资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
4．在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．2019的相反数是( )
A． B．﹣ C．|2019| D．﹣2019
7．将6497.1亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.4971×1012 B．64.971×1010 C．6.5×1011 D．6.4971×1011
8．如图，在中，弦AB=12，半径与点P，且P为的OC中点，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．8 D．
9．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为( )
A． B． C． D．
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝_____．
12．若m﹣＝3，则m2+＝_____．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
14．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_____．
15．在△ABC中，AB＝10，AC＝8，B为锐角且，则BC＝_____．
16．圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________．
17．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球_____个．
18．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为．把缩小，则点的对应点的坐标分别是_____，_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣1＝0
（2）用因式分解法解方程：（x﹣1）（x+3）＝12
20．（6分）如图，在直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°，点E是斜边BC的中点，圆O经过A、C、E三点，F是弧EC上的一个点，且∠AFC＝36°，则∠B＝______.
21．（6分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足h＝ax1+bx﹣1a（其中a≠0）．已知当x＝0时，h＝1；当x＝10时，h＝1．
（1）求h关于x的函数表达式；
（1）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．
22．（8分）如图，在中，, 点从点出发,以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动．如果两点同时出发，经过几秒后的面积等于?
23．（8分）已知关于x的一元二次方程：2x2+6x﹣a＝1．
（1）当a＝5时，解方程；
（2）若2x2+6x﹣a＝1的一个解是x＝1，求a；
（3）若2x2+6x﹣a＝1无实数解，试确定a的取值范围．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．
25．（10分）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).
(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.
(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.
(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.
26．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点,求出点的坐标;并探究:在轴上是否存在点,使?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【详解】解：由题意得：，，，
∴△===，
解得：，
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．
2、B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
3、D
【解析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠1且△＞1，即（﹣2）2﹣4×k×1＞1，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝1有两个不相等的实数根，
∴k≠1且△＞1，即(﹣2)2﹣4×k×1＞1，
解得k＜1且k≠1．
∴k的取值范围为k＜1且k≠1．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△＝1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4、C
【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．
【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．
B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．
C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．
D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．
5、B
【分析】由题意直接根据三角函数的定义进行分析即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴可以假设BC＝k，AC＝2k，
∴AB＝k，
∴sinA＝＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的计算，解题本题的关键是明确sinA等于对边与斜边的比．
6、D
【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案
【详解】2019的相反数是﹣2019，故选D.
【点睛】
此题考查相反数，掌握相反数的定义是解题关键
7、D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.
8、D
【分析】根据垂径定理求出AP，连结OA根据勾股定理构造方程可求出OA、OP，再求出PC，最后根据勾股定理即可求出AC．
【详解】解：如图，连接OA，
∵AB=12，OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AP=BP=AB=6，
∵P为的OC中点，
设⊙O的半径为2R，即OA=OC=2R，则PO=PC=R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2=OP2+AP2，
即：(2R)2=R2+62，
解得：R=，
即OP=PC=，
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2，
即AC2=62+
解得：AC=
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键．
9、A
【分析】列举出所有情况，看两位数中是奇数的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数有：12，10，21，20四个，是奇数只有21，所以组成的两位数中是奇数的概率为．
故选A．
【点睛】
数目较少，可用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10、B
【分析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：根据已知条件得到AF=1，OF=1，OB=6，求得∠AOB=60°，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=∠ABO=60°，根据折叠的性质得到∠CED=∠OAB=60°，求得∠OCE=∠DEB，根据相似三角形的性质得到BE=OB﹣OE=6﹣=，设CE=a，则CA=a，CO=6﹣a，ED=b，则AD=b，DB=6﹣b，于是得到结论．
【详解】过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A(1，1)，B(6，0)，
∴AF=1，OF=1，OB=6，
∴BF=1，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB=，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∵∠OCE+∠COE=∠OCE+60°=∠CED+∠DEB=60°+∠DEB，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴==，
∵OE=，
∴BE=OB﹣OE=6﹣=，
设CE=a，则CA=a，CO=6﹣a，ED=b，则AD=b，DB=6﹣b，
则，，
∴6b=10a﹣5ab①，24a=10b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b=10b﹣10a，
∴，
即AC:AD=2:1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得△AOB是等边三角形是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．
【详解】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB，如图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝∠OEB=90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝=6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12、1
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【详解】解：∵＝m2﹣2+＝9，
∴m2+＝1，
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
13、
【分析】一元二次方程有实数根，即
【详解】解：一元二次方程有实数根
解得
【点睛】
本题考查与系数的关系.
