资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2
2．若一个三角形的两条边的长度分别为2和4，且第三条边的长度是方程的解，则它的周长是( )
A．10 B．8或10 C．8 D．6
3．若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，，为中点，是上一点，为上一点，且，，交于点，关于下列结论，正确序号的选项是（ ）
①，②，③④
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2
6．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（ ）
A．32 B．28 C．30 D．36
7．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的周长等于（ ）
A．40 B． C．24 D．20
8．如图，点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，且，．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形内的概率是( )
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
10．下列实数中，有理数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣1 D．π
11．二次函数与的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
A． B．且 C． D．且
12．如图，的直径，弦于．若，则的长是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示的网格是正方形网格，△和△的顶点都是网格线交点，那么∠∠_________°．
14．将数12500000用科学计数法表示为__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点,连接，则的面积为_______.
16．从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是_________．
17．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________．
18．一元二次方程5x2﹣1＝4x的一次项系数是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点，在反比例函数的图象上，作轴于点．
⑴求反比例函数的表达式；
⑵若的面积为，求点的坐标.
20．（8分）已知：内接于⊙，连接并延长交于点，交⊙于点，满足．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，点为弧上一点，连接，=，过点作，垂足为点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，分别连接，，过点作，交⊙于点，，，连接，求的长．
21．（8分）解方程：x2－4x－7＝0.
22．（10分）如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
23．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点.
（1）填空：的值为 ，的值为 ；
（2）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
25．（12分）如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与轴交于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．
①求△PCD的面积的最大值；
②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作直线l，AD⊥l于点D．
（1）连接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求证:直线l是⊙O的切线；
（1）将图1的直线l向上平移，使得直线l与⊙O交于C、E两点，连接AC、AE、BE， 得到图1． 若∠DAC=45°，AD=1cm，CE=4cm，求图1中阴影部分(弓形)的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
解：∵y=（x+2）2﹣9，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，
A（﹣4，y1）关于直线x=﹣2的对称点是（0，y1），
∵﹣＜0＜3，
∴y2＜y1＜y3，
故选B．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
2、A
【分析】本题先利用因式分解法解方程，然后利用三角形三边之间的数量关系确定第三边的长，最后求出周长即可.
【详解】解：，
，
∴；
由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，
所以周长是：2+4+4=10.
故选A.
【点睛】
本题考察了一元二次方程的解法与三角形三边之间的数量关系.
3、A
【分析】通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可得.
【详解】由题意将代入函数解析式得，解得，
故函数解析式为，
将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合，
故答案为A.
【点睛】
本题考查了已知函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点.
4、B
【分析】依据，，即可得到；依据，即可得出；过作于，依据，根据相似三角形的性质得到；依据，，可得，进而得到．
【详解】解：∵菱形中，，．
∴，，
∴，故①正确；
∴，
又∵，为中点，，
∴，即，
又∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，过作于，
则，
∴，，，
∴中，，
又∵，∴，故③正确；
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，故④错误；故选：B．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用．解题关键在于掌握判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
5、D
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：1，∴DF：AB=1：1．∵DC=AB，∴DF：DC=1：1，∴DF：FC=1：2．故选D．
6、A
【分析】连接BD交EF于O，由折叠的性质可推出BD⊥EF，BO＝DO，然后证明△EDO≌△FBO，得到OE＝OF，设BC＝x，利用勾股定理求BO，再根据△BOF∽△BCD，列出比例式求出x，即可求矩形面积．
【详解】解：连接BD交EF于O，如图所示：
∵折叠纸片使点D与点B重合，折痕为EF，
∴BD⊥EF，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
在△EDO和△FBO中，
∵∠EDO=∠FBO，DO=BO，∠EOD=∠FOB=90°
∴△EDO≌△FBO（ASA）
∴OE＝OF＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设BC＝x，
BD＝＝，
∴BO＝，
∵∠BOF＝∠C＝90°，∠CBD＝∠OBF，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
即：＝，
解得：x＝8，
∴BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×8＝32，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7、D
【分析】根据菱形的性质可求得BO、AO的长，AC⊥BD，根据勾股定理可求出AB，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，，，AC⊥BD，
则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：，
∴菱形ABCD的周长=4×5=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8、C
【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60，解直角三角形得到AB＝，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝，根据概率公式即可得到结论．
【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120，
∵AB＝AC，BO＝CO，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60，
∵BC＝2，
∴BO＝1，
∴AB＝BO÷cos30°=，
∴扇形ABC的面积＝，
∵⊙O的面积＝，
∴飞镖落在扇形ABC内的概率是=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．
9、D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
10、A
【分析】根据有理数的定义判断即可．
【详解】A、﹣2是有理数，故本选项正确；
B、是无理数，故本选项错误；
C、﹣1是无理数，故本选项错误；
D、π是无理数，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数和无理数的定义,关键在于牢记定义．
11、D
【解析】利用△=b2-4ac≥1，且二次项系数不等于1求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点，
∴△=b2-4ac=64-32k≥1，k≠1，
解得：k≤2且k≠1．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键．
12、C
【分析】先根据线段的比例、直径求出OC、OP的长，再利用勾股定理求出CP的长，然后根据垂径定理即可得．
【详解】如图，连接OC
直径
在中，
弦于
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、垂径定理等知识点，属于基础题型，掌握垂径定理是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、45
【分析】先利用平行线的性质得出，然后通过勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，从而可得出答案.
