微积分期末复习多元函数重积分.doc

多元函数 重积分复习
一、客观题：
1．判断
1）．已知 （ √ ）
2）．若二元函数
可微. ( × ）
3）．若二元函数
（ × ）
4）．若二元函数
（ × ）
2.选择题
1）. 函数在处可微分,是在处连续的_________条件.
A． 充分条件 B. 既充分又必要条件
C． 必要条件 D. 既非充分又非必要条件
答案：A
2）． 取得极值的________.
A. 必要条件 B. 充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
答案：D
3）．设函数在（0，0）处存在偏导数，且
那么 .
A. 必定存在 B．在（0，0）处必连续
C. D．
答案：D
4）．设为连续函数，则等于（ ）.
A B
C C
答案 C
5.）设区域则（ ）.
A. B.
C D.
答案 B D
6．），下列积分值（ ）为零.
A. B.
C. D.
答案 B
3．填空题
1）．设则__________.
2）．交换积分顺序
=______ .
3) 若 表达式分别为 ___.
答案
4) 设由

___.
答案
二、 求多元函数的定义域
例1 求的定义域.
解：
例2 求的定义域
解： 须满足
三 多元函数的偏导数
1. 多元函数偏导数的定义
2. 多元函数偏导数的计算
（1） 由偏导数的定义可知，求偏导数仍是求一元函数的导数问题，即

（2） 求函数偏导数时，一般用一元函数的求导公式和求导法则.
（3） 求函数在一点的偏导数时，有三种方法：
一是求偏导函数再代值；
二是用公式
三是用偏导数的定义.
（4）求分段函数在分段点处的导数用偏导数定义.
（5）抽象函数偏导数的计算
（6）隐函数偏导数的计算
例1 设在点（1，3）处关于的偏导数.
解1：由二元函数在一点的偏导数的定义

解2：由二元函数偏导数和单变量函数导数的关系可得
同理：
解3：由偏导函数和偏导数的关系

代入有，
例2 设求
解：对求偏导数，视为常量，是幂函数
，
对求偏导数，视为常量，

例3 求函数

在（0，0）处的偏导数
解：由于是分段点，用定义讨论

同理.但该函数在（0，0）点不连续，这是因偏导数只是刻画了沿着平行于轴或轴方向变化的情形.
注意：该函数在（0,0)点不连续
例4 求下列函数的全微分
(1)
（2）设，求全微分
解：（1）由全微分的定义，代入有
（2）
于是
例5 设
解：

※例6 设具有二阶连续偏导数，求
解： 令
因所给函数由复合而成，根据复合函数求导法则，有

求及时，应注意仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有

于是

例7
解1：由隐函数求导公式，令，则

，
所以
代入得
解2：

解出有
代入得
※例8 设
解1. 由隐函数求导公式，令，则

所以
解2：将方程中的z看作的函数，方程两边分别对求偏导数得
，解出
，解出
解3：由微分形式不变性，将方程两边同时求微分得

整理有
所以
以上三种方法是求隐函数偏导数的常用方法.
练习：
1.设 ，且函数 f 具有二阶连续的偏导数，求:
解
2. 设 ，求:
解：
所以
※3．方程计算

解：，，
所以，
由此可得
四 多元函数的极值与条件极值
例1 求由方程

解

（2分）
所以有极大值，z=6.
例2 求二元函数的极值.
解：
令 得驻点
又
所以 在驻点处取极小值，极小值
例3 设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x,y(吨)间的关系式是，现准备向银行贷款150万元购原料，已知A,B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?
解:按题意，即求函数，在条件下的最大值.
作拉格朗日函数，
由，解得.
因仅有一个驻点，且最大值一定存在，故驻点（100，25）为最大值点，最大值
吨，即购进A原料100吨，B原料25吨，可使生产量达到最大值1250吨.
例4 某公司为推销自己的商品，采用两种方式做广告，设广告费分别为（单位：万元），已知销售
收入R和广告费之间的关系为：

如果销售产品所得的利润是销售收入的再扣除广告费.
（1）在广告费不限的情况下，求最佳广告策略 ；
（2）如果广告费共5万元，求最佳广告策略.
解：（1）利润 =
由 得：
根据实际问题最值一定存在，所以广告费分别为5万元和10万元时利润最大.
（2）因为广告费共5万元，所以，则代入，
=
再由得： ，因此，,
所以根据实际问题得：广告费分别为万元和万元时利润最大.
四 重积分的计算
※例1 计算二重积分其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线围成 .
解:
(1) 利用对称性.