14、．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，
∴tanC=＝＝，
故答案为
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
15、8+2或8﹣2
【分析】分两种情况进行解答，即①∠ACB为锐角，②∠ACB为钝角，分别画出图形，利用三角函数解直角三角形即可．
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，
①当∠ACB为锐角时，如图1，
在Rt△ABD中，BD＝AB•cosB＝10×＝8，
AD＝＝6，
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
∴BC＝BD+CD＝8+2，
②当∠ACB为钝角时，如图2，
在Rt△ABD中，BD＝AB•cosB＝10×＝8，
AD＝＝6，
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
∴BC＝BD﹣CD＝8﹣2，
故答案为：8+2或8﹣2．
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的关键，分类讨论在此类问题中经常用到．
16、120°
【解析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
【详解】∵侧面积为3π，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=3π，
解得：l=3，
∴扇形面积为3π=，
解得：n=120，
∴侧面展开图的圆心角是120度．
故答案为：120°．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．
17、1
【解析】解：设红球有n个
由题意得：，
解得：n=1．
故答案为=1．
18、 (-1，2)或（1，-2）； （-3，-1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，分别把A,B点的横纵坐标分别乘以或−即可得到点B′的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴的对应点A′的坐标是(-1，2)或（1，-2），
点B（−9，−3）的对应点B′的坐标是（−3，−1）或（3，1），
故答案为： (-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
三、解答题(共66分)
19、（1）x＝；（2）x＝﹣5或x＝3
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案；
【详解】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝8+4＝12，
∴x＝；
（2）∵（x﹣1）（x+3）＝12，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣5或x＝3；
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20、18°
【分析】连接，根据圆周角定理可得出的度数，再由直角三角形的性质得，根据三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】解：连接，
点是斜边的中点
是的外角
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
21、（1）h＝﹣x1+10x+1；（1）斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．
【分析】（1）将当x＝0时，h＝1；当x＝10时，h＝1，代入解析式，可求解；
（1）由h＝−x1＋10x＋1＝−（x−2）1＋17，即可求解．
【详解】（1）∵当x＝0时，h＝1；当x＝10时，h＝1．
∴
解得：
∴h关于x的函数表达式为：h＝﹣x1+10x+1；
（1）∵h＝﹣x1+10x+1＝﹣（x﹣2）1+17，
∴斜抛物体的最大高度为17，达到最大高度时的水平距离为2．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．
22、经过秒后的面积等于
【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.
【详解】过点作于，则，如图所示：
设经过秒后的面积等于，
则．
根据题意，
．
当时，，不合题意舍去，取．
答：经过秒后的面积等于.
【点睛】
此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.
23、（1），；（2）a＝8；（3）
【分析】（1）将a的值代入，再利用公式法求解可得；
（2）将x＝1代入方程，再求a即可；
（3）由方程无实数根得出△＝62﹣4×2（﹣a）＜1，解之可得．
【详解】解：（1）当a＝5时，方程为2x2+6x﹣5＝1，
∴，
∴，
解得：，；
（2）∵x＝1是方程2x2+6x﹣a＝1的一个解，
∴2×12+6×1﹣a＝1，
∴a＝8；
（3）∵2x2+6x﹣a＝1无实数解，
∴△＝62﹣4×2（﹣a）＝36+8a＜1，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解、解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1（a≠1）的根与△＝b2−4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的实数根；③当△＜1时，方程无实数根．
24、（1）（1）AC与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O半径是．
【解析】试题分析：（1）连结OE，如图，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠DBO，于是可判断OE∥BD，再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，证明△AOE∽△ABD，利用相似比得到，然后解方程求出r即可．
试题解析：（1）AC与⊙O相切．理由如下：
连结OE，如图，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴，即，
∴r=，
即⊙O半径是．
考点：圆切线的判定：相似经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（2）小题的关键是利用相似比构建方程．
25、（1）不在；（2）；；（3）
【解析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；
（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；
（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.
【详解】（1）二次函数图像过点
代入得，
，代入得
将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；
（2）由（1）知，
与x轴只有一个交点
只有一个实数根
，或
当时，，所以表达式为：
当时，，所以表达式为：；
（3）
对称轴为
当时，函数图象如下：
若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧
，
当时，函数图象如下：
，此时，必小于
综上，所求的a的取值范围是：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.
26、（1）；（2）当时，最大值为；（3）存在，点坐标为，理由见解析
【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.
(3) 求点D的坐标，设D,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点,使?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.
【详解】解：抛物线顶点为
可设抛物线解析式为
将代入得
抛物线，即
连接，
设点坐标为
当时，最大值为
存在，设点D的坐标为
过作对称轴的垂线，垂足为,
则
在中有
化简得
（舍去），
∴点D(,-3)
连接，在中
在以为圆心，为半径的圆与轴的交点上
此时
设点为(0,m), AQ为的半径
则AQ²=OQ²+OA², 6²=m²+3²
即
∴
综上所述，点坐标为
故存在点Q，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；
(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.
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