立体几何坐标法教师版.doc

立体几何坐标法：一：一般的公式：1、空间角(1)（线线）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)（线面）设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)（面面）求二面角的大小()如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n22、 距离（1） 点面距的求法：设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.（2） 线面距、面面距均可转化为点面距（3） 两异面直线的距离求法：d.（AB是异面直线上任意两点）二：如何选择建系：8、在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点（）求证：；（）求与平面所成的角11年重庆19（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）如题（19）图，在四面体中，平面平面， （）若，求四面体的体积； （）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。三：添加轴，通过公式算出来的：点。全国的19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，（）证明：;（）求与平面所成角的大小三：经典练习;26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。成都二诊：19如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为8，E、F分别为AD1，CD1中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EHFG（1）求GH长的取值范围；（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离. 19、如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。22. 在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。（1）求点C到平面的距离；(2)求二面角的余弦值;(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。用向量法做几何题：2010 年河南 预赛：6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为解:填.设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则9、如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小.59、已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，ABCA1B1C1O且侧面底面.（1）证明：点在平面上的射影为的中点；（2）求二面角的大小 ；（3）求点到平面的距离.答案：28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.【答案】【解析】19解法一： （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角。3分 由， 得平面SDE，所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足为F，则SF平面ABCD， 作，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。9分 作，H为垂足，则平面SBC。 ，即F到平面SBC的距离为 由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为， 则12分 解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。又设 （I），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面SAB。6分 （II）设平面SBC的法向量，则又故9分取p=2得。故AB与平面SBC所成的角为4、如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。解法一：（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）则，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化简得（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E，则。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GC=CD，得，从而，即设，在中，这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等19. 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）=（4，b，4），=（a，4，4）EHFG=4a4b+16=0，则a+b=4，即b=4a又G1H在棱DA，DC上，则0a8，0b8，从而0a4GH=GH取值范围是2，4 6分（2）当GH=2时，a=2，b=2=（2，2，0），=（4，4，0），即=2EFGH，即EH与FG共面所以EF=2GH，EFGH，则设P（x1，y1，z1），则=（x14，y，z14）x1=，y1=，z1=，即P（，） 则P（，）在底面上ABCD上的射影为M（，0）.又B（8，8，0），所以为点P到直线的距离. 12分22.解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为, 得,在中, 在中，则又设点C到平面的距离为则由得，从而4分(2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), ，.设平面的法向量, 又由,得,令,得,即。 设平面的法向量, 又由,得,令,得,即。 所以 ，7分由图形观察可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值是. 9分(3)方法1.在中,作于点E,因为,得.因为平面ABC,所以,因为, 得,所以平面,所以, 所以平面.从而在中, 为异面直线的距离，即为MN的最小值。14分方法2.设向量,且 令,得,即。所以异面直线的距离即为MN的最小值。14分59、（1）证明：过B1点作B1OBA。侧面ABB1A1底面ABCA1O面ABC B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角B1BO= 在RtB1OB中，BB1=2，BO=BB1=1又BB1=AB，BO=AB O是AB的中点。即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点4分 （2）连接AB1过点O作OMAB1，连线CM，OC，OCAB，平面ABC平面AA1BB1 OC平面AABB。OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 OMAB1AB1CM OMC是二面角CAB1B的平面角在RtOCM中，OC=，OM=OMC=cosC+sin2二面角CAB1B的大小为8分 （3）过点O作ONCM，AB1平面OCM，AB1ONON平面AB1C。ON是O点到平面AB1C的距离连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点B与C1到平面ACB1的相导。又O是AB的中点 B到平面AB1C的距离是O到平面AB1C距离的2倍是G到平面AB1C距离为12分18