【详解】如图，连接AD，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为45
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理及平行线的性质是解题的关键.
14、
【分析】根据科学记数法的定义以及应用将数进行表示即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了科学记数法的定义以及应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键．
15、6
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x,−),则B点坐标为(−x, ),C(−2x,−)，
∴S =×(−2x−x)⋅(− −)=×(−3x)⋅(− )=6.
故答案为6.
【点睛】
此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A、C两点.
16、
【分析】由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有6个，其中奇数有4个，由此求得所求事件的概率．
【详解】解：由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有3×2=6个，其中奇数有2×2=4个，
故从中任取一个数，则恰为奇数的概率是 ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解题的关键是掌握概率公式进行计算．
17、
【解析】试题分析：利用待定系数法，直接把已知点代入函数的解析式即可求得k=-6，所以函数的解析式为：.
18、-4
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵5x2﹣1＝4x，
方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
则一次项系数是﹣4，
故答案为：﹣4
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用待定系数法求出m的值即可；
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）由题意：，
，
.
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α，再根据圆周角定理以及三角形内角和与外角的性质证明∠ACB=∠ABC即可解决问题；
（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解决问题；
（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．假设OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，从而得出∠OHK=45°，再根据角度的转化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，从而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，进而可求出DG，AG的长，再通过勾股定理以及解直角三角形函数可求出FT，PT的长即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α．
∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAC=2α，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠D=90°-α，
∴∠B=∠D=90°-α，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．
∵=，
∴DB=CF，
∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，
∴△ADB≌△AZC（SAS），
∴AD=AZ，
∵AG⊥DZ，
∴DG=GZ，
∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG．
（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．
∵CP⊥AC，
∴∠ACP=90°，
∴PA是直径，
∵OR⊥PC，OK⊥AC，
∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°，
∴四边形OKCR是矩形，
∴RC=OK，
∵OH:PC=1:，
∴可以假设OH=a，PC=2a，
∴PR=RC=a，
∴RC=OK=a，sin∠OHK=，
∴∠OHK=45°．
∵OH⊥DH，
∴∠DHO=90°，
∴∠DHA=180°-90°-45°=45°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ADH=90°-45°=45°，
∴∠DHA=∠ADH，
∴AD=AH，
∵∠COP=∠AOD，
∴AD=PC，
∴AH=AD=PC=2a，
∴AK=AH+HK=2a+a=3a，
在Rt△AOK中，tan∠OAK=，OA=，
∴sin∠OAK=，
∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°，
∴∠DAG=∠ACD，
∵AO=CO，
∴∠OAK=∠ACO，
∴∠DAG=∠ACO=∠OAK，
∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，
∴AG=3DG，CG=3AG，
∴CG=9DG，
由（2）可知，CG=DG+CF，
∴DG+12=9DG，
∴DG=，AG=3DG=3×=，
∴AD=，
∴PC=AD=．
∵sin∠F=sin∠OAK，
∴sin∠F=，
∴CT=，
FT=，
PT=，
∴PF=FT-PT=．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
21、
【解析】x²－4x－7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0,
∴x= , ∴.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
23、（1）3，12；（2）D的坐标为
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.
【详解】（1）把点A(4,n)代入一次函数,可得；
把点A(4,3)代入反比例函数,可得，
解得k=12.
（2）∵一次函数与轴相交于点B，
由，解得，
∴点B的坐标为（2，0）
如图，过点A作轴，垂足为E，
过点D作轴，垂足为F，
∵A（4，3），B(2，0)
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴ BE=OE－OB=4－2=2
在中，.
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴.
∵轴，轴，
∴.
在与中， ，，AB=CD，
∴，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴.
∴点D的坐标为
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
24、（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
25、（1）；（2）①3；②或
【分析】（1）根据直线解析式求出点C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①过点P作轴于点F，交DC于点E，用t表示出点P和点E的坐标，的面积用表示，求出最大值；
②分两种情况进行讨论，或，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出t的值，得到点P的坐标．
【详解】解：（1）令，则，求出，
将A、B、C的坐标代入抛物线解析式，得，解得，
∴；
（2）①如图，过点P作轴于点F，交DC于点E，
设点P的坐标是，则点E的纵坐标为，
将代入直线解析式，得，
∴点E坐标是，
∴，
∴，
∴面积的最大值是3；
②是以CD为直角边的直角三角形分两种情况，
第一种，，如图，过点P作轴于点G，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴；
第二种，，如图，过点P作轴于点H，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴，
综上，点P的坐标是或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角形利用数形结合的思想求点坐标的方法．
26、（1）详见解析；（1）
【分析】（1）连接OC， 由角平分线的定义和等腰三角形的性质，得，从而得l⊥OC，进而即可得到结论；
（1）由圆的内接四边形的性质和圆周角定理的推论，得△ABE是等腰直角三角形，通过勾股定理得的长，从而求出，连接OE，求出，进而即可求解．
【详解】（1） 连接OC，
∵，
∴，
∵∠DAC=∠BAC，
∴，
∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°，
∴，即直线l⊥OC，
∴直线l是⊙O的切线；
（1）∵ 四边形ACEB内接于圆，
∴ ，
又∵直径AB所对圆周角，
∴△ADC与△ABE都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
连接OE，则，
∴，
∴图中阴影部分面积=．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积公式，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及和扇形的面积公式，是解题的关键．
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