(2) 积分域如图: 添加辅助线将D 分为
利用对称性 , 得

说明：利用对称性求二重积分,被积函数应为奇（偶）函数.
例2 改变积分的次序.
原式
※例5．求重积分，其中.
解：由被积函数和积分域的特点考虑用极坐标积分

例6．计算下列积分：
.
解：

六．
1.设

2．设 其中F是任意可导函数 .证明：

1. 证明： 因为t是x，y的隐函数，所以，
又，有
所以
2． 证明： 方程两边分别对x、y求偏导数有，代入即可.
练习
1．设其中f具有连续的二阶偏导数，求 .
※2. 计算重积分,其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
3. 交换积分顺序= ___,
4. 交换积分顺序=_,
※ 5．计算二次积分= ___.
模拟题
一、 判断题（每小题2分，共计12分）
1． 对任何实数a，等式总成立. （ ）
2. （ ）
3．已知 （ ）
4．若二元函数
( )
5．若级数收敛，则级数一定收敛. （ ）
6．若正项级数收敛，则必有 （ ）
二、选择题（每小题2分，共12分）：
1. 设连续，则= .
A. B．
C. 2 D． -2
2．设幂函数在x=2处收敛，则级数__________
A 绝对收敛 B条件收敛 C发散 D收敛性不能确定
3．设函数在（0，0）处存在偏导数，且
那么 .
A. 必定存在 B．在（0，0）处必连续
C. D．
4．设线性无关函数是二阶非齐次线性微分方程三个解，则该方程的通解为_________
A B
C D
（为任意常数）
5.

6．设级数收敛，则 ..
A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D． 敛散性不能判定
三、填空题（每小题2分，共12分）
1.已知 .
2．部分和数列有界是正项级数收敛的___________条件，是任意项级数收敛的_____________条件.
3．级数 的收敛收敛域为[-1，3]，则的收敛域为___________.
4．设

6．方程的通解为__________
四、计算题（1-6题每题5分，7、8题每题7分共44分）
1． 求
2． 设，求
3． 计算二重积分
4． 计算二重积分
5． 求方程的通解
6． 讨论级数的敛散性.
7． 将函数展开成（x＋4）的幂级数.
8． 求幂级数 的收敛域，及在收敛区间上的和函数.
六、证明题（每题5分，共计10分）
1． 设数列收敛，证明级数绝对收敛.
2. 证明等式： 其中在所考虑的积分区间上连续.
答案
一 判断题（每小题2分，共计12分）
1． 对任何实数a，等式总成立. （ B ）
2. （ A ）
3．已知 （ A ）
4．若二元函数
( B )
5．若级数收敛，则级数一定收敛. （ B ）
6．若正项级数收敛，则必有 （ B ）
二、选择题（每小题2分，共12分）：
1. 设连续，则= .
A. B．
C. 2 D． -2
2．设幂函数在x=2处收敛，则级数__________
A 绝对收敛 B条件收敛 C发散 D收敛性不能确定
3．设函数在（0，0）处存在偏导数，且
那么 .
A. 必定存在 B．在（0，0）处必连续
C. D．
4．设线性无关函数是二阶非齐次线性微分方程三个解，则该方程的通解为_________
A B
C D
（为任意常数）
5.

6．设级数收敛，则（ C ）.
A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D． 敛散性不能判定
三、填空题（每小题2分，共12分）
1.已知 .
2．部分和数列有界是正项级数收敛的____充要_______条件，是任意项级数收敛的___必要__________条件.
3．级数 的收敛收敛域为[-1，3]，则的收敛域为___________.
4．设

6．方程的通解为________
四、计算题（每题5分，共20分）
2． 求
解
=
2．设，求
解
9． 计算二重积分
解：
10． 计算二重积分
解
5． 求方程的通解
解 对应齐次方程的通解为
设所给方程的特解为为待定常数，代入所给方程，
得，
比较同次项系数，得
于是 方程通解为
（其中为任意常数）
6．讨论级数的敛散性.
当
当
当
8．将函数展开成（x＋4）的幂级数.
解：因为：，

故：
展开式成立区间为和的共同部分，即（－6，－2）.
9．幂级数 的收敛域，以及该级数在收敛区间上的和函数和.
解：收敛域
令

五 求由方程

解

所以有极大值，z=6.
六、证明题
1. 设数列收敛，证明级数绝对收敛.
证:
收敛 使
即
而收敛 收敛,即原级数绝对收敛.
2. 证明等式： 其中在所考虑的积分区间上连续.
证:
左=
=

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