数学基础模块(下册)第六章--数列.doc

(完整版)数学基础模块(下册)第六章 数列
【课题】 6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
(1)了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项)和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义，培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项(一般项）和通项公式．
从几个具体实例入手，引出数列的定义。数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来,只要写出来，就等于给出了“次序",比如我们随便写出的两列数：2，1,15，3，243,23与1,15,23，2,243，3，就都是按照“一定次序"排成的一列数，因此它们就都是数列,但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．
例1和例3是基本题目，前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成。要列出项数与该项的对应关系,不能泛泛而谈，采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．（90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
火车1
中国
比利时
飞机1
飞机2
火车2
火车3
货船1
货船2
6．1 数列的概念．
*创设情境 兴趣导入
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5,…． （1 ）
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
． （2 ）
当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为
—1,1，—1，1,…． (3 ）
取无理数的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为
3，3.1，3。14，3。141，3.1416，…． (4)

介绍

播放
课件

质疑

引导
分析

了解

观看
课件

思考

自我
分析

从实例出发使学生自然的走向知识点

0

5
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项），第2项，第3项,…，第n项,…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2,3,…，n,分别叫做对应的项的项数．
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列(2）中,第3项为,这一项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列？
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应,所以无穷数列的一般形式可以写作
．
简记作{｝．其中,下角码中的数为项数,表示第1项，表示第2项,…．当由小至大依次取正整数值时,依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项叫做数列｛}的通项或一般项．

总结
归纳

仔细
分析
讲解
关键
词语

思考

理解

记忆

带领
学生
分析

引导
式启
发学
生得
出结
果

10
*运用知识 强化练习
1。说出生活中的一个数列实例．
2。数列“1,2,3,4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？
3.设数列为“—5,—3,-1,1,3， 5，…” ，指出其中、各是什么数?

提问
巡视
指导

思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况

15
*创设情境 兴趣导入
【观察】
6.1。1中的数列（1）中,各项是从小到大依次排列出的正整数．
，，，…,
可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用

表示．利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项，如,．
6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂．
,，，…,
可以看到,各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用

表示,利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如，．

质疑

引导
分析

思考

参与
分析

引导启发学生思考

25
＊动脑思考 探索新知
【新知识】
一个数列的第n项,如果能够用关于项数
的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
数列(1）的通项公式为，可以将数列（1）记为数列｛n｝；数列（2）的通项公式为，可以将数列（2)记为数列.

总结
归纳

仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
归纳

理解
记忆

带领
学生
总结

35

＊巩固知识 典型例题
例1 设数列｛}的通项公式为
,
写出数列的前5项．
分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时,只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果．
解 ；;；;．
例2 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式。
（1)5，10，15,20，…； （2）…; (3)−1，1,−1，1,…．
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系,探求用式子表示这种关系．
解 （1)数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n
1
2
3
4
项
5
10
15
20
关系

由此得到，该数列的一个通项公式为
．
（2）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
1
2
3
4
项

关系

由此得到，该数列的一个通项公式为
．
（3)数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
1
2
3
4
项
−1
1
−1
1
关系

由此得到，该数列的一个通项公式为
．

【注意】
由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如,与都是例2(3)中数列“−1,1，−1，1，…．”的通项公式．
【知识巩固】
例3 判断16和45是否为数列{3n+1｝中的项，如果是,请指出是第几项.
分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且.
解 数列的通项公式为。
将16代入数列的通项公式有
，
解得
．
所以，16是数列中的第5项．
将45代入数列的通项公式有
，
解得
,
所以，45不是数列中的项．

说明
强调

引领

讲解
说明

引领
分析

强调
含义

说明

观察

思考

主动
求解

观察

思考
求解

领会

思考
求解

通过例题进一步领会

注意
观察
学生
是否
理解
知识
点

反复
强调

50
*运用知识 强化练习
1。 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项:
（1）; （2）．
2。 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1）−1，1,3,5，…； (2) , ， , ，…； （3) ，,，，…。
3。 判断12和56是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项．

启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

65
＊理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
数列、项、项数分别是如何定义的?
结论：
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起,按照自左至右排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项）,第2项，第3项，…,第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3，…,n,分别叫做各项的项数．

质疑

归纳强调

回答

及时了解学生知识掌握情况

75

＊归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么?

