第十一章电路方程的矩阵形式.doc

第11章 电路方程的矩阵形式
§11-1图的概念
1，图（线图)：以G表示支路，节点分属不同的集合。
2，有向图： 标出支路电压，电流参考方向的图.
3，连通图：任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径。
4,子图： 若图G1中所有支路和节点都属于图G，就把G1称为G的子图。
如图11-1（b）、(c)、(d）、(e）所示的图都是图11-1（a)所示图G的子图。

(a) (b） （c）

（d） （e)
图11—1 图G与其一些子图

§11-2 回路、树、割集
一、 回路:在图G中的任一闭合路径称为一个回路，但每一个节点上仅有两条支路相连
例如：

(a) （b) （c)
二、树
1，定义：在连通图G中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
① 含所有节点，②不具有回路,③连通的，④为G的子图.

(a) (b) (c）

(d） (e) （f)
电路的图G如图（a）所示,图(b)为图G的一棵树，图（c)不是图G的树（未含所有节点）； 图（d）不是图G的树（出现了回路)；图(e)不是图G的树（不是连通图）；图（f)不是图G的树（不是图G的子图）。
2，树支:属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数＝n－1＝独立节点数
3，连支:不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数＝b-（n—1)=独立回路数。连支的集合称为余树、补树
三、基本回路:在图G中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路（单连支回路）.
1. 基本回路数=连支数。
2. 基本回路的KVL方程相互独立.
3. 不同的树对应于不同的基本回路。
四、割集：图G中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。
1，移去所有被切割支路时原图成为两个分离部分。
2，留下任意被切割支路时,原图依然连通。
注意：每一条支路只能被切割一次。
割集意义下的KCL方程： 穿入割集时取”-”,否则取”+”

五、基本割集
在连通图G中选取一棵树后，由一条树支及相应的连支构成的割集称为该树的基本割集。
1，基本割集数=树支数=独立节点数.
2，基本割集的KCL方程互相独立。
3,不同的树对应不同的基本割集。
如图（a）所示图G中，如果选支路2、3、5为树支,则基本割集组为Q1（1、2、4），Q2(4、5、6）和Q3（1、3、6）,如图(b）所示；如果选支路2、3、4为树支，则基本割集组为Ql(1、3、6），Q2（1、2、5、6）和Q3(4、5、6)，如图(c）所示。

(a） (b) (c)
§11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
一、关联矩阵
支路电流列向量
关联矩阵, 支路与节点的关联关系

降阶的关联矩阵

二、回路矩阵
1，独立回路矩阵：

支路电压列向量
独立回路矩阵, 反映支路与独立回路的关联关系

2,基本回路矩阵：
约定: ①将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列
②将连支对应的列号取为基本回路号
③取连支方向作为基本回路方向
举例：如下图支路1、2、4为连支,支路3、5、6为树支，则基本回路如下
1
2
3
4
6
5

6
2
5
2
3

5
1
3
1

5
6
4
3

三、割集矩阵
1，独立割集矩阵

1
2
3
4
6
5

支路电流列向量
独立割集矩阵,反映支路与独立割集的关联关系

2，基本割集矩阵
约定: ①将树支与连支按支路编号由小到大分别集中排列
②将树支对应的列号称为基本割集号
③取树支方向作为基本割集方向
1
2
3
4
6
5

举例:如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本割集如下，

基本割集矩阵为

3 5 6 1 2 4

比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支反映中，各支路左右顺序不变时,则有：

事实上，该关系式可以得到证明，详见书中§11—4 。

§11-6 状态方程
一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。
+
_

+
_

三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。

状态变量

写成矩阵形式

状态变量的选择不唯一, 也可

写成标准形式

四、状态方程的列写
1, 直观法

+
_

例1：列写如下图所示电路的状态方程。

解：选取单一电感回路，如图l1、l2所示；状态变量

整理并消去中间变量i1、i2，得

写成标准形式

2S
+
_
3F

+
_
1F

4S
例2:列如下图所示电路的状态方程。

解：选取单一电容节点列写KCL方程，状态变量

整理得

写成标准形式

1F
+
_

1H
+
_

2F
+
_

+
_

+
_

例3：列写如下图所示电路的状态方程和以un1、 un2为变量的输出方程.

解:状态变量。
选取单一电容节点列写KCL方程和单一电感回路列写KVL方程，

整理并消取中间变量，得

写成标准形式

输出方程写成标准形式

2：系统法
常态网络：不含有由纯电容与理想电压源构成的回路；
不含有由纯电感与理想电流源汇集成的节点。
特有树: 将所有的电容支路与电压源支路取为树支；
将所有的电感支路与电流源支路取为连支。
系统法： 选一个特有树后,列写状态方程的步骤如下:
①对由电容树支构成的基本割集列KCL方程；
②对由电感连支构成的基本回路列KVL方程;
③对KVL方程中出现的电阻树支作对应的基本割集列KCL方程；
④对KCL方程中出现的电阻连支作对应的基本回路列KVL方程；
⑤消去中间变量，整理方程，写成标准形式。

+
_

1F
+
_
+
_

例4：列写如下图所示电路的状态方程.

解:画出原电路的图，选择特有树，列方程.

五、状态方程的求解：
解法1：时域解法

解法2:拉氏变换解法

+
_

1H

1H

解： 列写状态方程

用拉氏变换法解状态方程

取反拉氏变换可得