资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
4．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ）
A．-4 B． C． D．
6．已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，1）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y1）是函数图象上的两点，则y1＜y1；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0其中正确结论有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为___________.
12．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的1个黑球和2个红球，从盒子中任意取出1个球，取出红球的概率是____.
13．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③ 8a+7b+1c＞0；④若点A（﹣3，y1）、点B（ ，y1）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有_______个．
14．某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，这架飞机着陆后滑行最后150m所用的时间是_______s．
15．如图，矩形对角线交于点为线段上一点，以点为圆心，为半径画圆与相切于的中点交于点，若，则图中阴影部分面积为________________.
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为_____．
18．已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动.商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售.
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？
（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高，再大幅降价元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到22400元，求的值.（利润=售价－成本）
20．（6分）如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点．将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作ｘ轴的垂线，垂足为F，过点B作ｙ轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点．连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为ｔ，
（1）当ｔ=2时，求CF的长；
（2）①当ｔ为何值时，点C落在线段CD上；
②设△BCE的面积为S，求S与ｔ之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿ｘ轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出符合上述条件的点坐标，
21．（6分）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是DC上的一动点，过点作EF⊥AE，交BC于点F，连结AF.
（1）证明：△ADE∽△ECF；
（2）若△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3，求BF的长.
22．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两观景台之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）
23．（8分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表:
···
···
···
···
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 .
24．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC ．
(1)若∠DFC=40º，求∠CBF的度数．
(2)求证: CD⊥DF ．
25．（10分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝1．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可
【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，，
∴
故选B
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2、D
【分析】根据二次函数的图象和性质、各项系数结合图象进行解答．
【详解】∵（-1，0），对称轴为
∴二次函数与x轴的另一个交点为
将代入中
，故A正确
将代入中
②①
∴
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
∴
∴，故B正确；
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴抛物线顶点纵坐标
∵抛物线开口向上
∴
∴，故C正确
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
将代入中
①②
∴
∴，故D错误，符合题意
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与函数解析式的关系，可以根据各项系数结合图象进行解答．
3、D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4、B
【分析】根据抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为
故选B．
【点睛】
此题考查的是求抛物线平移后的解析式，掌握抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，是解决此题的关键．
5、B
【分析】利用根与系数的关系，，由一个根为2，以及a，c的值求出另一根即可．
【详解】解：∵关于x的方程有一个根是2，
∴，
即
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，熟练地运用根与系数的关系可以大大降低计算量．
6、B
【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可．
【详解】①因为其图象的开口向上，故正确；
②其图象的对称轴为直线，故错误；
③其图象顶点坐标为，故错误；
④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小，故正确．
所以正确的有2个
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7、D
【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.
【详解】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，并可得：
，，，故A，B，C正确；D错误；
故选D．
【点睛】
考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．
8、B
【解析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．
【详解】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，
此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB==10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE==4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD==3，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
9、D
【解析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：绿球的概率：P＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
10、D
【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案.
【详解】①∵图像开口向下，
，
∵与y轴的交点B在(0,1)与(0,3)之间，
，
∵对称轴为x=1，
，
∴b=-4a，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1，
∴图像与x轴的另一个交点为(5,0)，
∴根据图像可以看出，当x=3时，函数值y=9a+3b+c>0，
故②正确；
③∵点 ，
∴点M到对称轴的距离为 ，点N到对称轴的距离为，
∴点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，
∴ ，故③正确；
④根据图像与x轴的交点坐标可以设函数的关系式为：y=a（x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a，∵图像与y轴的交点B在（0，1）与（0，3）之间，，
解不等式组得 ，故④正确；
⑤∵对称轴为x=1
，
∴b=-4a，
当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确；
综上分析可知，正确的结论有5个，
故D选项正确.故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据“随增加而减小”可知，解出k的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
12、
【分析】根据概率的定义即可解题.
【详解】解：一共有3个球,其中有2个红球,
∴红球的概率=.
【点睛】
本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
13、2
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】①由对称轴可知：x＝−＝1，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝−2时，y＜0，
∴9a−2b＋c＜0，
即9a＋c＜2b，故②错误；
③令x＝−1，y＝0，
∴a−b＋c＝0，
∵b＝−4a，
∴c＝−5a，
∴8a＋7b＋1c
＝8a−18a−10a
＝−20a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋1c＝−20a＞0，故③正确；
④点A（﹣2，y1）、点B（ ，y1）、点C（ ，y2）在该函数图象上，由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝1的对称点为（，y2），
∵−2＜＜，
∴y1＜y1＜y2
故④错误；
⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝1的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax1＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5），
令y＝−2，
∴直线y＝−2与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x1，x1，
∴x1＜−l＜5＜x1
故⑤正确；
故正确的结论有2个
答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
14、1
【解析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论．
【详解】当y取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t-t2=-（t-20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600-150=450时，
即60t-t2=450，
解得：t=1，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20-1=1，
故答案是：1．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15、
【分析】连接BG，根据切线性质及G为中点可知BG垂直平分AO，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到∠ABD=60°，∠ADB=30°，再利用30°角直角三角形的三边关系求出AB，然后求出和扇形BEF的面积，两者相减即可得到阴影部分面积．
【详解】连接BG，由题可知BG⊥OA，
∵G为OA中点，
∴BG垂直平分OA，
∴AB=OB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OD=OC，∠BAD=90°，
∴AB=OB=OA，即为等边三角形，
∴∠ABO=∠BAO=60°，
∴∠ADB=30°，∠ABG=30°，
在中，∠ADB=30°，AD=，
∴AB=OA=2，
在中，∠ABG=30°，AB=2，
∴AG=1，BG=，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含30°角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质，较为综合，需熟练掌握各知识点．
16、100°
【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数．
【详解】连结OC，OD，
∵PC、PD均与圆相切，
∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，
∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，
∴∠CPD+∠COD＝180°，
∵OB＝OC，OD＝OA，
∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，
∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，
∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．
∴∠CPD＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】
本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
17、-1．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值.