引导

回忆

＊自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
判断22是否为数列中的项,如果是，请指出是第几项．

提问

巡视
指导

反思

动手
求解

检验
学生
学习
效果

85

*继续探索 活动探究
（1）读书部分：教材
(2）书面作业：教材习题6．1 A组（必做)；6．1 B组（选做）
(3）实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

说明

记录

分层次要求

90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参与有关活动；
在数学活动中,是否认真、积极、自信;
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作;
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见;
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面．

【课题】 6．2 等差数列(一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义；
（2)理解等差数列通项公式．
能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式。重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:（常数)。例1是基础题目，有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程，所用的归纳方法是不完全归纳法.因此，公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明。例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目，注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟）
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
6．2 等差数列．
＊创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：
5,10，15，20，…． (1）
将正奇数从小到大列出,组成数列：
1，3，5,7，9,…． (2）
观察数列中相邻两项之间的关系，
发现：从第2项开始，数列（1)中的每一项与它前一项的差都是5；数列（2)中的每一项与它前一项的差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数．

介绍

播放
课件

质疑

引导
分析

了解

观看
课件

思考

自我
分析

从实例出发使学生自然的走向知识点

引导
式启
发学
生得
出结
果

0

5
*动脑思考 探索新知
如果一个数列从第2项开始,每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示．
由定义知，若数列为等差数列，为公差，则，即

（6.1）

总结
归纳

仔细
分析
讲解
关键
词语

思考

理解

记忆

带领
学生
分析

10
＊巩固知识 典型例题
例１　已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项．
解　由于，因此
　 ；
；

说明
强调

引领

讲解
说明

观察

思考

主动
求解

通过例题进一步领会等差数列通项公式

45

*运用知识 强化练习
1. 已知为等差数列，，公差，试写出这个数列的第8项．
2. 写出等差数列11，8,5，2,…的第10项。

提问
巡视
指导

动手
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况

25
*创设情境 兴趣导入
你能很快地写出例1中数列的第101项吗?
显然，依照公式(6.1)写出数列的第101项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第101项．

质疑

引导
分析

思考

参与
分析

从实
际事
例使
学生
自然
的走
向知
识点

30
＊动脑思考 探索新知
设等差数列 的公差为d ，则

．．．．．．
依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
　　　　（6。2)
知道了等差数列中的和,利用公式(6.2）,可以直接计算出数列的任意一项.
在例１的等差数列中,，，所以数列的通项公式为
，
数列的第101项为
．
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量:、、和,只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

总结
归纳

仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
归纳

理解
记忆

带领
学生
总结
问题
得到
等差数列通项公式

引导启发学生思考求解

35

＊巩固知识 典型例题
例2 求等差数列
．．．
的第50项。
解 由于所以通项公式为

即
故

例3 在等差数列中，公差求首项
解 由于公差故设等差数列的通项公式为

由于,故
，
解得

【小提示】
本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：,．
例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄。
分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和，可以将这三个数设为，,，这样可以方便地求出，从而解决问题。
解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为，，,其中为公差
则

解得

从而

答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁。
【注意】
将构成等差数列的三个数设为，，，是经常使用的方法。

说明
强调

引领

讲解
说明

引领
分析

强调
含义

说明

观察

思考

主动
求解

观察

思考
求解

领会

思考
求解

通过例题进一步领会

注意
观察
学生
是否
理解
知识
点

反复
强调

45

50
*运用知识 强化练习
练习6.2.2
1。求等差数列,1, ，…的通项公式与第15项．
2。在等差数列中，,，求与公差.
3。在等差数列中，，，判断－48是否为数列中的项,如果是，请指出是第几项.

启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

60
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
等差数列的通项公式是什么？
结论:
等差数列的通项公式

质疑

归纳强调

小组
讨论

回答

理解

强化

及时了解学生知识掌握情况

以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点

70

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么?

引导

回忆

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何?
写出等差数列
，,1，，…
的通项公式，并求出数列的第11项．

提问

巡视
指导

反思

动手
求解

检验
学生
学习
效果

培养学生总结反思学习过程的能力

80

＊继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业:教材习题6．2(必做）;学习指导6．3（选做）
（3）实践调查：寻找生活中等差数列的实例

