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函数的应用例题选讲
（所选例题全部是全国各地中考试题压轴试题）
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一、
1。已知抛物线交,交轴的正半轴于C点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线.如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由.
【解】（1）由条件知AO=｜|=—,OB=｜｜=，OC=3(m+1）。
∵，，
得：。
∵＜，||＞｜｜, ∴＜=m—2＜0,∴m=1. ∴函数的解析式为
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线。 C点的坐标为（0，6）.
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线也抛物线只有一个公共点， ∴直线。
②过C点的直线，与抛物线只有一个公共点C，
即    只有一个实数解。∴，
，∴，∴. ∴.
∴符合条件的直线的表达式为或。

2.如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥,桥面（视为水平的)与主
悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨度(即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米。
若过主塔塔顶的主悬钢索(视为抛物线）最低点离桥面（视为直线)的高度为0.5米,桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长。（结果精确到0。1米）

（第2题）

【解】（方法一）如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面(上
竖直钢拉索与桥面连接点，不答此点不扣分)所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0.5），B(－450， 94。5）， C(450，94。5).
由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5
将C(450，94.5）代入求得:
或。∴
当x=350时，y=57。4；当x=400时，y=74。8。
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长都约为74.8米．.。 …………
（方法二）如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点,以平行于桥面的【竖直钢拉索与桥面连接点所在的】直线为x轴建立平面直角坐标系
则B(- 450， 94),C（450，94）
设抛物线为：y＝ax2
将C（450,94）代入求得：
或。∴
当x =350时， y = 56。9,当x=400时, y=74。3
∴56.9+0.5=57.4， 74。3+0。5=74.8
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长约为74。8米.
3.某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算:今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足与成反比例,且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．
（1）求年产量y(万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）
（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外,今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
① 求平均每只开关所需的生产费用为多少元．(用含y的代数式表示）
（生产费用=固定费用+材料费）
② 如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
（销售利润=销售收入－生产费用－改造费用)
【解】（1)10 （2）55 (3）略
（4）经观察所描各点，它们在二次函数的图象上。
设：此函数的解析式为由题意得：
解得： 所以此函数的解析式为
4.据某气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（km/h）与时间(h）的函数图象如图所示．过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为h内沙尘暴所经过的路程（km）．
（1)当时,求的值;
（2）将s随变化的规律用数学关系式表示出来；
t (h)
O
v(km/h)
C
A
B
（第4题图）
（3）若城位于地正南方向，且距地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城．如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到城？如果不会，请说明理由．

（第4题答图2）
（第4题答图1）
（第4题答图3）
【解】设直线l交v与t的函数图象于D点。
（1）由图象知，点A的坐标为（10,30），故直线OA的解析式为．
当时，D点坐标为（4,12），∴，∴（km）.
（2）当0≤≤10时,此时(如图1），
∴ =；
当10＜≤20时，此时，AD=（如图2）,
∴ =;
当20＜≤35时,∵B，C的坐标分别为（20，30）,(35,0）,∴直线BC的解析式为，
∴D点坐标为（,)，∴（如图3)，
∴=．
（3）∵当时，（km）;
当时,(km），而 450＜650＜675,
所以N城会受到侵袭，且侵袭时间应在20h至35h之间．
由 ，解得 或（不合题意，舍去）．
所以在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．
y
x
O
N
M
C
A
B
P
（第5题图）
5.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行,纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．
（1)求和的值；
（2）设双曲线在之间的部分为,
让一把三角尺的直角顶点在上滑动,两直角边
始终与坐标轴平行,且与线段交于两点，
请探究是否存在点使得，写出你的探究
过程和结论．
【解】（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，
∴A,B的坐标分别，．
又点A,B在直线上，∴ 解得或
当且时,点A，B的坐标都是,不合题意，应舍去；当
且时，点A,B的坐标分别为，，符合题意．
∴且。
（2）假设存在点使得．
∵ ∥轴,∥轴，∴∥,
∴，∴Rt∽Rt，∴,
设点P坐标为（1＜x＜8＝，则M点坐标为，
∴。又，
∴，即　　　(※）
∵．∴方程（※）无实数根．
所以不存在点使得．
6.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子。镜子的
长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米.
（1） 求y与x之间的关系式。
（2） 如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
【解】（1) y=240x2+180x+45 (2)长1m 宽0.5m

