2023届北京东城55中学高一上数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知实数满足,那么的最小值为(   )
A. B.
C. D.
2．函数（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，）的部分图象如图所示，则（　　）

A. B.
C. D.
3．已知是锐角，那么是
A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角
C.第二象限角 D.小于的正角
4．设集合，则（）
A. B.
C.{2} D.{-2，2}
5．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
6．若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
8．若，则的值是（）
A. B.
C. D.1
9．如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（）

A.2 B.4
C. D.
10．函数，的图象大致是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为___________.
12．在正方体中，则异面直线与的夹角为_________
13．已知奇函数满足，，若当时，，则______
14．在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若,则________.
15．若集合，则满足的集合的个数是___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）（在水面下则h为负数）.

（1）求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：）.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
19．已知函数的图象关于直线对称，若实数满足时，的最小值为1
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，求的单调递减区间
20．某种产品的成本是50元/件，试销阶段每件产品的售价（单位：元）与产品的日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系：
/元
60
70
80
90
/件
80
60
40
20
（1）根据以上表格中的数据判断是否适合作为与的函数模型，并说明理由；
（2）当每件产品的售价为多少时日利润（单位：元）最大，并求最大值.
21．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
2、B
【解析】根据函数图像易得，，求得，再将点代入即可求得得值.
【详解】解：由图可知，
，则，所以，
所以，
将代入得，
所以，
又，
所以.
故选：B.
3、D
【解析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案
【详解】因为是锐角，所以 ，故
故选D.
【点睛】本题考查象限角，属于简单题
4、C
【解析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意解得：，
故，或，
所以，
故选：C
5、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
6、C
【解析】根据交集定义即可求出.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
7、B
【解析】根据周期性和对称性求得函数解析式，再利用函数单调性即可比较函数值大小.
【详解】根据的最小正周期为，故可得，解得.
又其关于中心对称，故可得，又，
故可得.则.
令，
解得.
故在单调递增.
又，且都在区间中，
且，故可得.
故选：.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，以及利用三角函数的单调性比较函数值大小，属综合基础题.
8、D
【解析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.
详解】由,

.
故选：D
9、D
【解析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为求解即可.
【详解】因为等腰是一平面图形的直观图，直角边，
所以直角三角形的面积是.
又因为平面图形与直观图面积比为，
所以原平面图形的面积是.
故选：D
10、A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可
【详解】解：函数，则函数是奇函数，
排除D，
当时，，则，排除B，C，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．难度不大

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】直接根据扇形的面积公式计算可得答案
【详解】设扇形的圆心角为，
因为扇形的面积为，半径为1，
所以．解得，
故答案为：
12、
【解析】先证明，可得或其补角即为异面直线与所成的角，连接，在中求即可.
【详解】
在正方体中，
，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
连接，由为正方体可得是等边三角形，
所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
13、
【解析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
14、
【解析】详解】由图可知，，
所以
)
)
所以，
故，即，
即得

15、4
【解析】求出集合，由即可求出集合的个数
【详解】因为集合，，
因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，
所以或或或
故满足的集合的个数为，
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）证明略
（2）
【解析】（Ⅰ）要证平面，由已知平面，已经有，因此在直角梯形中证明即可，通过计算得，而是中点，则有；（Ⅱ）PB与平面ABCD所成的角是，下面关键是作出PB与平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分别与相交于，连接，则是PB与平面PAE所成的角，由这两个角相等，可得，同样在直角梯形中可计算出，也即四棱锥P-ABCD的高，体积可得．另外也可建立空间直角坐标系，通过空间向量法求得结论，第（Ⅱ）小题中关键是求点的坐标，注意这里直线与平面所成的角相等转化为直线与平面的法向量的夹角相等
试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
是的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且
由知，为直线与平面所成的角
由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
考点：线面垂直的判断，棱锥的体积
17、（1），（t≥0）
（2）
【解析】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）直接解方程即可求解.
【小问1详解】
盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t，则以Ox为始边，OP为终边的角为，故P点的纵坐标为，
则点离水面的高度，（t≥0).
【小问2详解】
令，得，得，，
得，，因为点P第一次到达最高点，所以，所以.
18、（1）； （2）见解析.
【解析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；
（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
【详解】（1）由题意，当时，则，可得，
　因为函数为奇函数，所以，
　所以函数的解析式为.
（2）函数在单调递增函数.
证明：设，则
因为，所以
所以，即
故在为单调递增函数
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及熟练应用的函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、（1）；
（2），
【解析】（1）利用已知条件和，可以求出函数的周期，利用是对称轴和，可以求解出的值，从而完成解析式的求解；
（2）先写出函数经过平移以后得到的函数解析式，然后再求解的递减区间即可完成求解.
【小问1详解】
由时，，知，∴，
∵的图象关于直线对称，∴，，
∵，∴，∴
【小问2详解】
由题意知：
由，，
∴，，
∴的单调递减区间是，
20、（1）适合，理由见解析.
（2）当每件产品售价为75元时日利润最大，且最大值为1250.
【解析】（1）把，分别代入，求得，再代入检验成立；
（2）设日利润为（单位：元），由（1）求得，根据二次函数的性质可求得最大值.
【小问1详解】
解：适合，理由如下：
把，分别代入，得
解得则，
把，分别代入，检验成立.
【小问2详解】
解：设日利润为（单位：元），
则，
当时，，
则当每件产品的售价为75元时日利润最大，且最大值为1250.
21、（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）利用二倍角公式和两角和正弦公式化简再由周期公式计算可得答案；
（2）根据当的范围可得，再计算出可得答案.
【小问1详解】

，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
当时， ，
所以，
所以 ，
所以在区间上的最大值为和最小值.