的关键是确定出和．
25、（1）剩余木料的面积为6dm1；（1）1．
【分析】（1）先确定两个正方形的边长，然后结合图形解答即可；
（1）估算 和 的大小，结合题意解答即可.
【详解】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm1和31dm1，
∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，
∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm1）；
（1）4＜3＜4.5，1＜＜1，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出1块这样的木条，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是二次根式的应用，掌握无理数的估算方法是解答本题的关键.
26、 (1)、证明过程见解析；(2)、±1．
【分析】(1)、首先得出方程的根的判别式，然后利用配方法得出非负数，从而得出答案；(2)、根据公式法得出方程的解，然后根据解为整数得出k的值.
【详解】(1)、△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2 ∵（3k-1）2≥0 ∴△≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
(2)、kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0） 解得：x=， x1=，x2=3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为和3，
根据题意得为整数， 所以整数k为±1．
考点：二次函数的性质
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