资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过变换后得到的图象，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．13 D．14
5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为( )
A． B． C． D．
6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）
A．100m B．100m C．150m D．50m
7．如果、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的根是，，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知为锐角，且，则度数等于______度.
12．小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面概率为_____．
13．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是__________分．
14．周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为____________.
15．若是方程的一个根，则代数式的值是______.
16．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长.
17．计算sin60°tan60°－cos45°cos60°的结果为______．
18．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知，点、坐标分别为、．
（1）把绕原点顺时针旋转得，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求点旋转到点经过的路径的长．
20．（6分）如图，已知，相交于点为上一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
21．（6分）等腰中，，作的外接圆⊙O.
（1）如图1，点为上一点（不与A、B重合），连接AD、CD、AO，记与的交点为.
①设，若，请用含与的式子表示；
②当时，若，求的长；
（2）如图2，点为上一点（不与B、C重合），当BC=AB，AP=8时，设，求为何值时，有最大值？并请直接写出此时⊙O的半径．
22．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
23．（8分）（1）解方程：.
（2）计算：.
24．（8分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
25．（10分）如图1，的直径，点为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连结，.设的长为，的面积为.
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.
（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表：
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.7
1.7
2.9
4.8
5.2
4.6
0
请求出表中小东漏填的数；
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；
（3）结合画出的函数图象，当的面积为时，求出的长.
26．（10分）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径的圆，分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，过点的直线交轴负半轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求证：直线是⊙的切线．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是1．
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
2、B
【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,
所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．
故选B．
考点：二次函数的图象．106144
3、A
【分析】将两个二次函数均化为顶点式，根据两顶点坐标特征判断平移方向和平移距离.
【详解】，
顶点坐标为，
，
顶点坐标为，
所以函数的图象向左平移2个单位后得到的图象.
故选：A
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，根据顶点坐标确定变换方式是解答此题的关键.
4、B
【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，从而得到AF+BE=AB，再根据三角形的周长的定义解答即可．
【详解】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=1，
由切线长定理得，AD=AF，BD=BE，
∴AF+BE=AD+BD=AB=5，
∴三角形的周长=5+5+1+1=1．
故选:B
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．
5、D
【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
【详解】解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°
∴=90°-23°=67°
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.
6、A
【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，
∵BC=50，∴AC=50，∴（m）．故选A
7、B
【解析】先求得函数的两根，再将两根带入后面的式子即可得出答案.
【详解】由韦达定理可得α+β=-3，又=3--=）=1+3=4，所以答案选择B项.
【点睛】
本题考察了二次方程的求根以及根的意义和根与系数的关系，根据得到的等量关系是解决本题的关键.
8、B
【分析】根据平行可得，∠A=∠O，据圆周角定理可得，∠C=∠O，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．
【详解】解：∵OB∥AC，∠A=∠O，
又∠C=∠O，
∴∠ADB=∠C+∠A=∠O +∠O=60°，
∴∠O=40°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
9、B
【分析】根据抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴交点位置得，于是可对③进行判断；由于时，，得到，然后把代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与轴的交点问题可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
，
∴，即①正确；
时，，
，
∴，即②正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点位于轴负半轴，
，
，所以③错误；
，，
，
而，
，所以④正确；
抛物线与轴的交点坐标为、，
即或3时，，
方程的根是，，所以⑤正确．
综上所述：正确结论有①②④⑤，正确结论有4个.
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；抛物线与轴交点个数由△决定．
10、B
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
【点睛】
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.
12、
【分析】根据抛掷一枚硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，可以求得相应的概率．
【详解】无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，
则掷硬币出现正面概率为：；
故答案为：．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13、
【详解】解：5+3+2=10.
,
故答案为:77.
14、
【分析】利用概率公式直接写出答案即可．
【详解】∵共“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，
∴选择“微信”支付方式的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
15、9
【分析】根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
16、.
【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可.
【详解】解：在中，,
.
在中，，
.
的长为.
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.
17、1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【详解】解：原式
=1
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
【点睛】
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
三、解答题(共66分)
19、（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出OA的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【详解】（1）如图所示，
（2）由（1）图可得，，
∴
【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
20、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得∠B=∠C，然后由两个角对应相等，即可证明两个三角形相似；
（2）由（1）△AFE∽△BFA，得到，即可得到结论成立.
【详解】解：证明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行内错角相等），
又∠EAF=∠C（已知），
∴∠B=∠EAF（等量代换），
又∠AFE=∠BFA（公共角），
∴△AFE∽△BFA（两对对应角相等的两三角形相似）
（2）由（1）得到△AFE∽△BFA，
∴，
即AF2=EF·FB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
21、（1）①；②；（2）PB=5时，S有最大值，此时⊙O的半径是.