7。已知抛物线 经过(—1,0),（0，—3）,（2，—3）三点.
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【解】⑴ 抛物线的解析式为
⑵ 抛物线的开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为（1,—4）.

y(桶)

x(元/桶)
O
4
5
400
320
（第8题）
8.某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生
集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组
成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它费用
780元，其中,纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量
y （桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式;
(2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，
请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装
纯净水与个人买饮料,哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净
水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
【解】（1）设，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．
∴ 解之，得
∴y与x的函数关系式为．
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），
当y＝380时，，得 x＝4。25,
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395（元),
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W ＝xy＝x（－80x+720）＝，
∴当 x＝时，W最大值＝1620，
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则 50a≥W最大值+780，即 50a≥1620+780， 解之，得 a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
9。已知二次函数。
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点;
(2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1,0），求B点坐标。
【解】（1）

(2）

10.已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2,0）（x2＞x1）,
（1） 若点P(－1,2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2)若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称,点Q1（－2，q1)、Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1、q2的大小关系是
(请将结论写在横线上，不要写解答过程）；
（友情提示:结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M,若△AMB是直角三角形，求m的值.
【解】(1)∵点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上
∴ 2＝(－1)－2×（－1)＋m ∴ m＝－1
（2） q1＜q2
（3）解1:∵ y＝x2－2x＋m＝(x－1)＋m－1 ∴ M （1，m－1)
∵ 抛物线 y＝x2－2x＋m开口向上，
且与x轴交于点A(x1,0）、B（x2，0）（x1＜x2）∴ m－1＜0
∵ △AMB是直角三角形，又AM＝MB
∴∠AMB＝90° △AMB是等腰直角三角形
过M作MN⊥x轴，垂足为N。 则N(1，0） 又 NM＝NA
∴ 1－x1＝1－m ∴ x1＝m ∴ A （m，0）
∴ m2－2 m＋m＝0 ∴m＝0 或m＝1（不合题意，舍去）
解2：又 NM＝NA＝NB ∴ x2－x1＝2－2m
∴ 解得： ∴ A （m，0）
∴ m2－2 m＋m＝0 ∴ m＝0 或m＝1（不合题意,舍去）
11。已知：如图,△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒)．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2;
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2)，求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有,请说明理由．
【解】（1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2, 解得　＝1,＝2
∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2；
（2）①当0＜≤2时，S＝＝； 　 ②当2＜≤3时， S＝＝;
　 ③当3＜≤4。5时,S＝＝；
（3)有；
①在0＜≤2时,当＝，S有最大值,S1＝；
　　②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S2＝；
③在3＜≤4。5时，当＝，S有最大值，S3＝;
∵S1＜S2＜S3　∴＝时，S有最大值，S最大值＝．

5m
1m
10m
?
12。右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,
抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．
（1）求抛物线的解析式。
（2）求两盏景观灯之间的水平距离。
y
O
x

【解】

B
C
A
x
O
y
D
13。如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A(6,0)和B（0,）,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,
交AB于点D.
（1)试确定这个一次函数关系式；
(2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式。

【解】(1） （2）先求出点C(2，0），故
14。如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上,过A、B、C三点的抛物线表达式为.
　　(1)求A、B、C三点的坐标；
　　(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上,P在OC边上，当MN为多少时,矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
　　(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法。
　　注:基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分。

　　　　【解】(1）由图形得，点A横坐标为0,将x=0代入，
得y=10,∴A（0,10) 　
∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入
得， ， ∴x1=0, x2=8.
　　　 ∵B点在第一象限， ∴B点坐标为（8，10)　　
　　　 ∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入得,
　　 　 解得∴x1=—10,x2=18.
　　　 ∵C在原点的右侧， ∴C点坐标为(18,0）.　
　　　 (2)法一:过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q,则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
　　　 ∴.　　
　　　 设MN=x，NP=y，则有. ∴y=18-x.　　
　　　 ∴S矩形MNOP=xy=x(18—x）=-x2+18x=—（x-9）2+81. ∴当x=9时，有最大值81。
　　　 即MN=9时，矩形MNPO的面积最大,最大值为81。　　

