资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．12×108 B．1.2×108 C．1.2×109 D．0.12×109
2．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．3
3．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A．-3 B．2 C．0 D．1
5．如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y = x2+2的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
9．已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
10．已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．台灯 B．手电筒 C．太阳 D．路灯
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是______．
14．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是__________L．
15．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有4个点……第n行有2n个点……，若前n行的点数和为930，则n是________．
16．已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
17．如图，在菱形中，与交于点，若，则菱形的面积为_____．
18．如图，点A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2+3x—4=0.
20．（8分）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4.以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．AD的长为，求证：BC是⊙O的切线.
22．（10分）如图1，已知直线，线段在直线上，于点，且，是线段上异于两端点的一点，过点的直线分别交、于点、（点、位于点的两侧），满足，连接、．
（1）求证：；
（2）连结、，与相交于点，如图2，
①当时，求证：；
②当时，设的面积为，的面积为，的面积为，求的值．
23．（10分）如图，中，，，面积为1．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求出点到两条直角边的距离．
24．（10分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．
25．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．)
26．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．
（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与，其中是被分割成的“友好四边形”的是 ；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，点落在边，过点作交的延长线于点，求证：四边形是“友好四边形”；
（3）如图3，在中，，，的面积为，点是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友好四边形”，求的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、A
【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=-5x，
∴CE=28-25x，
∵AC=4，
∴x+28-25x=4，
解得：x=1．
故选A．
【点睛】
题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．
3、C
【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选C．
【点睛】
考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.
4、B
【解析】一组数据中出现次数最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.
【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，
所以这组数据的众数是2，
故选B.
【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.
5、B
【分析】连接CA与x轴交于点D，根据勾股定理求出OD的长，求出，再根据圆心角定理得，即可求出的值．
【详解】设与x轴的另一个交点为D，连接CD
∵
∴CD是的直径
∴
在中，，
根据勾股定理可得
∴
根据圆心角定理得
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的问题，掌握圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
6、B
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y = x2+2的对称轴为直线．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．
7、D
【解析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵D为BC中点，
∴BD=2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，
当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE=4cm，可得t=4；
当∠DEB=90°时，
∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，即，
解得t=7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；
综上可知t的值为4或7或9，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．
8、C
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
9、C
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
10、A
【解析】解：当y=0，则，（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），
=，∴M点坐标为：（2，﹣1）．
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为： =．
故选A．
11、C
【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
故选C
【点睛】
本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.
12、A
【解析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠C=90°,
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,
∴∠B=∠ACD=α,
∴.
故选：A.
【点睛】
此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、k≤且k≠﹣1
【解析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥2且k+1≠2，得关于k的不等式，求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程（k+1）x1﹣3x+1=2有实数根，∴△≥2且k+1≠2，即（﹣3）1﹣4（k+1）×1≥2且k+1≠2，整理得：﹣4k≥﹣1且k+1≠2，∴k且k≠﹣1．
故答案为k且k≠﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为2．
14、1
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【详解】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣•x=10，
解得：x=60（舍去）或x=1．
答：每次倒出1升．
故答案为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用．
15、1
【分析】根据题意得出这个点阵中前n行的点数和等于2+4+6+8+……+2n，再计算即可．
【详解】解：根据题意知，2+4+6+8+……+2n
=2（1+2+3+…+n）
=2×n（n+1）
=n（n+1）．
∴，
解得：（负值已舍去）；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．
16、减小．
【分析】根据一次函数图象与y轴交点可得m＜2，进而可得2-m＞0，再根据反比例函数图象的性质可得答案．
【详解】根据一次函数y1＝x+m的图象可得m＜2，
∴2﹣m＞0，
∴反比例函数y2＝的图象在一，三象限，当x＞0时，y2随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数的性质，关键是正确判断出m的取值范围．
17、．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
【详解】四边形是菱形，
，
，
菱形的面积为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半.
18、1．
【解析】试题分析：∵点A、B是双曲线上的点，∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6，∵S阴影DGOF=2，∴S矩形ACDF+S矩形BDGE=6+6﹣2﹣2=1，故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）或.
【分析】（1）利用零负指数幂法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）=；
2）解：x2+3x—4=0
解得或.
【点睛】
本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20、（1）汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）他向前行驶了18.3米．
【解析】1）连接FC并延长到BA上一点E，即为所求答案；
（2）利用解Rt△AEC求AE，解Rt△ACM，求AM，利用ME=AM-AE求出他行驶的距离．
【详解】解：（1）如图所示：
汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；
（2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米，
∴AC＝25，
tan30°＝＝，
∴AM＝25 ，
∵∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝25m，
∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m．
则他向前行驶了18.3米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的基本方法，先分别在两个直角三角形中求相关的线段，再求差是解题关键．
21、证明见解析.
【分析】连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明AB⊥BC即可；
【详解】证明：如图，连接,
是直径且 ，
.
设，
的长为，
解得.
即
在☉O中，
.
．
，
，
即
又为直径，
是☉O的切线.
【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据平行和垂直得出∠ABP=∠CBE，再根据SAS证明即可；
（2）①延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可；②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①延长交于点，
∴，
∴∠APB=∠CEB，
∴，
∴，
∵，即为的中点，，
∴∽,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴;
②∵，
∴，
∴，
∵,
∴∽，
∴，
设△PBE的面积S△PBE=S，则△PCE的面积S△PCE满足，即S2=（n-1）S，
即，
∵，
∴，
∵，
∴S1=（n-1）•S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）•S，,
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用尺规作图的步骤作出∠ACB的平分线交AB于点D即可；
（2）作于E，于F,根据面积求出BC的长.法一：根据角平分线的性质得出DE=DF，从而得出四边形CEDF为正方形.再由，得出，列方程可以求出结果；法二：根据，利用面积法可求得DE,DF的值.
【详解】解：（1）∠ACB的平分线CD如图所示：
（2）已知，面积为1，∴.
法一：作，，
∵是角平分线，
∴，，而,
∴四边形为正方形．
设为，则由，
∴，∴.
即，得.
∴点到两条直角边的距离为.
法二：，
即，
又由（1）知AC=15，BC=20，
∴，
∴.
故点到两条直角边的距离为.
【点睛】
本题考查了尺规作图，角平分线的性质，直角三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．
24、（1）见解析；（2）MN＝2.
【解析】（1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC＝90°即可；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠A＝∠BDC；
∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．
∵OD是圆O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠ACM，
又∵∠A＝∠BDC，
∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，
∵∠ADB＝90°，DM＝2，
∴DN＝DM＝2，
∴MN＝＝2．
【点睛】
本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．
25、.
【解析】先画树状图得到所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.
【详解】画树状图为：
由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，
所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为＝．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、（1）四边形；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，得∆ABC~∆EAC，进而即可得到答案；
（2）由旋转的性质得，，，结合，得，进而即可得到结论；
（3）过点作于，得，根据三角形的面积得，结合∽，即可得到答案．
【详解】（1）由题意得：,
∴，
∴∆ABC~∆EAC，
∴被分割成的“友好四边形”的是：四边形，
故答案是：四边形；
（2）根据旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴四边形是“友好四边形”；
（3）过点作于，
∴在中，，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵四边形是被分割成的“友好四边形”，且，
∴∽，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质，是解题的关键．
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