【分析】（1）①连接BO、CO，利用SSS可证明△ABO≌△ACO，可得∠BAO=∠CAO=y，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可用y表示出∠ABC，由圆周角定理可得∠DCB=∠DAB=x，根据即可得答案；
②过点作于点，根据垂径定理可得AF的长，利用勾股定理可求出OF的长，由（1）可得，由AB⊥CD可得n=90°，即可证明y=x，根据AB⊥CD，OF⊥AC可证明△AED∽△AFO，设DE=a，根据相似三角形的性质可，由∠D=∠B，∠AED=∠CEB=90°可证明△AED∽△CEB，设，根据相似三角形的性质可得，根据线段的和差关系和勾股定理列方程组可求出a、b的值，根据△AED∽△AFO即可求出AD的值；
（2）延长到，使得，过点B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延长线于E，连接OA，作OF⊥AB于F，根据BC=AB可得三角形ABC是等边三角形，根据圆周角定理可得∠APM=60°，即可证明△APM是等边三角形，利用角的和差关系可得∠BAP=∠CAM，利用SAS可证明△BAP≌△CPM，可得BP=CM，即可得出PB+PC=AP，设，则，利用∠APB和∠BPE的正弦可用x表示出BD、BE的长，根据可得S与x的关系式，根据二次函数的性质即可求出S取最大值时x的值，利用∠BPA的余弦及勾股定理可求出AB的长，根据等边三角形的性质及垂径定理求出OA的长即可得答案.
【详解】（1）①连接BO，CO，
∵，且为公共边，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∵，
∴
∴.
②过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△AED∽△AFO，
∴=，即，
设，则
∵，
∴△AED∽△CEB，
∴，即
设，则，
∴
解得：或，
∵a>0，b>0，
∴，即DE=，
∵△AED∽△AFO，
∴，
∴AD==3=.
（2）延长到，使得，过点B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延长线于E，连接OA，作OF⊥AB于F，
∵BC=AB，AB=AC，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC=60°，
∴
在△BAP和△CAM中，，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵∠APB=∠ACB=60°，∠APM=60°，
∴∠BPE=60°，
∴BE=PB·sin60°=，PD=PB·sin60°=，
∵，
∴S=PC·BE+×AP·BD=，
∴当时，即PB=5时，S有最大值，
∴BD==，PD=PB·cos60°=，
∴AD=AP-PD=，
∴AB==7，
∵△ABC是等边三角形，O为△ABC的外接圆圆心，
∴∠OAF=30°，AF=AB=，
∴OA==.
∴此时的半径是.
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、求二次函数的最值及解直角三角形，综合性比较强，熟练掌握相关的性质及定理是解题关键.
22、（1）6+；（2）3﹣或3+
【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；
（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
23、（1），；（2）
【分析】（1）先提取公因式分解因式分为两个一元一次方程解出即可得到答案；
（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可.
【详解】（1）解：，
∴或，
∴，.
（2）解：原式
.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法、特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意不要混淆各特殊角的三角函数值.
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出∠AEF＝∠DFG，即可得出结论；
（2）先判断出△AHF≌△DNF，得出AH＝DN，FH＝FN，进而判断出EH＝EN，即可得出结论；
（3）先判断出AF＝PG，PF＝AE，进而判断出PG＝PD，得出∠MDG＝45°，进而得出∠FGE＝∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，
∵EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS）；
（2）如图2，，
延长NF，EA相交于H，
∴∠AFH＝∠DFN，
由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，
∴∠HAF＝∠D＝90°，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AHF≌△DNF（ASA），
∴AH＝DN，FH＝FN，
∵∠EFN＝90°，
∴EH＝EN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN，
∴EN＝AE+DN；
（3）如图3，
过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴，
MG2＝MN•MD．
【点睛】
考核知识点：相似三角形判定和性质.作辅助线，构造全等三角形，利用相似三角形解决问题是关键.
25、（1）；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7
【分析】（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题；
（2）利用描点法即可解决问题；
（3）利用图象法，确定y＝4时x的值即可；
【详解】（1）当时，即是直径，可求得的面积为4.0，
∴；
（2）函数图象如图所示：
（3）由图像可知，当时，或3.7
【点睛】
本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
26、（1）,；（2）详见解析．
【分析】（1）先根据圆的半径可求出CA的长，再结合点C坐标即可得出点A坐标；根据点C坐标可知OC的长，又根据圆的半径可求出CB的长，然后利用勾股定理可求出OB的长，即可得出点B坐标；
（2）先根据点坐标分别求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据圆的切线的判定定理即可得证．
【详解】（1）∵，圆的半径为3
∴，
∴
点A是x轴正半轴与圆的交点
∴
如图，连接CB，则
在中，
点B是y轴正半轴与圆的交点
∴；
（2）∵
∴
在中，
则在中，
是直角三角形，即
又∵BC是⊙C半径
∴直线BD是⊙C的切线．
【点睛】
本题是一道较简单的综合题，考查了圆的基本性质、勾股定理、圆的切线的判定定理等知识点，熟记各定理与性质是解题关键．
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