立体几何坐标法教师版.doc

立体几何坐标法：

一：一般的公式：
1、空间角
(1)（线线）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)（线面）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)（面面）求二面角的大小
(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
2、 距离
（1） 点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.
（2） 线面距、面面距均可转化为点面距
（3） 两异面直线的距离求法：d＝.（AB是异面直线上任意两点）

二：如何选择建系：
8、在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成的角．

11年重庆
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。

三：添加轴，通过公式算出来的：点。

全国的
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求与平面所成角的大小．

三：经典练习;

26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。

成都二诊：

19．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8，E、F分别为AD1，CD1中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．
（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.

19、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

22. 在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。
（1）求点C到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值;
(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。

用向量法做几何题：
2010 年河南 预赛：
6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为　　　　　．
解:填.
设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则

9、如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小.

59、已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，
A
B
C
A1
B1
C1
O
且侧面底面.
（1）证明：点在平面上的射影为的中点；
（2）求二面角的大小 ；
（3）求点到平面的距离.

答案：

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。
命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.
【答案】
【解析】

19．解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则
又SD=1，故，
所以为直角。 …………3分
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。 …………6分
（II）由平面SDE知，
平面平面SED。
作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则，
又，
故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分
作，H为垂足，则平面SBC。
，即F到平面SBC的距离为
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
设AB与平面SBC所成的角为α，
则 …………12分
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
（I），，
由得

故x=1。
由
又由
即 …………3分
于是，

故
所以平面SAB。 …………6分
（II）设平面SBC的法向量，
则
又
故 …………9分
取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为

4、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理
由。

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。
解法一：
（I）因为平面ABCD，
平面ABCD，
所以，
又
所以平面PAD。
又平面PAB，所以平面平面PAD。
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系
A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在中，DE=，

设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以，

（i）设平面PCD的法向量为，
由，，得
取，得平面PCD的一个法向量，
又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），所以
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
设G（0，m，0）（其中）
则，
由得，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得（3）
由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，C，D的距离都相等。
从而，在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。
解法二：
（I）同解法一。
（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E，
则。
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在中，DE=，

设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以，

设平面PCD的法向量为，
由，，得
取，得平面PCD的一个法向量，
又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），
所以
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
由GC=CD，得，
从而，即

设
，
在中，

这与GB=GD矛盾。
所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等

19. 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴=（－4，b，－4），=（a，－4，－4）．
∵EH⊥FG．
∴·=－4a－4b+16=0，则a+b=4，即b=4－a．
又G1H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范围是[2，4] ． ……6分
（2）当GH=2时，a=2，b=2．
∴=（－2，2，0），=（－4，4，0），即=2．
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则．
设P（x1，y1，z1），则=（x1－4，y，z1－4）．
∴x1=，y1=，z1=，即P（，，）．
则P（，，）在底面上ABCD上的射影为M（，，0）.又B（8，8，0），
所以为点P到直线的距离. ……12分

22.解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为,
得,在中,
在中，则又
设点C到平面的距离为
则由得，从而……4分
(2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), ，.
设平面的法向量,
又
由,得,
令,得,即。
设平面的法向量, 又
由,得,令,得,即。
所以 ，……7分
由图形观察可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值是. ……9分
(3)方法1.在中,作于点E,因为,得.
因为平面ABC,所以,因为,
得,所以平面,所以,
所以平面.从而
在中, 为异面直线的距离，即为MN的最小值。……14分
方法2.设向量,且

令,得,即。
所以异面直线的距离即为MN的最小值。……14分

59、（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC
∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角
∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1=1
又∵BB1=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。
即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分
（2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。
∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1
∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角
在Rt△OCM中，OC=，OM=
∴∠OMC=cosC+sin2
∴二面角C—AB1—B的大小为 …………8分
（3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON
∴ON⊥平面AB1C。∴ON是O点到平面AB1C的距离

连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点
∴B与C1到平面ACB1的相导。
又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB1C的距离
是O到平面AB1C距离的2倍
是G到平面AB1C距离为 …………12分

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