浙江省湖州市2013届高三第二次教学质量测试数学理试题Word版含答案.doc

2013年湖州市高三教学质量检测
数学(理）
注意事项:
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式:
如果事件，互斥，那么 柱体的体积公式

如果事件,相互独立，那么 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高
锥体的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那
么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
台体的体积公式
球的表面积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
球的体积公式

其中表示球的半径

第 Ⅰ 卷 （选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1。 设全集，集合，集合，则（ ▲ ）
A. B。 C。 D。
2。 复数（是虚数单位）表示复平面内的点位于( ▲ ）
A。 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D。 第四象限
3。 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ▲ ）
A。 充分不必要条件 B。 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D。 既不充分也不必要条件
4。 设为等比数列的前项和，若，则（ ▲ ）
A. B。 C。 D.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数
解析式可以是 ( ▲ )
是
否
(第6题)
输出S
结束
开始
S=0
i > 100?
i =1
i =2i+1
S=S+2
A. B.
C。 D.
6。 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ▲ ）
A. B. C. D.

7. 直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为,则的值为( ▲ )
A. B. C。 D。
8。 设为定义在上的奇函数,且时，，则函数在上的零点个数为( ▲ )
A. B。 C。 D.

9. 已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为（ ▲ ）
A。 B. C. D.

10. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立,则（ ▲ )
A. B.
C. D.
ks5u

第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共100分）

二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分。）
11. 二项式的展开式中，的系数为 ▲ 。(用数字作答）
12. 已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于 ▲ 。
正视图
俯视图
(第12题)
侧视图
13. 已知实数满足,则的
最小值是 ▲ .
14. 将支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个
笔筒中至少放两支笔,有 ▲ 种不同的放法.(用数
字作答）

15。 已知数列满足，(),则数列 的通项公式为 ▲ 。
16. 已知函数则满足不等式的的取值范围是_▲。
17。 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点,当弦最长时，的取值范围是 ▲ 。
三、解答题(本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
18。 （本小题满分14分)
在中,内角的对边长分别为，且满足,。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ）若，求的面积.

19. （本小题满分14分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球和个黑球,乙箱子里装有 个白球和个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖。 (每次游戏结束后将球放回原箱)
(Ⅰ）求在次游戏中,
（i）摸出个白球的概率；
(ii）获奖的概率；
(Ⅱ)求在次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。

20. (本小题满分14分）
如图，一个正和一个平行四边形在同一个平面内，其中，的中点分别为。 现沿直线将翻折成，使二面角为，设中点为。
(Ⅰ） (i）求证：平面平面；
(ii）求异面直线与所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
第20题

21。 （本小题满分15分）
已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点关于轴的对称点为，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

22. (本小题满分15分）
已知函数，。 ks5u
（Ⅰ）若，求函数在区间上的最值；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
注：是自然对数的底数，约等于.

2013年湖州市高三教学质量检测
数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．）ks5u

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
B
C
B
B
D
C
D

二、填空题（本大题共7小题,每小题4分，共28分．)
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

18。 解：（Ⅰ）由,—--——--—--——---1分
所以，---—-———-—-———2分
因为，-----—-——----4分
所以
。—----————-—-—7分
（Ⅱ） 由已知得，—-—----—---——8分
因为，所以由正弦定理得
，解得.—-——----—-----—--12分
所以的面积.——-———-——-14分

19。 解:（I)（i）解：设“在次游戏中摸出i个白球”为事件，则
——-—--————-—--————-——--—--—---—----—-—-—-——-—-—--———--————-——-——--—3分
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件，则，又
，
且互斥，所以。-—---———————————--—-—-7分
(II）解：由题意可知的所有可能取值为。--——--—-———-----——-——-—-—-—-——-8分
,,
。 --—-—--———-———-—--——-—-— ks5u ---—--———-——-—-—--——————————-——11分
所以的分布列是
X
0
1
2
P

所以的数学期望.-———-—-————————-——----14分
20。 解法一：（Ⅰ） (i)证明：连。 因为为平行四边形，分别为中点，
所以为平行四边形，所以. -——----—---—-—--——————1分
又分别为的中点,所以。 ——-———--———----———2分
第20题
平面，平面，所以平面，平面，而平面，所以平面平面.——--—-—-—-—-——-4分

(ii）因为,所以或其补角即为异面直线与所成的角。--——--—-———5分
因为为正三角形,，为中点，所以，从而平面，而，所以平面，因为平面，所以.—-—-—----—-——————-——————--7分
由条件易得，又为二面角的平面角，所以,所以，
所以.-————----—————-———-——9分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）的（ii)知平面,即，所以即为二面角的平面角。---——--—--—--—-—-—-——---——--——————-12分
。---———-—-—-—---14分
第20题

解法二：(Ⅰ） (i)同解法一;
(ii） 因为为正三角形,，为中点,所以，从而为二面角的平面角且平面，而平面，所以平面平面.
作平面于，则在直线上，又由二面角的平面角为,故在线段的延长线上. 由得。-——-———-6分
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为,，,，，所以,。-———--—-—-—---—-8分
所以异面直线与所成角的余弦值为，
从而其正切值为。---———————-- ks5u ————-———10分
(Ⅱ） 由（Ⅰ)的（ii)知，设平面的法向量为，则由，得
令,得。---—--—--——12分
又平面的一个法向量为，而二面角为锐二面角，所以二面角的余弦为。—-—----——----14分
21. 解：(Ⅰ)由题设知,圆的圆心坐标是，半径是，
故圆与轴交与两点，。——-——-———---——-———-——-—-—1分
所以，在椭圆中或，又，
所以，或（舍去，因为) 。-———-—-—-——---——--——- 3分
于是，椭圆的方程为.———-—-—-—-—-—--—---——---—-4分
(Ⅱ）因为、
联立方程 ，
所以,。——--—--——————-———-7分
因为直线的方程为，令，
则
,所以点.--—-——-———-———————10分
解法一：

-———-—-—--———-———-——-13分
。

当且仅当即时等号成立。
故的面积存在最大值。-———--——--—--—-—-————15分
（或： 。
令,
则。
当且仅当时等号成立，此时。
故的面积存在最大值为。—--—--——--——-—---————-——-————-15分

解法二：
。
点到直线的距离是. —----—--—--———--—--12分
所以，
.—-—-—---—---—----—--—--—13分
令，
则.
当且仅当时等号成立,此时。
故的面积存在最大值为。——-—-——————-———-----——--—-15分

22。 解：(Ⅰ） 若,则.
当时,，
，
所以函数在上单调递增；——-—--—-——-----——--— ks5u ----——-————-2分
当时,，
.
所以函数在区间上单调递减，-—---—-———-—-----——-——-——-———-—4分
所以在区间上有最小值，又因为，
，而，
所以在区间上有最大值。————-—--—--—-——-——-—-----———-——-6分
（Ⅱ) 函数的定义域为．
由，得． (*）-——-——-—————---——————-—--——--—7分
（ⅰ)当时，,,
不等式（＊）恒成立，所以；--——-—-—-—--——-—---—-———-——-————-——--——--—-——-—-----—9分
（ⅱ)当时，
①当时，由得，即，
现令， 则,-—---—-—---——---—-—-—-—————--—--————-11分
因为，所以，故在上单调递增，
从而的最小值为，因为恒成立等价于，
所以；--—--—-—--——--——-—---——---———---———-——--—————---—--——--——————-----—--——---—-—---——-13分
②当时，的最小值为,而，显然不满足题意.-————---—14分
综上可得，满足条件的的取值范围是。 ---—-————ks5u---———-—---—---—15分