【数学】云南师大附中2018届适应性月考卷(4)试题(理)(解析新版).doc

云南师大附中2018届适应性月考卷（4）数学试题（理）
一、选择题
1.已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
3. 在中，若原点到直线的距离为1，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D． 不能确定
4. 已知点是所在平面内一点，为边的中点，且，则（ ）
A． B．
C. D．
5. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A． B． C. -1 D．1
6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别7，3，则输出的（ ）
A． 6 B． 5 C. 4 D．3
7. 已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B．
C. D．的符号不确定
8. 如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9. 若将函数的图象向左平移个单位，平移后所得图象的对称中心为点，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C. D．
10. 已知一个几何体下面是正三棱柱，其所有棱长都为；上面是正三棱锥，它的高为，若点都在一个体积为的球面上，则的值为（ ）
A． B． 1 C. D．
11. 已知数列满足是其前项和，若，（其中），则的最小值是（ ）
A． B． 5 C. D．
12. 设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.圆关于直线对称的圆的标准方程为 ．
14.二项式的展开式中项的系数为，则 ．
15.已知实数满足约束条件，则的取值范围是 ．
16.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面两两互相垂直，点，点到的距离都是2，点是上的动点，满足到的距离是到点距离的2倍，则点的轨迹上的点到的距离的最大值是 ．
三、解答题
17.在各项均为正数的等比数列中，是与的等差中项，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.

18.如图，在平面四边形，和都是等腰直角三角形且，正方形的边.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

19. 甲乙两人进行跳棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分.若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.
（1）求没下满5局甲就获胜的概率；
（2）设比赛结束时已下局数为，求的分布列及数学期望.

20.已知函数.
（1）若，则当时，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数的取值范围.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，直线，与轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于两点，若点的坐标为，求．

23.选修4-5：不等式选讲
已知，若不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
B
D
B
D
C
A
D
C
【解析】
1．，故，故选A．
2．因为，故选C．
3．由已知，故三角形为直角三角形，故选A．
因为为边的中点，，故选B．
5．由知的周期为4，又是定义在上的奇函数，故，故选B．
6．时，不满足；时，不满足；时，满足，输出，故选D．
7．函数在是增函数，故零点是唯一的，又，则，故选B．
8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：，故选D．
9．，所以将的图象向左平移个单位后，得到的图象，其对称中心为点 ，，
的最小值是，故选C．
10．设外接球的半径为，下底面外接圆的半径为，则
，又，故选A．
11．由题意，，以上各式相加得：，又，，当且仅当时等号成立，故选D．
12．设的切点为，的切点为，由题意，对任意存在使得对任意均有解，故对任意恒成立，则对任意恒成立．又，故选C．
二、填空题
题号
13
14
15
16
答案

【解析】
13．由题意所求圆的圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为．
14．，令，得
．
15．由不等式组所表示的平面区域知：点到点的距离最大，故；点到直线的距离最小，即，所以的取值范围是．
16．条件等价于在平面直角坐标系中有点，存在点到轴的距离为该点到点距离的2倍，求该点到轴的距离的最大值. 设，由题意得：，整理得：，所以所求最大值为．
三、解答题
17． 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，且，
由得，
又是与的等差中项，
故或（舍）．
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
所以数列的前项和

18．（Ⅰ）证明：正方形中，
又且，所以
又
因为和都是等腰直角三角形，
所以，
即，且，
所以．
（Ⅱ）解：因为△ABE是等腰直角三角形，所以，
又因为，所以，
即AD，AB，AE两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系，
设AB=1，则AE=1，，
，
设平面BDF的一个法向量为，

可得，
取平面ABD的一个法向量为，
则，
故二面角的余弦值为．

19． 解：（Ⅰ）没下满局甲就获胜有两种情况：
①两局后甲获胜，此时，
②四局后甲获胜，此时，
所以，没下满5局甲就获胜的概率
（Ⅱ）由题意知的所有取值为则
，
，
，
的分布列为

2
4
5

．
20． 解：（Ⅰ）函数的定义域为，由得，
所以．
当时，，在内单调递减；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）由题意，当时，在区间上的最大值．
当时，，
则.
①当时，，
故在上单调递增，；
②当时，设的两根分别为，
则，所以在上，
故在上单调递增，．
综上，当时，在区间上的最大值，
解得，所以实数的取值范围是．
21． 解：（Ⅰ）由题意知，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积最大，
此时的面积，①
又椭圆的离心率，②
由①②得：，
所以，椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，则
直线的方程为，则，即，
同理可得．
由得，
由得且，
所以
，
故为定值．
22．【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由直线的参数方程：得直线的普通方程为，
由得，配方得，
即曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
即，
因为，所以可设是点所对应的参数，则．
又直线过点，所以．
23．【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）由得，解得或，
由题意
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
故实数的取值范围为．

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