【详解】如图，连接OP
∵点B为AO的中点，的面积为3
由反比例函数的几何意义得
则，即
又由反比例函数图象的性质可知
则
解得
故答案为：.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键.
18、 7：1
【分析】由平行易得△ABC∽△A′B′C′，且两三角形位似，位似比等于OA′：OA．
【详解】解：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
，，
∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO，
，∠A′B′C′=∠ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（1+3）：1=7：1．
【点睛】
本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比．
三、解答题(共66分)
19、（1）最多降价200元，才能使得利润不低于；（2）的值为1
【分析】（1）设降价x元，才能使利润率不低于30%，根据售价﹣成本=利润，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其最大值即可得出结论；
（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设降价元，根据题意得：
解得：
答：最多降价200元，才能使得利润不低于．
（2）根据题意得：
整理得：
解得：，(舍去)
∴．
答：的值为1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20、（2）CF=2；（2）①；②；（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
【分析】（2）由Rt△ABO∽Rt△CAF即可求得CF的长．
（2）①点C落在线段CD上，可得Rt△CDD∽Rt△BOD，从而可求ｔ的值．
②由于当点C与点E重合时，CE=2，，因此，分和两种情况讨论．
（3）分三种情况作出图形讨论即可得到答案.
【详解】解：（2）当ｔ=2时，OA=2，
∵点B（0，2），
∴OB=2．
又∵∠BAC=900，AB=2AC，
∴Rt△ABO∽Rt△CAF．
∴，
CF=2．
（2）①当OA=ｔ时，
∵Rt△ABO∽Rt△CAF，
∴．
∴．
∵点C落在线段CD上，
∴Rt△CDD∽Rt△BOD．
∴，
整理得．
解得（舍去）．
∴当时，点C落在线段CD上．
②当点C与点E重合时，CE=2，可得．
∴当时，；
当时，．
综上所述，S与ｔ之间的函数关系式为．
（3）（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．理由如下：
如图2，当时，点的坐标为（22，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（22，，2）．
如图2，当点与点A重合时，点的坐标为（8，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（8，，2）．
如图3，当时，点的坐标为（2，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（2，，2）．
∴点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
21、（1）详见解析；（2）6.5.
【分析】（1）根据正方形的性质证明∠FEC =∠DAE，即可求解；
（2）根据周长比得到相似比，故，求出FC，即可求解.
【详解】解： (1)∵四边形ABCD是正方形
∴∠C =∠D=90°, AD=DC=8,
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°,
∴∠AED +∠FED =90°
在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED =90°
∴∠FEC =∠DAE
∴ △DAE∽△FEC
(2) ∵△DAE∽△FEC
∴
∵△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3
∴△ADE的边长与△ECF的边长之比为4：3
即
∵AD =8, ∴EC=6
∴DE=8-6=2
∴
∴FC =1.5
∴DF =8-1.5=6.5
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及相似三角形的判定定理.
22、（1）A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝BP＝5km．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝5km，PA＝1．
∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；
答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
则∠BAP＝30°，
∵AB＝（5+5），
∴BF＝AB＝（）km．
答：观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23、（1）或；（2）或
【分析】（1）根据抛物线的对称性从表格中得出其顶点坐标，设出顶点式，任意代入一个非顶点的点的坐标即可求解.
（2）结合表格及函数解析式及其增减性解答即可.
【详解】（1）由题意得顶点坐标为.设函数为.
由题意得函数的图象经过点，
所以.
所以.
所以两数的表达式为(或)；
由所给数据可知当时，有最小值，
二次函数的对称轴为.
又由表格数据可知当时，对应的的范围为或.
【点睛】
本题考查的是确定二次函数的表达式及二次函数的性质，掌握二次函数的对称性及增减性是关键.
24、（1）50º；（2）见解析
【分析】（1）根据圆周角定理及三角形的外角，等腰三角形的知识进行角度的换算即可得；
（2）根据圆的内接四边形对角互补的性质进行角度计算即可证明．
【详解】解:(1)∵∠BAD=∠BFC，
∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠BFC=∠BAC+∠ABF,
∴∠CAD=∠ABF
又∵∠CAD=∠CBD,
∴∠ABF=∠CBD
∴∠ABD=∠FBC，
又
，
，
，
，
．
(2)令，则，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即，
又∵，
∴，
∴
∴
∴，即．
【点睛】
本题主要考查圆的性质与三角形性质综合问题，难度适中，解题的关键是能够灵活运用圆及三角形的性质进行角度的运算．
25、（1）证明见解析；（1）CD=1．
【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；
（1）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．
详（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（1）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴．
∵BD=AD，
∴，
∴，
又∵AC=3，
∴CD=1．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（1）利用相似三角形的性质找出．
26、（1）半径为6；（2）见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，证明AD⊥BC，结合DC＝BD可得AB=AC=1，则半径可求出；
（2）连接OD，先证得∠AED＝90°，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，由平行线的性质，得出OD⊥DE，则结论得证．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC＝1，
∴⊙O半径为6；
（2）证明：连接OD，
∵∠CDE＝∠DAC，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAC+∠ADE，
∴∠AED＝∠ADB，
由（1）知∠ADB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵DC＝BD，OA＝OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
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