说明

记录

分层次要求

90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作;
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见;
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．2 等差数列
【教学目标】
知识目标：
理解等差数列通项公式及前项和公式．
能力目标：
通过学习前项和公式，培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的前项和的公式．
【教学难点】
等差数列前项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的前项和公式，等差数列应用举例.重点是等差数列的前项和公式；难点是前项和公式的推导以及知识的简单实际应用．
等差数列前项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量、、、、中，知道其中三个，可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．
例7将末项看作是首项的思想是非常重要的，以这类习题作为载体，对培养学生的创新精神是十分重要的．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟）
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
＊揭示课题
6．2 等差数列．
＊创设情境 兴趣导入
【趣味数学问题】
数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目:“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!”
对于这些十岁左右的孩子,这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案,此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来,额头都流出了汗水．
小高斯是怎样计算出来的呢？
他观察这100个数
1， 2, 3, 4， 5, …，96, 97， 98， 99, 100.
并将它们分成50对，依次计算各对的和：
1+100=101
2+99=101
3+98=101
4+97=101
5+96=101
……
50+51=101
所以，前100个正整数的和为
10150=5050。

质疑

引导
分析

思考

参与
分析

从小故事讲起引起
学生
兴趣

10
*动脑思考 探索新知
从小到大排列的前100个正整数,组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为
．
现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和．
将等差数列前项的和记作．即
． (1）
也可以写作
． （2）
由于
，
，
，
……
(1)式与（2）式两边分别相加，得
,
由此得出等差数列的前项和公式为
．
（6.3）

即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．
知道了等差数列中的、n和，利用公式（6.3）可以直接计算．
（6.4）

将等差数列的通项公式代入公式（6。3），得

知道了等差数列中的、n和，利用公式（6.4)可以直接计算．
【想一想】
在等差数列中，知道了、d、n、、五个量中的三个量,就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

总结
归纳

仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
归纳

理解
记忆

带领
学生
总结
问题
得到
等差数列求和公式

引导启发学生思考求解

20

＊巩固知识 典型例题
例5 已知等差数列中，,, 求．
解 由已知条件得
．
例6 等差数列
…
的前多少项的和等于50？
解 设数列的前n项和是50,由于
故

即
，
解得
舍去），
所以，该数列的前10项的和等于50．
【想一想】
例6中为什么将负数舍去？

说明
强调

引领

讲解
说明

引领
分析

强调
含义

说明

观察

思考

主动
求解

观察

思考
求解

领会

思考
求解

通过例题进一步领会

注意
观察
学生
是否
理解
知识
点

反复
强调

30
*运用知识 强化练习
练习 6.2。3
1. 求等差数列1，4，7，10，…的前100项的和．
2. 在等差数列{｝中,=6,，求．

启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

40
*巩固知识 典型例题
例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？
解1 由题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2， ,于是
，
解得 ．
所以 ．
答 礼堂共有1150个座位．
解2 将最后一排看作第一排，则,,n = 25， 因此

答 礼堂共有1150个座位．
【想一想】
比较本例题的两种解法，从中受到什么启发?
例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元,银行以年利率1.71％计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?
【说明】
年利率1。71％，折合月利率为0.1425％．计算公式为月利率=年利率÷12．
解 年利率1.71％,折合月利率为0。1425％．
第1个月的存款利息为1000×0。1425%×12（元）;
第2个月的存款利息为1000×0。1425％×11（元）；
第3个月的存款利息为1000×0.1425％×10（元）；
… …
第12个月的存款利息为1000×0。1425%×1（元）．
应得到的利息就是上面各期利息之和．
（元)，
故年终本金与利息之和总额为
12×1000+111。15=12111.15（元）．

说明
强调

引领

讲解
说明

引领
分析

强调
含义

说明

观察

思考

主动
求解

观察

思考
求解

领会

思考
求解

通过例题进一步领会

注意
观察
学生
是否
理解
知识
点

反复
强调

50
练习6。2。4
第1题图
1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管,往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管．
2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71％计息，试问年终结算时本利和总额是多少(精确到0.01元）?

启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

60
＊理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等差数列的前n项和公式是什么？
结论：，
．

质疑

归纳强调

回答

理解

强化

以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点

70

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么?

引导

回忆

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何?
一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片．

提问

巡视
指导

反思

动手
求解
培养学生总结反思学习过程的能力

80

＊继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
（2)书面作业:教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做)
（3)实践调查:运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题

说明

记录

分层次要求

90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生的情感态度
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作;
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等比数列的定义;
（2）理解等比数列通项公式．
能力目标:
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的定义，等比数列的通项公式。重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．
等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆,并弄清楚二者之间的区别和联系。等比数列的定义是推导通项公式的基础,教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:(常数).
例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需