资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣1
3．等腰三角形底边长为10，周长为36，则底角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的周长等于（ ）
A．40 B． C．24 D．20
5．抛物线的顶点坐标是( )
A．(3，5) B．(-3，-5) C．(-3，5) D．(3，-5)
6．如图，是矩形内的任意一点，连接、、、, 得到 , , , ,设它们的面积分别是，，，， 给出如下结论:①②③若，则④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A．x＞2 或x＜－3 B．－3＜x＜2
C．x＞2或x＜－4 D．－4＜x＜2
8．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如果反比例函数y＝的图象经过点(﹣5，3)，则k＝（ ）
A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16
10．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．10或11 D．不能确定
11．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，若的半径为.则劣弧的长为______．
14．把多项式分解因式的结果是__________．
15．化简：-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．
16．如图所示，在中，，点是重心，联结，过点作，交于点，若，，则的周长等于______.
17．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm．
18．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
20．（8分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+1．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；
①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润．
21．（8分）在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.
（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；
（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.
22．（10分）某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.
（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？
（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．
（1）求证：；
（2）设，求关于的函数表达式；
（3）当时，直接写出_________．
24．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.
25．（12分）开学初，某文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低2元，每天就可多售出10个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利给顾客．
26．如图,菱形的顶点在菱形的边上, 与相交于点,,若,,求菱形的边长.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：，，．故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
2、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3、A
【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，BC=10cm，AB=AC，
可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．
又AD是底边BC上的高，
∴CD=BD=5cm，
∴cosC=，
即底角的余弦值为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．
4、D
【分析】根据菱形的性质可求得BO、AO的长，AC⊥BD，根据勾股定理可求出AB，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，，，AC⊥BD，
则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：，
∴菱形ABCD的周长=4×5=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5、C
【解析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵；
∴顶点坐标为：（-3，5）．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义是解决问题的关键．
6、D
【分析】根据三角形面积公式、矩形性质及相似多边形的性质得出：
①矩形对角线平分矩形，S△ABD=S△BCD,只有P点在BD上时，S₁ +S₂ =S₃ +S4；
②根据底边相等的两个三角形的面积公式求和可知，S₁+S₃=矩形ABCD面积，同理S₂+S4=矩形ABCD面积，所以S₁+S₃= S₂+S4；
③根据底边相等高不相等的三角形面积比等于高的比来说明即可；
④根据相似四边形判定和性质，对应角相等、对应边成比例的四边形相似，矩形AEPF∽矩形ABCD推出,点P在对角线上．
【详解】
解：①当点P在矩形的对角线BD上时，S₁ +S₂ =S₃ +S4.但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立。故①不一定正确;
②∵矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边，这两三角形的底相等，高的和为AB,
∴S ₁+S ₃=S矩形ABCD;
同理可得S ₂+S4=S矩形ABCD ,
∴②S₂+S4=S₁+S₃正确;
③若S ₃=2S ₁,只能得出△APD与△PBC高度之比是，S₂、S4分别是以AB、CD为底的三角形的面积，底相等，高的比不一定等于，S4=2S2不一定正确 ;故此选项错误;
④过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,F.
若S1=S2,.则AD·PF=AB·PE
∴△APD与△PAB的高的比为：
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA =90°
∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD
∴
∴P点在矩形的对角线上，选项④正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了三角形面积公式的应用，相似多边形的判定和性质，用相似多边形性质对应边成比例是解决本题的难点．
7、C
【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x的取值范围．
【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x= -1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），
因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x轴的下方，
此时，x＞2或x＜－1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．
8、B
【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．
【详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；
B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；
C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；
D、为一次函数表达式，故D选项错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
9、D
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求k的值．
【详解】∵反比例函数的图象经过点(﹣5，3)，
∴k+1=﹣5×3=﹣15，
∴k=﹣16
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点的坐标满足解析式是本题的关键．
10、B
【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案．
【详解】∵，
∴，
解得：，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：，即，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．
11、D
【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣＝﹣a﹣，
纵坐标为：y＝＝﹣2a﹣，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
12、C
【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.
故选B．
考点：概率的求法
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴劣弧的长=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
14、
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式化简即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解问题，掌握完全平方公式的性质是解题的关键．
15、-1
【分析】根据实数的性质即可化简求解．
【详解】-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=-1-2×=-1-=-1
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．
16、10
【分析】延长AG交BC于点H, 由G是重心，推出 ，再由得出，从而可求AD,DG,AG的长度，进而答案可得.
【详解】延长AG交BC于点H
∵G是重心，
∴
∵
∴
∵，AH是斜边中线,
∴
∴
∴
∴的周长等于
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查三角形重心的性质及平行线分线段成比例，掌握三角形重心的性质是解题的关键.
17、1
【分析】由弧长公式：计算．
【详解】解：由题意得：圆的半径．
故本题答案为：1．
【点睛】
本题考查了弧长公式．
18、
【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为
将点和代入，得
化简，得
解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）
解得：
∴这个反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）答案见解析；（2）45°．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20、（1）q＝﹣x+14，其中2≤x≤10；（2）①2≤x≤4，②y＝；（3）x＝时取最大值，最大利润百元．
【分析】（1）根据表格数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，p≤q，计算即可求得x的取值范围；
②根据销售利润=销售量（售价-进价），列出厂家每天获得的利润（百元）与销售价格的函数关系；
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可.
【详解】（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得，解得，
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即x+1≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
②由①可知，当2≤x≤4时，
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+1）＝x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+1﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝﹣7
∴当2≤x≤4时，随x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，＞4
∴x＝时取最大值
即此时y有最大利润百元．
【点睛】
本题考查一次函数和二次函数实际应用中的利润问题，属综合中档题.
21、（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），图详见解析.
【分析】（1）利用已知条件易证，则有，，从而有，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（2）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（3）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.
【详解】（1）证明：，
又，
(ASA)
，
又，，
在中，
（2）成立，证明如下：
延长到，使，连接、、.
，，
、、
，，
，
在中，
（3）
论证过程中需要的辅助线如图所示
证明：延长GP到点E，使,连接DE，CE,CG,
∵
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
22、（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【分析】（1）设该商品的售价是每个元，根据利润=每个的利润×销售量，即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设该商品的售价为每个元，利润为y元，根据利润=每个的利润×销售量即可得出y关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）设该商品的售价是每个元，
根据题意，得：，
解之得：，（不合题意，舍去）.
答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；
（2）设该商品的售价为每个元，利润为y元，则
，
∴当时，利润最大，最大利润是12250元.
答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【点睛】
本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关键.
23、（1）详见解析；（2）；（3）1
【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；
（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．
【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
则DC＝，
代入上式得：
，
∴，
即
（3）,
在中，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．
24、DE =8.
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.
【详解】如图，CD平分
又
，即
故DE的长为8.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，通过等角对等边证出是解题关键.
25、销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
【分析】根据“单件利润×销售量=总利润”可列一元二次方程求解，结合题意取舍可得
【详解】解：设销售单价为x元时，每天的销售利润达到4000元，由题意得，
（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，
解得x1＝70，x2＝90，
因为晨光文具店销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客，
所以x2＝90不符合题意舍去，故x＝70，
答：销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意确定相等关系，并据此列出方程是解题的关键．
26、9
【分析】连接，首先证明是等边三角形，再证明，推出，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：连接．
在菱形和菱形中，，，
是等边三角形，设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或1（舍弃），
，
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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