利用导数解决不等式恒成立中参数问题--学案.doc

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题1】（07全国理）设函数若对所有都有，求的取值范围解：令，则，（1）若，当时，故在上为增函数，时，即（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，求的取值范围解：【例题2】（07全国文）设函数在及时取得极值（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围解：（1），函数在及取得极值，则有，即，解得，（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为对于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范围为最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中、为常数（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围解：【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中若在区间上，恒成立，求的取值范围解：【例题3】（08湖南理）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值解：（1）函数的定义域是，设则，令，则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数在处取得极大值，而，函数在上为减函数于是当时，当时，当时，在上为增函数当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）不等式等价于不等式，由知，设，则由（1）知，即，于是在上为减函数故函数在上的最小值为a的最大值为小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方）；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；写出变量的取值范围【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求的取值范围解：【针对练习5】若对所有的都有成立，求实数的取值范围解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知三次函数图象上点处的切线经过点，并且在处有极值（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解：（1），于是过点处的切线为，又切线经过点，在处有极值，又，由解得：，（2），由得，当时，单调递增，；当时，单调递减，当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒成立，的取值范围为【针对练习6】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围解：三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题5】（07天津理）已知函数，其中，（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：（1）当时，显然这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数（2）法一：化归为最值由（2）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对成立从而得，满足条件的的取值范围是法二：变量分离，即令，在上递减，最小值为，从而得，满足条件的的取值范围是或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，满足条件的的取值范围是法三：变更主元在上恒成立，即，在递增，即的最大值为以下同上法说明：本题是在对于任意的，在上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立【例题6】设函数，若对于任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：在上恒成立，即在上恒成立由条件得，又，即设，则令，当，；当，时，于是，在递减，的最小值为，因此满足条件的的取值范围是【针对练习7】设函数，其中，若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：四、双参数中的范围均未知型：【例题7】（10湖南理）已知函数，对任意的，恒有（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值解：（1）易知由题设，对任意的，即恒成立，从而于是，且，因此故当时，有，即当时，（2）由（1）知，当时，有令，则，而函数的值域是因此，当时，的取值集合为当时，由（1）知，此时或，从而恒成立综上所述，的最小值为【针对练习8】若图象上斜率为3的两切线间的距离为，设（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围解：五、双参数中的线性规划型：【例题8】（12浙江理）已知，函数（1）证明：当时，函数的最大值为；（2）若对恒成立，求的取值范围解：（1）当时，在上恒成立，在上递增，此时的最大值为：；当时，此时在上递减，在上递增，在上的最大值为：综上所述：函数在上的最大值为，当时，当时，设，列表可得，当时，（2）由知：函数在上的最大值为，由知：，于是对恒成立的充要条件为：或，在坐标系中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段作一组平行线，得，的取值范围为【针对练习9】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若的两个极值点，恒满足，求的取值范围解：六、双参数中的绝对值存在型：【例题9】（06湖北理）设是函数的一个极值点（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围解：（1），由，得，即得，则令，得或，由于是极值点，即当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数（2）由（1）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，那么在区间上的值域是又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，由于，只须仅须且，解得故的取值范围是【针对练习10】（10辽宁理）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，如果对任意，求的取值范围解：总结：关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决10 / 10