　　法二:过B作BQ⊥x轴于Q,则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴。
　　　　　设MN=x，NP=y，则有。∴y=18—x。
　　　　　∴S矩形MNOP=xy=x(18-x）=-x2+18x=—（x—9）2+81。
　　　　　∴当x=9时，有最大值81。
　　　　　即MN=9时，矩形MNPO的面积最大,最大值为81。
　　15。如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B（0，2)，且其面积为8．
（1)求此抛物线的解析式；
(2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状;
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

【解】⑴解：方法一：
∵B点坐标为(0．2)， ∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4。
∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为（2,2).
设抛物线的解析式为．其过三点A（0，1），C（—2．2)，F（2，2）。
得 解这个方程组，得
∴此抛物线的解析式为
方法二：
∵B点坐标为（0．2)， ∴OB＝2,
∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4。
∴C点坐标为（一2，2）。
根据题意可设抛物线解析式为。 其过点A(0,1）和C（-2．2）
解这个方程组，得
此抛物线解析式为
(2)解：

① 过点B作BN，垂足为N．
∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．
∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝.
∴PN=PS—NS=
在RtPNB中．PB＝
∴PB＝PS＝
②根据①同理可知BQ＝QR。 ∴，
又∵ ， ∴，
同理SBP＝
∴ ∴ ∴。
∴ △SBR为直角三角形．
③方法一：

设，
∵由①知PS＝PB＝b．，。
∴ ∴。
假设存在点M．且MS＝,别MR＝ 。
若使△PSM∽△MRQ， 则有. 即
∴。 ∴SR＝2
∴M为SR的中点.
若使△PSM∽△QRM，则有.
∴。 ∴。
∴M点即为原点O.
综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．
方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵，
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况.
当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。
∴。
取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．
∴MN为直角梯形SRQP的中位线, ∴点M为SR的中点
当△PSM∽△QRM时，
又，即M点与O点重合。
∴点M为原点O。
综上所述,当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM
16。已知抛物线的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，
且经过点A(0，—7)和点B。
(1）求a的取值范围;
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．
【解】（1)由图可知，b=—7.
故抛物线为又抛物线的顶点在第一象限，开口向下,所以抛物线与x轴有两个不同的交点．
∴ 解之，得 .
即a的取值范围是。
(2)设B(x1,o），由OA=20B，得7=2x1，即。
由于，方程（1-a）x2+8x-7=o的一个根， ∴
∴。
故所求所抛物线解析式为。
17.如图，在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。
（1）求圆心的坐标；
（2)抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点,且顶点在正比例函数y＝－x的图象上，求抛物线的解析式;
(3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在(2)中的抛物线上；
(4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角,求x0的取值范围。
【解】（1）∵⊙C经过原点O， ∴AB为⊙C的直径。 ∴C为AB的中点。
过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。
∴圆心C的坐标为（1，）。
（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。
∵抛物线的顶点在直线y＝－x上， ∴顶点坐标为(1，－)
把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得
A
B
C
D
E
F
O
H
第17题图
x
y

解得
∴抛物线的解析式为。
（3）∵OA＝2，OB＝2， ∴。
即⊙C的半径r＝2.∴D（3，),E(－1，）
代入检验,知点D、E均在抛物线上
(4)∵AB为直径， ∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。
∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。
18。在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图5），点C的坐标为（0，－3)，且BO＝CO
（1）求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数的图象的顶点为M，
求AM的长.

【解】

19。已知:在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。
(1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解】解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点

解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4,0）
∵抛物线经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线

（2)解:由抛物线的对称性可知,DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（)
①当时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D’与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D’相切 ∴点O为切点
∴D'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D’OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形 ∴点D的纵坐标为

∴抛物线的解析式为
②当时, 同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y)，且y＞0
①当点P在抛物线上时（如图2---在上面)

∵点B是⊙D的优弧上的一点

过点P作PE⊥x轴于点E

由解得：（舍去）
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时（如图3)

