广东月考联考练习经典题分类汇编——圆锥曲线(教师版).doc

广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线（教师版）
1．已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．
【答案】解:（1）由离心率，得，即. ① ……2分
又点在椭圆上，
即. ② ……4分
解 ①②得，
故所求椭圆方程为. ……5分
由得直线l的方程为. ………6分
（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.
设与直线l相切于点T，则由，得，………… 10分
当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得.……………… 12分
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得.…… 14分
2. 已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为.
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。(4分)
（Ⅱ）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是 (8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）得， ，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为，令得，令得，
因为点B在上，所以
故，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
设，即得，所以
当时，，当时，，
所以点B的坐标为或. (14分)
3．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，中心在原点．若右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．
【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点，
由题设，解得，…4分
故所求椭圆的方程为。……………5分
设，P为弦MN的中点，
由 得 ，
直线与椭圆相交，
，① ………8分
，从而，
，又，则：
，即 ， ②………………………10分
把②代入①得 ，解得 ， …………………………12分
由②得，解得．…… ……………………………13分
综上求得的取值范围是． ………………………………14分
4．（本题满分14分）
已知椭圆:的一个交点为,而且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.

【答案】解法一:由题意得,,解得,
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
解法二:椭圆的两个交点分别为,
由椭圆的定义可得,所以,,
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知,设,
直线:,令,得;
直线:,令,得; 设圆的圆心为,
则,

而,所以,所以,
所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分
解法二:由（Ⅰ）可知,设,
直线:,令,得;
直线:,令,得;
则,而,所以,
所以,由切割线定理得
所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分
5．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.
【答案】解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得
，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而，此时，
所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因为，，
，
所以的中点坐标为
故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ②
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有

（*）
将，，代入上（*）式得
∴
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形； ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②当时，，，不可能为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③当时，，.
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，
所以
当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形； ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当时，即时，与不垂直。
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
6．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．
（1）求、的值；
（2）若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
【答案】（1）依题意，：，不妨设设、（）
由得，………………（3分）
所以
解得，………………（6分）
（2）由消去得，
动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或………………（9分）
动圆与直线没有公共点当且仅当，即。
解或，………………（10分）
得的取值范围为
………………（12分）
7．（本小题满分14分）
已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
【答案】（1）解：依题意可得，．……………………………………………1分
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，即．
所以双曲线的方程为．……………………………………………3分
（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），
则直线的方程为，………………………………………………4分
联立方程组…………………………………………………5分
整理，得，
解得或．所以．……………………………………6分
同理可得，．……………………………………………………………7分
所以．……………………………………………………………………8分

证法2：设点、（，，），
则，．…………………………………………………………………………4分
因为，所以，即．………………5分
因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，．…………………………………………6分
所以，即．…………………………………7分
所以．………………………………………………………………………8分
证法3：设点，直线的方程为，……………………4分
联立方程组………………………………………………5分
整理，得，
解得或．…………………………………………………………………6分
将代入，得，即．
所以．……………………………………………………………………8分
8．（本小题满分14分）
已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意，求证：．
P
A
B
C
x
y
O
M
N

【答案】解：（1）在直线中令得；令得
，
则椭圆方程为
（2）①,,M、N的中点坐标为(，)，所以
（3）法一：将直线PA方程代入，解得，记，则
，，于是，故直线AB方程为
代入椭圆方程得，由，因此
，

法二：由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：

9、（本小题满分14分）过双曲线2x2-y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为3.
(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.
(2)证明直线BC过定点.
【答案】19. 解:令B(x1, y1),C(x2, y2).
(1)当BC与x轴垂直时,有x1=x2, y1= -y2,
故:3=
Þx1=,与|x1|³矛盾.因此AB不与x轴垂直. ……………………. 3分
当BC与y轴垂直时,有x1= -x2, y1= y2,
故:3=
Þy1= -.因此AB可与y轴垂直, 此时AB的方程为y= -. ………… 5分
(2)当BC不与坐标轴垂直时,
kAB·kAC==3,
故3(x1-1)(x2-1)=(y1-1)(y2-1). ………① .............. 6分
令BC : y=kx+b,代入双曲线方程有:
2x2-(kx+b)2=1Û(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.………②
x1,x2是方程②的两个实根.
令f(x)= (2-k2)x2-2kbx-b2-1,
则(x1-1)(x2-1)= . ③ ……………….. 8分
直线方程又可写成:x=,
代入2x2-y2=1,有: 2(y-b)2-k2y2=k2,
整理得:(2-k2)y2-4by+2b2-k2=0. ………④
y1,y2是方程④的两个实根.
令g(y)= (2-k2)y2-4by+2b2-k2.
(y1-1)(y2-1)= …⑤ ………………10分
③,⑤两式代入①式,有:

故3[1-(k+b)2]=2[(b-1)2-k2],
从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k). ……⑥
因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b¹1.
利用⑥,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b-1-k)=0,
即k+5b+1=0Û
因此直线AB过定点M.
直线y=-也过定点M.
综上所述,直线AB恒过定点M. …………… 14分

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