利用导数解决不等式恒成立中参数问题--学案.doc

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题
一、单参数放在不等式上型：
【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数．若对所有都有，求的取值范围．
解：令，则，
（1）若，当时，，故在上为增函数，
∴时，，即．
（2）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
∴时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
说明：上述方法是不等式放缩法．
【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值．
（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．
解：（1），
∵函数在及取得极值，则有，．
即，解得，．
（2）由（1）可知，，．
当时，；当时，；当时，．
∴当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
∵对于任意的，有恒成立，∴，解得或，
因此的取值范围为．
最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．
【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中
、、为常数．
（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中．若在区间上，
恒成立，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例题3】（08湖南理）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．
解：（1）函数的定义域是，
．
设．
则，令，则．
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数．∴在处取得极大值，
而，∴，函数在上为减函数．
于是当时，，当时，．
∴当时，在上为增函数．
当时，，在上为减函数．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）不等式等价于不等式，由知，
．设，，则
．
由（1）知，，即．
∴，，于是在上为减函数．
故函数在上的最小值为．∴a的最大值为．
小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造
函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变
量的取值范围．
【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【针对练习5】若对所有的都有成立，求实数的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、单参数放在区间上型：
【例题4】已知三次函数图象上点处的切线经过点，并且在
处有极值．
（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）∵，∴，
于是过点处的切线为，
又切线经过点，∴，①
∵在处有极值，∴，②
又，③
∴由①②③解得：，，，∴．
（2），由得，．
当时，，单调递增，∴；
当时，，单调递减，∴．
∴当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒
成立，∴的取值范围为．
【针对练习6】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，
上是减函数，又．
（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、双参数中知道其中一个参数的范围型：
【例题5】（07天津理）已知函数，其中，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）．
当时，显然．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：

0

－
0

↗
极大值
↘
↘
极小值
↗

∴在，内是增函数，在，内是减函数．
（2）法一：化归为最值．
由（2）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式
在上恒成立，当且仅当，即，对成立．
从而得，∴满足条件的的取值范围是．
法二：变量分离．
∵，∴，即．
令，，
∴在上递减，最小值为，
从而得，∴满足条件的的取值范围是．
或用，即，进一步分离变量得，
利用导数可以得到在时取得最小值，
从而得，∴满足条件的的取值范围是．
法三：变更主元．
在上恒成立，即，，
∵，∴在递增，即的最大值为．
以下同上法．
说明：本题是在对于任意的，在上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往
先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．
【例题6】设函数，，若对于任意的，不等式
在上恒成立，求实数的取值范围．
解：在上恒成立，即在上恒成立．
由条件得，
又，∴，即．
设，则．
令，，
当，；当，，
∴时，，于是，
∴在递减，∴的最小值为，
∴，因此满足条件的的取值范围是．
【针对练习7】设函数，其中，．若对于任意的，
不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

四、双参数中的范围均未知型：
【例题7】（10湖南理）已知函数，对任意的，恒有．
（1）证明：当时，；
（2）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值．
解：（1）易知．由题设，对任意的，，即
恒成立，∴，从而．
于是，且，因此．
故当时，有，即当时，．
（2）由（1）知，．
当时，有．
令，则，．而函数的值域是．
因此，当时，的取值集合为．
当时，由（1）知，，．此时或，．
从而恒成立．综上所述，的最小值为．
【针对练习8】若图象上斜率为3的两切线间的距离为，设．
（1）若函数在处有极值，求的解析式；
（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数
的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

五、双参数中的线性规划型：
【例题8】（12浙江理）已知，，函数．
（1）证明：当时，①函数的最大值为；②；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
解：（1）①．
当时，，在上恒成立，
∴在上递增，此时的最大值为：
；
当时，，
此时在上递减，在上递增，∴在上的最大值为：
．
综上所述：函数在上的最大值为．
②∵，当时，

．
当时，

．
设，，列表可得
，∴当时，，
∴．
（2）由①知：函数在上的最大值为，∴．

由②知：，于是对恒成立的充要条件为：
或，在坐标系中，
不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
其中不包括线段．作一组平行线，
得，∴的取值范围为．
【针对练习9】已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若的两个极值点，恒满足，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

六、双参数中的绝对值存在型：
【例题9】（06湖北理）设是函数的一个极值点．
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，．若存在，使得成立，求的
取值范围．
解：（1），由，得，
即得，则．
令，得或，由于是极值点，∴，即．
当时，，则在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数．
当时，，则在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数．
（2）由（1）知，当时，，在区间上的单调递增，在区间上单调递
减，那么在区间上的值域是，
而，，，
那么在区间上的值域是．
又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是
，由于，
∴只须仅须且，解得．故的取值范围是．
【针对练习10】（10辽宁理）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，如果对任意，，，求的取值范围．
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

总结：关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理．这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决．
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