同理可得，
由解得：（舍去）
∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为
或
20。某公司2005年1-3月的月利润y（万元）与月份x之间的关系如图所
示.图中的折线可近似看作是抛物线的一部分.
（1）根据图像提供的信息，求出过A、B、C三点的二次函数关系式;
（2)公司开展技术革新活动，定下目标：今年6月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6月份公司预计将达到多少万元?
（3)如果公司1月份的利润率为13％，以后逐月增加1个百分点。已知6月上旬平均每日实际销售收入为3。6万元，照此推算6月份公司的利润是否会超过（2)中所确定的目标？
（成本总价=利润利润率，销售收入=成本总价+利润）
【解】设 y 与x之间的函数关系式为: y=a x+bx + c
依题意，得 a + b + c = 3
4a + 2b + c = 4
9a + 3b + c = 6
解得 a = b = - c= 3
∴y 与x之间的函数关系式为： y =x- x + 3
（2)当X = 6时，解得 Y = 18 ∴预计6月份的利润将达到18万元
(3）6月份的利润率为：13% + 5 × 1% = 18％
6月份的实际销售收入为：3。6×30 = 108 （万元)
解法一：设6月份的实际利润为x万元，依题意，得 + x =108
解得 x≈16。7 （万元)
∵ 16。7 ＜ 18 ∴6月份的利润不会达到原定目标
解法二： 6月份预计销售收入：+18 = 118 （万元）
∵ 108 ＜ 118 ∴ 6月份的利润不会达到原定目标

21。东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：
卖出价格x(元/件）
50
51
52
53
图8
p（件）
500
490
480
470

50 51 52 53 x（元/件）
……
销售量p（件)
500
490
480
470
……
(1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的
数据,在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结
各点所得的图形,判断p与x的函数关系式;
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售
利润y(元）与卖出价格x(元/件)的函数关系式
(销售利润=销售收入－买入支出）;
(3）在(2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？

【解】（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则
解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
经检验可知:当x=52，p=480，当x=53,p=470时也适合这一关系式
∴所求的函数关系为p=－10x+1000
（2）依题意得：y=px－40p=（－10x+1000)x－40(－10x+1000)
∴ y=－10x2+1400x－40000
（3）由y=－10x2+1400x－40000 可知,当时,y有最大值
∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。

22。已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中
点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E,点B（—1,0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
A
B
C
O
D
E
y
x
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=过点A、E,求抛物
线的解析式。
（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长,当L
取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时
点P是否在（2）中所求的抛物线上,请充分说明你
的判断理由。

【解】（1)连结AD，不难求得A(1，2） OE=,得E（0,）
（2）因为抛物线y=过点A、E
由待定系数法得：c=，b=
抛物线的解析式为y=
（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草,走哪条路径最短？”即确定l上的点P
方法是作点A关于l的对称点A’，连结A’B与l的交点P即为所求。
A
B
l

本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地"。
A
B
C
O
D
E
y
x
P
D'
F
G
由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称
点D'，连结BD'交AC于点P，则PB与PD的
和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。
不难求得∠D’DC=30º
DF=，DD’=2
求得点D'的坐标为(4，）
直线BD’的解析式为：x+
直线AC的解析式为：
求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（,）。
此时BD'===2
所以△PBD的最小周长L为2+2
把点P的坐标代入y=成立,所以此时点P在抛物线上。

23。某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家，
以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上,这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式;
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少？
【解】⑴ 每个面包的利润为（x－5）角
卖出的面包个数为(300－20x）(或[160－(x－7）×20］）
⑵
即
⑶
∴当x=10时，y的最大值为500。
∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角

24。某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套,且没租出的一套设备每月需支出费用(维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。
(1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备(套）的支出费
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该出租多少套机械设备?请你简要说明理由；
（4）请把（2)中所求出的二次函数配方成的形式，并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少？
【解】(1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x－540）元；
（2)
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元,此时租出设备37套;当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套；
（4）
∴ 当x＝325时，y有最大值11102.5。但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34。 5套，而34。5不是整数,故出租设备应为34（套）或35（套）。即当月租金为330元（租出34套)或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元。

25. 如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，
A点坐标为（10，0),C点坐标为（0,6),D是BC边上的动点（与点B,C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合.
(1）如图二，若翻折后点F落在OA边上,求直线DE的函数关系式；
(2）设D（a，6）,E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。

【解】(1）y=-x+12。
（2)当a=5时，b最小值=
（3)猜想：直线DE与抛物线
证明:由(1）可知,DE所在直线为y=-x+12。
代入抛物线，得
化简得x2-24x+144=0，所以△=0.
所以直线DE与抛物线
作法一：延长OF交DE于点H。
作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC,交DE于点H.